寻找更多神奇数字的方法

神奇数字142857，又称走马灯数，发现于金字塔内，其神奇之处在于：

 

142857 X 1 = 142857；142857 X 2 = 285714；142857 X 3 = 428571；

142857 X 4 = 571428；142857 X 5 = 714285；142857 X 6 = 857142。

同样数字调换了位置反复出现。而且把它乘与7，我们会得到999999。

 

这一神奇数字引发了我的兴趣和思考，还有没有更多这样的神奇数字呢？

 

下面我就来介绍一种可能是产生神奇数字的方法：

神奇数字M，也许可以表达为：
M为正整数，并且满足：M*n = 10^(n-1) - 1。(n为素数)

先比如：142857 * 7 =10^(7-1) -1
x01 142857
x03 428571
x02 285714
x06 857142
x04 571428
x05 714285
x07 999999
1/7 = 0.142857142857...

又比如：0588235294117647 * 17 = 10^(17-1) - 1
x01 0588235294117647
x10 5882352941176470
x15 8823529411764705
x14 8235294117647058
x04 2352941176470588
x06 3529411764705882
x09 5294117647058823
x05 2941176470588235
x16 9411764705882352
x07 4117647058823529
x02 1176470588235294
x03 1764705882352941
x13 7647058823529411
x11 6470588235294117
x08 4705882352941176
x12 7058823529411764
x17 9999999999999999
1/17 = 0.05882352941176470588235294117647...

再比如：0434782608695652173913 * 23 = 10^(23-1) - 1 
x01 0434782608695652173913
x10 4347826086956521739130
x08 3478260869565217391304
x11 4782608695652173913043
x18 7826086956521739130434
x19 8260869565217391304347
x06 2608695652173913043478
x14 6086956521739130434782
x02 0869565217391304347826
x20 8695652173913043478260
x16 6956521739130434782608
x22 9565217391304347826086
x13 5652173913043478260869
x15 6521739130434782608695
x12 5217391304347826086956
x05 2173913043478260869565
x04 1739130434782608695652
x17 7391304347826086956521
x09 3913043478260869565217
x21 9130434782608695652173
x03 1304347826086956521739
x07 3043478260869565217391
x23 9999999999999999999999
1/23 = 0.04347826086956521739130434782608695652173913...

可以看到：7、17、23皆为素数。
而1/7、1/17、1/23，分别是以6位、16位、和22位为周期的无限循环小数，而其小数点后循环往复所出现的那串数字正是相对应的那个M。
由于素数的数量是无限的，所以神奇数字也应该是无穷无尽的。只要计算机支持的位数足够大，相信还能找到更多个。

需要说明的是，上述公式并不是产生神奇数字的充分条件，比如n=11就产生不了神奇数字。
至于上述公式是否是产生神奇数字的必要条件，尚需做严格证明，目前该公式仅是一个猜想。