《财务管理》教学中插值法的快速理解和掌握摘要在时间价值及内部报酬率计算时常用到插入法，但初学者对该方法并不是很容易理解和掌握。本文根据不同情况分门别类。利用相似三角形原理推导出插入法计算用公式。并将其归纳为两类：加法公式和减法公式，简单易懂、理解准确、便于记忆、推导快捷。关键词插入法；近似直边三角形；相似三角形时间价值原理正确地揭示了不同时点上资金之间的换算。是财务决策的基本依据。为此，财务人员必须了解时间价值的概念和计算方法。但在教学过程中。笔者发现大多数教材插值法(也叫插入法)是用下述方法来进行的。如高等教育出版社2000年出版的《财务管理学》P62对贴现期的。事实上，这样计算的结果是错误的。最直观的判断是：系数与期数成正向关系。而4.000更接近于3.791。那么最后的期数n应该更接近于5，而不是6。正确结果是：n=6-0.6=5.4(年)。由此可见，这种插入法比较麻烦，不小心时还容易出现上述错误。笔者在教学实践中用公式法来进行插值法演算，效果很好，现分以下几种情况介绍其原理。一、已知系数F和计息期n。求利息率i这里的系数F不外乎是现值系数(如：复利现值系数PVIF年金现值系数PVIFA)和终值系数(如：复利终值系数FVIF、年金终值系数FVIFA)。(一)已知的是现值系数那么系数与利息率(也即贴现率)之间是反向关系：贴现率越大系数反而越小，可用图1表示。图1中。F表示根据题意计算出来的年金现值系数(复利现值系数的图示略有不同，在于i可以等于0，此时纵轴上的系数F等于1)，F为在相应系数表中查到的略大于F的那个系数，F对应的利息率即为i。查表所得的另一个比F略小的系数记作F，其对应的利息率为i。
(二)已知的是终值系数那么系数与利息率之间是正向关系：利息率越大系数也越大。其关系可用图2表示。图2中，F表示根据题意计算出来的某种终值系数。F为在相应系数表中查到的略小于F的那个系数。F对应的利息率仍记作i，查表所得的另一个比F略大的系数记作F，其对应的利息率即为i。上面两图中，二者往往相差1％，最多也不超过5％，故曲边三角形ABC和ADE可近似地看作直边三角形。二、已知系数F和利息率i。求计息期n(一)已知的是终值系数和年金现值系数那么系数与计息期间是正向关系：计息期越大系数也越大。可用图3表示。图3中。F表示根据题意计算出来的终值系数或年金现值系数，F为在相应系数表中查到的略小于F的那个系数。F对应的计息期即为n，查表所得的另一个比F略大的系数即记作F。其对应的计息期为n。(二)已知的是复利现值系数那么系数与计息期间是反向关系：计息期越大系数反而越小。可用图4表示。图4中，F表不根据题意计算出来的复利现系数。F1为在相应系数表中查到的略大于F的那个系数，F1对应的计息期即为n1，那么还有另一个比F略小的系数即记作F2，其对应的计息期为n2。同理，当n1和n2无限接近时，近似直边三角形ABC、ADE为相似三角形，则有：BC／DE=AB/AD在图3中即有：F-F1／F2-F1=n-n1/n2-n1在图4中则有：n-n1/n2-n1＝F1-F／F1-F2据上面两式均可求得：n=n1+F1-F／F2-F1(n2-n1)…………………………公式2三、内部报酬率IRR的计算内部报酬率(或叫内部收益率)IRR是投资决策常用指标之一，也采用插值法来计算，其原理等同于时间价值中利息率的计算，只是因变量由终值、现值系数转变为净现值NPV。其计算原理可在图5中得到反映。这里，i1＜i2，且二者之差不超过5％，这是在实际计算中很多人容易忽略的一个方面。在测算净现值时。先试用一个较小的贴现率，求得的NPV远大于零，于是就再选用一个大得多的贴现率让NPV小于0，之后也直接套用公式3来计算IRR，这样虽然省事。但误差较大，有时候会影响决策。因为此时曲边三角形不可以近似看作直边三角形，后面的推导也就不成立了。理解了这一原理，一般就会注意两次试用的贴现率之间差距不要太大。其标准就是不超过5％。以上三个公式均是以较小的变量(i1、n1)加上插入值。可以称为加法公式。公式中分式部分即插入值。其分子、分母的被减项都是较小变量对应的系数或净现值，这样对应记忆快捷准确。加上三者结构一致，记住一个即可举一反三，非常方便。
