湘教版八年级下册第三章四边形知识点
1、（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．（2）平行四边形的性质：????边：平行四边形的对边相等．?????角：平行四边形的对角相等．????对角线：平行四边形的对角线互相平分．（3）平行线间的距离处处相等．（4）平行四边形的面积：????平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．????同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．（1）中心对称的定义????把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．．（2）中心对称的性质????关于中心对称的两个图形能够完全重合；????关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．（1）定义????把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同．（2）常见的中心对称图形平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．符号语言：AB∥DC，ADBC∴四边行ABCD是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：AB=DC，AD=BC四边行ABCD是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．符号语言：AB∥DC，AB=DC四边行ABCD是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：ABC=∠ADC，DAB=∠DCB∴四边行ABCD是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言：OA=OC，OB=OD四边行ABCD是平行四边形．
5、平行四边形的判定与性质的作用平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单．凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题．
（1）三角形中位线定理：????三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．（2）几何语言：如图，点D、E分别是AB、AC的中点??DE∥BC，DE=12BC．（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．（2）菱形的性质????菱形具有平行四边形的一切性质；????菱形的四条边都相等；????菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；????菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．（3）菱形的面积计算????利用平行四边形的面积公式．????菱形面积=12ab．（a、b是两条对角线的长度）菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等=菱形）；四条边都相等的四边形是菱形．几何语言：AB=BC=CD=DA∴四边形ABCD是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．几何语言：AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形平行四边形ABCD是菱形（1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形．（2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．）
（3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．（4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形．（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）矩形的性质???平行四边形的性质矩形都具有；???角：矩形的四个角都是直角；???边：邻边垂直；???对角线：矩形的对角线相等；????矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．（3）由矩形的性质，可以得到直角三角线的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．（1）矩形的判定：矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）（2）证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．（1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有．在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题．（2）下面的结论对于证题也是有用的：OAB、OBC都是等腰三角形；OAB=∠OBA，OCB=∠OBC；点O到三个顶点的距离都相等．（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．（2）正方形的性质????正方形的四条边都相等，四个角都是直角；????正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；????正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．????两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．正方形的判定方法：先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；先判定四边形是菱形，再判定这个矩形有一个角为直角．还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．（1）正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质．（2）正方形的判定正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定．（1）梯形的定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形．梯形中平行的两边叫梯形的底，其中较短的底叫上底，不平行的两边叫梯形的腰，两底的距离叫梯形的高．（2）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形．（3）直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．边：有一条腰与底边垂直，另一条腰不垂直．角：有两个内角是直角．过不是直角的一个顶点作梯形的高，则把直角梯形分割成一个矩形和直角三角形．这是常用的一种作辅助线的方法．（1）性质：等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是经过上下底的中点的直线；等腰梯形同一底上的两个角相等；等腰梯形的两条对角线相等．（2）由等腰梯形的性质可知，如果过上底的两个顶点分别作下底的两条高，可把等腰梯形分成矩形和两个全等的直角三角形，因此可知等腰梯形是轴对称图形，而一般的梯形不具备这个性质．（1）利用定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形；（2）定理：同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形．（3）对角线：对角线相等的梯形是等腰梯形．判定一个梯形是否为等腰梯形，主要判断梯形的同一底上的两个角是否相等，可以通过添加辅助线把梯形底上的两个角平移到同一个三角形中，利用三角形来证明角的关系．注意：对角线相等的梯形是等腰梯形这个判定方法不可以直接应用．（1）中位线定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．
（2）梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．（3）梯形面积与中位线的关系：梯形中位线的2倍乘高再除以2就等于梯形的面积，即
梯形的面积=12×2×中位线的长×高=中位线的长×高
（4）中位线在关于梯形的各种题型中都是一条得天独厚的辅助线．（1）多边形的概念：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．（2）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．（3）正多边形的概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．（4）多边形可分为凸多边形和凹多边形，辨别凸多边形可用两种方法：画多边形任何一边所在的直线整个多边形都在此直线的同一侧．每个内角的度数均小于180°，通常所说的多边形指凸多边形．（5）重心的定义：平面图形中，多边形的重心是当支撑或悬挂时图形能在水平面处于平稳状态，此时的支撑点或者悬挂点叫做平衡点，或重心．?????常见图形的重心（1）线段：中点（2）平行四边形：对角线的交点（3）三角形：三边中线的交点（4）任意多边形（1）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．（2）n边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线．从n个顶点出发引出（n-3）条，而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为：n（n-3）2（n≥3，且n为整数）（3）对多边形对角线条数公：n（n-3）2的理解：n边形的一个顶点不能与它本身及左右两个邻点相连成对角线，故可连出（n-3）条．共有n个顶点，应为n（n-3）条，这样算出的数，正好多出了一倍，所以再除以2．（4）利用以上公式，求对角线条数时，直接代入边数n的值计算，而计算边数时，需利用方程思想，解方程求n．（1）多边形内角和定理：（n-2）．?80（n≥3）且n为整数）此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n-3）条对角线，将n边形分割为（n-2）个三角形，这（n-2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法．（2）多边形的外角和等于360度．多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．借助内角和和邻补角概念共同推出以上结论：外角和=180°n（n-2）?180°=360°．（1）平面图形镶嵌的定义：用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接．彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．（2）正多边形镶嵌有三个条件限制：边长相等；顶点公共；在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°．判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能．（3）单一正多边形的镶嵌：正三角形，正四边形，正六边形．（4）两种正多边形的镶嵌：3个正三角形和2个正方形、四个正三角形和1个正六边形、2个正三角形和2个正六边形、1个正三角形和2个正十二边形、1个正方形和2个正八边形等．（5）用任意的同一种三角形或四边形能镶嵌成一个平面图案． |
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