寻找更多神奇数字的方法 （续二）

我们假设n为素数，并且1/n的结果可以表达为一个从小数点之后开始的周期为(n-1)的无限循环小数。

现在我们来证明：这一循环往复出现的(n-1)位数字，一定是一个神奇数字。

让我们明确，一个(n-1)位的神奇数字M，应该具备以下两个特征：

1, M * n = 10^(n-1) - 1
2, 如果 M 可以表达为 {a1, a2, a3, ..., a(n-1)},
   那么对于每一个正整数i，(1<=i<=n-1)
   i * M 都是由 (a1, a2, a3, ..., a(n-1)) 构成的。

我们先来证明第一条：

首先：

(1) 1/n 可以表达为：0.a1 a2 a3 a4 ... a(n-1) a(n) a(n+1) ...
(2) 10^(n-1) * 1/n 也就是：a1 a2 a3 a4 ... a(n-1).a(n) a(n+1) ...

由于1/n是一个从小数点后之开始的周期为(n-1)的无限循环小数，我们可以认定：
{a1, a2, ..., a(n-1), ...} = {a(n), a(n+1), ..., a(2n-2), ...}

(1)与(2) 两者相减，得到：
{a1, a2, a3, .. a(n-1)} = [10^(n-1) - 1] / n

这就满足了神奇数字的第一条特征。

再来证明第二条：

同样地，将 1/n 表达为：0.a1 a2 a3 a4 ... a(n-1) a(n) a(n+1) ...
考虑将1/n的小数点向后移动k个位置，所得新数的小数部分可以表达为：
X(k) = [1/n * 10^k - {a1, a2, ..., ak} ]  (1<=k<=n-1)
显然 0 < X(k) < 1, 而且对于任意一对(k0,k1)，只要k0 <> k1，X(k0) <> X(k1)。
（注：否则和上述周期为(n-1)的无限循环小数相矛盾。）

设 d(k) = X(k) * n = 10^k - {a1, a2, .., ak} * n
显然，d(k) 是正整数。
让我们换一种写法：
X(k) = d(k) * 1/n
显然，将1/n的小数点向后移动k个位置，所得新数的小数部分应该是1/n的整数倍，d(k)正是这个倍数。

还是由于 d(k) = X(k) * n，0 < X(k) < 1，而且对于任意一对(k0, k1)，只要k0 <> k1，则X(k0) <> X(k1),
因而 0< d(k) < n，而且对于任意一对(k0, k1)，只要k0 <> k1，则d(k0) <> d(k1)。
由于1<= k<= n-1, 这意味着，d(1), d(2), ..., d(n-1) 与 1, 2, ..., n-1 一一对应。
因而我们可以建立d(k)的反函数：d'(k)
显然，d'(1), d'(2), ..., d'(n-1) 与 1, 2, ..., n-1 也是一一对应的。

由于X(k)是由1/n的小数点向后移动k个位置后所得到的小数部分，
显然，X(k)也是一个从小数点之后开始的周期为(n-1)的无限循环小数。
现在令 M(k) = X(k) * 10^(n-1) - X(k) = X(k) * (10^(n-1) -1)
M(k)所得到的是X(k)从小数点后开始的那(n-1)位数字。
它和M的区别只是将M开头的(k-1)位移至M的右边，在数字组成方面并没有区别。

对于每一个正整数i，(1<=i<=n-1)，我们都可找到唯一的一个k=d'(i)，也就是d(k) = i，
M(k) = X(k) * (10^(n-1) -1) = d(k) * 1/n * (10^(n-1) -1)
由于 d(k) = i，M = 1/n * (10^(n-1) -1)
则 M(k) = i * M
M(k)，也就是 i * M，在数字组成方面与M并没有区别。
只需要将神奇数字M开头的(k-1)位（即(d'(i)-1)位）移至神奇数字的右边，这样所得到的新数便是原来M的i倍。

自然第二条也满足了。

至于上述d(k)函数的取值，可以通过下面的方法计算得到：
由于 d(k) = X(k) * n = 10^k - {a1, a2, .., ak} * n，0< d(k) < n，
两边对 n 取余数，得到：
d(k) = d(k) mod n = 10^k mod n
有了d(k)，自然其反函数d'(k)也就能得出了。

据此，我们找到产生神奇数字的又一种方法，那就是：

如果素数n，其1/n的结果可以表达为一个从小数点之后开始的周期为(n-1)的无限循环小数，
那么这一循环往复出现的(n-1)位数字，一定是一个神奇数字。

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附加证明

 

若n为素数，且n<>2, n<>5，那么对于1/n来说，从小数点之后便开始出现循环，
其循环周期必然小于n。

 

证明：

 

1/n 可以表达为：0.a1 a2 a3 ... a(n-1) a(n) a(n+1) ...

令 X(k) = 1/n * 10^k - {0, a1, a2, ..., ak}    (0<=k) 

   X(0) = 1/n * 10^0 = 1/n

   X(1) = 1/n * 10^1 - {a1}

   ...

可见 X(k)就是将1/n的小数点向后移动k位后所得新数的小数部分。

令 d(k) = X(k) * n = 10^k - {0, a1, a2, ..., ak} * n   (0<=k)

则 d(k) = 10^k (mod n)

 

显然 d(i)为正整数，且 d(i) < n

另外由于 (10,n) = 1，所以 d(i) <> 0 (i>=0)
因而：1 <= d(i) <= n-1 (i>=0)

 

考察 d(0), d(1), d(2), ..., d(n-1) 这一数列，

由于这n个整数的取值范围在1和(n-1)之间，

因而，必定存在一对(k1,k2)，0<=k1<k2<=n-1，使得d(k1)=d(k2)。

也即是说，10^k1=10^k2 (mod n)

由于(10^k1, n)=1

这样便可推断 10^0 = 10^(k2-k1) (mod n)

即：d(0) = d(k2-k1) (mod n)

由于1 <= d(i) <= n-1 (i>=0)
因而 d(0) = d(k2-k1) 

 

由于 0<=k0<k1<=n-1，
令 k0 = k2-k1，
则 d(0) = d(k0)  (0<k0<=n-1)

 

由于 X(k) = d(k) / n，
因而，X(0) = X(k0)，

 

X(0)  可以表达为：0.a1 a2 a3 ...a(k0-1) a(k0) a(k0+1) ... a(n-1) a(n) a(n+1) ...
X(k0) 可以表达为：0.a(k0+1) a(k0+2) ... a(n-1) a(n) a(n+1) ...

显然，从小数点之后便开始有“a1 a2 ... a(k0)”这k0位数字的循环出现，
而且由于0<k0<=n-1，因而对于1/n来说，其循环周期必然小于n。