这三个公式均是以较大的一项(i2、n2)为起点，减去插入值，可以称为减法公式。分式中分子、分母的被减项均是较大变量对应的系数或净现值，也是对应关系。本文开头所提例子应该用减法公式，直接套用公式2，因为其列示已知变量是从大到小，但教材却用了加法公式2。导致错误。如果采用加法公式2，那就要对查表已知的期数及年金现值系数从小到大重新排列。正确运用两公式的结果是一样的，均为5.4年。插值法的原理是相似三角形定理，据此。即使模糊或忘记了公式也可采用文中任一图示快速、准确地推导出来。而且采用公式法，不论是根据什么系数。也不论是求解利息率、计息期还是IRR。均可套用，简单有效又不容易出错。
CPA会计概念理解篇—插值法计算实际利率
一：概念理解
???“插值法”计算实际利率。在08年考题中涉及到了实际利率的计算，其原理是根据比例关系建立一个方程，然后，解方程计算得出所要求的数据，例如：假设与A1对应的数据是B1，与A2对应的数据是B2，现在已知与A对应的数据是B，A介于A1和A2之间，即下对应关系：A1B1A(?)BA2B2则可以按照（A1-A)/(A1-A2)=(B1-B)/(B1-B2)计算得出A的数值，其中A1、A2、B1、B2、B都是已知数据。根本不必记忆教材中的公式，也没有任何规定必须B1＞B2验证如下：根据：（A1-A)/(A1-A2)=(B1-B)/(B1-B2)可知：（A1-A)＝(B1-B)/(B1-B2)×（A1-A2）A＝A1－(B1-B)/(B1-B2)×（A1-A2）＝A1＋(B1-B)/(B1-B2)×（A2-A1）考生需理解和掌握相应的计算。例如：某人向银行存入5000元，在利率为多少时才能保证在未来10年中每年末收到750元？5000/750=6.667?或?750m=5000查年金现值表，期数为10，利率i=8%时，系数为6.710；i=9%，系数为6.418。说明利率在8-9%之间，设为x%8%6.710x%6.6679%6.418（x%-8%）/（9%-8%）=（6.667-6.71）/（6.418-6.71）?计算得出?x=8.147。
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二、经典例题
???2000年1月1日，ABC公司支付价款120000元（含交易费用），从活跃市场上购入某公司5年期债券，面值180000元，票面利率5%，按年支付利息（即每年9000元），本金最后一次支付。合同约定，该债券的发行方在遇到特定情况时可以将债券赎回，且不需要为提前赎回支付额外款项。XYZ公司在购买该债券时，预计发行方不会提前赎回。ABC公司将购入的该公司债券划分为持有至到期投资，且不考虑所得税、减值损失等因素。为此，XYZ公司在初始确认时先计算确定该债券的实际利率：设该债券的实际利率为r，则可列出如下等式：9000×（1+r）-1+9000×（1+r）-2+9000×（1+r）-3+9000×（1+r）-4+（9000+180000）×（1+r）-5=120000元采用插值法，可以计算得出r=14.93%。由此可编制表年份?期初摊余成本(a)?实际利率（r）r=14.93%?现金流入（c）?期末摊余成本d=a+r-c2000?120000?17916?9000?1289162001?128916?19247?9000?1391632002?139163?20777?9000?1509402003?150940?22535?9000?1644752004?164475?24525(倒挤)?189000?0但是如果计算利率r先假设两个实际利率a和b，那么这两个利率的对应值为A和B，实际利率是直线a、b上的一个点，这个点的对应值是120000，则有方程：(a-r)/(A-120000)=(b-r)/(B-120000),假设实际利率13%则有=9000×3.5172+180000×0.5428=31654.8+97704=129358.8假设实际利率15%则有=9000×3.3522+180000×0.4972=30169.8+89496=119665.8(0.13-r)/9358.8=(0.15-r)/（-334.2）解得：r=14.93%
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