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快乐课堂学数学-多余老师趣讲“三角恒等变形”-高中数学必修4 一、本单元概述 三角恒等变形这一单元，可以说是“纯代数”单元。 首先，利用“数形结合”得出一些基本的三角恒等式，再按照“代数变形规则”进行变形，得出丰富多彩的“三角恒等变形”。 想学好这个单元，就要抓好这两点： 1、数形结合。 2、代数变形规则。 这两点，都已经学习过，在本单元就是进行综合运用。 当然，在解决具体题目时，会涉及以前所学过的，所有“代数变形”。所以，本单元的新内容，依据正确方法很好掌握，如果你在以前的某些环节存在问题，通过本单元，要进行及时补救。 在正式说新内容前，先说说什么是“三角恒等”。 恒等：完全相等的;产生或实现同一的——主要指逻辑命题和数学的方程与演算所表示、产生或实现的方面。 恒等符号 "≡"。恒等号一般用于一些参变量恒为一个常数或恒定表达式时，表示这种等于关系与变量无关。例如函数f（x）≡0表示该函数的值始终为0而与x的值无关。 恒等式：数学上，恒等式是无论其变量如何取值，等式永远成立的算式。 恒等式，是两个解析式之间的一种关系。给定两个解析式，如果对于它们的定义域的公共部分（或公共部分的子集）的任一数或数组，都有相等的值，就称这两个解析式是恒等的。例如x^2－y^2与（x+y）（x－y） ，对于任一组实数（a，b），都有a^2－b^2=（a+b）(a－b)，所以x^2－y^2与（ x+y）（x－y）是恒等的。 两个解析式恒等与否不能脱离指定的数集来谈，因为同样的两个解析式，在一个数集内是恒等的，在另一个数集内可能是不恒等的。例如 在数学中，三角恒等式是对出现的变量的所有值都为实数的涉及到三角函数的等式。 这些恒等式在有些三角函数需要简化的时候是很有用的。 二、只有一个变量的三角恒等变形 三角函数的变量就是弧度制角，所以只有一个变量的三角恒等变形，就是同角的三角函数关系式及关系式的“代数变形”。 同角的三角函数关系，在以前就通过“数形结合”已经知道： 1、sin2α+cos2α=1；（由此关系式，正弦和余弦，可统一为“弦”） 2、tanα=sinα/cosα；（“弦”与“切”的关系） 3、tanα*cotα=1。（由此关系式，正弦和余弦，可统一为“切”） 然后，由这三个基本关系式，进行“代数”变形： 1、按“等式的性质”进行“变形”，可得到： sin2α=1-cos2α，cos2α=1-sin2α，tan2α=（1-cos2α）/（1-sin2α），cot2α=（1-sin2α）/（1-cos2α）； sinα=（1-cos2α）的平方根=tanα/（1+tan2α）的平方根=1/（1+cot2α）的平方根， cosα=（1-sin2α）的平方根=1/（1+tan2α）的平方根= cotα/（1+cot2α）的平方根， tanα=sinα/（1-sin2α）的平方根=（1-cos2α）的平方根/ cosα=1/ cotα， cotα=（1-sin2α）的平方根/ sinα= cosα/（1-cos2α）的平方根=1/ tanα。 （三角恒等变形中，出现平方根，取+或-，由“角的位置”决定，后面不再重复说明）。 2、由sin2α+cos2α的“平方和”形式，可进行“五胞胎”（完全平方公式、平方差公式中出现的A2+B2、A+B、A-B、AB、A2-B2）变形： sin2α+cos2α=（sinα+cosα）2-2sinαcosα=（sinα-cosα）2+2sinαcosα=1， sinαcosα=（sinα+cosα）2/2-1/2=1/2-（sinα-cosα）2/2， sinα+cosα=（1+2sinαcosα）的平方根，sinα-cosα=（1-2sinαcosα）的平方根， （sinα+cosα）2=1+2sinαcosα，（sinα-cosα）2=1-2sinαcosα。 3、由“特殊值1”，可根据实际情况，进行“变形”（常值代换）： 1= sin2α+cos2α= tanα*cotα=sinп/2=a0=logaa。。。。 此外，三角函数“诱导公式”也可视为“同角三角恒等变形”（因为只有一个变量）。这样，加上“有特殊值的三角函数”，就可进行更加丰富的“同角变形”。 回顾：诱导公式按位置进行分类，分为“关于X轴对称、关于Y轴对称、关于原点对称、关于Y=X对称，关于Y=-X对称”，“旋转п/2、旋转п、旋转3п/2、旋转2п”；三角函数特殊值有“1、2、3、根号3、根号2的组合”。 三、有两个变量（角由两变量组成）的三角恒等变形 一个“变量角”，加诱导公式变为“常量角+变量角”，现在再变成“变量角+变量角”。此时，应该如何进行“变形”呢？ 由于“切”可由“弦”得出，所以，我们先研究“弦”，sin（A+或-B）或者cos（A+或-B）。 想：在什么“形”中，可以把“两角和”或“两角差”变成一个角？ 三角形就可以，在三角形ABC中，A+B=п-C，这就可以变成一个角了。 这样，我们先试着用三角形研究一下： 首先，在三角形ABC中，角A,B,C所对边分别为a,b,c。 若A,B均为锐角，则在三角形ABC中，过C作AB边垂线交AB于D， 由CD=asinB=bsinA（做另两边的垂线，同理）可证明正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC 于是有：AD+BD=c AD=bcosA, BD=acosB 代入正弦定理，可得sinC=sin（180-C)=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA 即在A,B均为锐角的情况下，可证明两角和正弦的公式。 利用正弦和余弦的定义及周期性，可证明该公式对任意角成立。 于是有 cos(A+B)=sin（90-A-B)=sin（90-A)cos(-B)+cos（90-A)sin（-B）=cosAcosB-sinAsinB 由此易得其它全部公式。 如：cos(A-B)= cos[A+（-B）]=cosAcos（-B）-sinAsin（-B）= cosAcosB+sinAsinB 在这里，我们把以后才学的“解三角形”中的“正弦定理”，都顺便解决了。不过，这个证明过程比较繁琐，能不能有更简单、更直接的证明方法呢？ 观察已得出公式的“结构形式”，可以发现cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB的“结构形式”与“向量的数量积”很吻合。 那我们就利用平面直角坐标系、单位圆、向量，再来研究一下： 在坐标系中，任意取单位圆上两点，分别命名为“向量a（cosA，sinB）；向量b（cosB，sinB）” 则两向量顺时针方向形成的夹角，就是“A-B” 可得出cos(A-B)正好是“向量a与向量b的数量积” 即cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB 利用“向量的数量积”得出的“两角差余弦”，显得非常简单、直接。 再利用“诱导公式”，或得出所有“两角和与差的三角函数”： cos（α+β）=cosα·cosβ-sinα·sinβ（将cos(A-B)，用-B代换B得出） sin（α+β）=sinα·cosβ+cosα·sinβ（利用正弦和余弦的“互余”得出） sin（α-β）=sinα·cosβ-cosα·sinβ （再用-B代换B得出） tan（α+β）=(tanα+tanβ）/（1-tanα·tanβ）（由T=S/C得出，分子分母同时除以CC，C变1、S变T） tan（α-β）=(tanα-tanβ）/（1+tanα·tanβ） 以上公式，由于“常用”，可进行记忆（注意，只有理解，才能长期记忆），多余老师的记忆口诀是： 向量“积”（是指“数量积”）、得C差，其余全是诱导得 C是“扣扣、索索”，S是“死扣、扣死” S是正、不变号，C是余、要变号 T由S与C得，C变1、S变T，上跟S、不变号，下跟C、要变号 继续，在“两角和”的基础上，再把“变量角”进行变化： 1、当A=B时，得出“二倍角”公式 sin2α=2sinα·cosα=2tanα/（1+tan2α） cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α=（1-tan2α）/（1+tan2α） tan2α=2tanα/（1-tan2α） 此时，可发现，“二倍角公式”与“同角”的“五胞胎变形”，正好把“同角五胞胎”凑齐，即： sin2α+cos2α、sinα+cosα、sinαcosα、sinα-cosα、sin2α-cos2α。 同时，还可发现，“二倍角”出现了“升次”，经过“变形”，可得出“降次”公式： sin2α=（1-cos2α）/2，cos2α=（1+cos2α）/2，tan2α=（1-cos2α）/（1+cos2α）。 2、再将“二倍角”中的“α”，用“α/2”代换，得出“半角”公式 sin2（α/2）=（1-cosα）/2 cos2（α/2）=（1+cosα）/2 tan2（α/2）=（1-cosα）/（1+cosα） tan（α/2）=sinα/（1+cosα）=（1-cosα）/sinα（这个形式“简洁”，且不用分+、-） “半角”不用记，可由“二倍”直接得。 3、将“两角和与差”解方程组，可得出三角函数“积化和差“公式 sinα·cosβ=[sin（α+β）+sin（α-β）]/2 cosα·sinβ=[sin（α+β）-sin（α-β）]/2 cosα·cosβ=[cos（α+β）+cos（α-β）]/2 sinα·sinβ=-[cos（α+β）-cos（α-β）]/2 sinα+sinβ=2sin[（α+β）/2]cos[（α-β）/2] sinα-sinβ=2cos[（α+β）/2]sin[（α-β）/2] cosα+cosβ=2cos[（α+β）/2]cos[（α-β）/2] cosα-cosβ=-2sin[（α+β）/2]sin[（α-β）/2] 4、“两角和与差”的右边，将一个角的三角函数“代换”为“一对常数，得出“收缩”公式 asinx+bcosx=[√（a^2+b^2）]{[a/√（a^2+b^2）]sinx+[b/√（a^2+b^2）]cosx}=[√（a^2+b^2）]sin(x+y) 其中，tan y=b/a 四、其它三角恒等变形 1、三倍角公式（由3α=2α+α，经“两角和”与“二倍角”得出） sin3α=3sinα-4sin3α cos3α=4cos3α-3cosα tan3α=（3tanα-tan3α）/（1-3tan2α） 2、万能代换公式（由半角T，得出） sinα=2tan（α/2）/[1+tan2（α/2）] cosα=[1-tan（α/2）]/[1+tan2（α/2）] tanα=2tan（α/2）/[1-tan2（α/2）] 3、有“π/4”的T tan(a-π/4）=(tana-1）/（1+tana) 如果 那么 如果 那么 如果 如果 那么 4、二角“平方差”公式
五、最后多余的话 三角恒等非常多，只靠记忆不可靠 理解来源很重要，关键时刻自己推 越是复杂越不记，越是简单记得牢 纯是代数不好玩，数形结合才有趣 要想有趣就找形，代数也是有形的 变来变去是一家，五胞不够百十胎 |
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