上文中始终未提到前向算法与Viterbi算法，主要是因为想特意强调一下数学解不等同于算法解。算法解考虑进了计算的性能问题，算法是为计算机设计的。
首先看一下“评估”问题中的时间开销。回顾一下公式：
P(O) = sigmaO P(O|C)P(C)= sigmaO P(C1)P(O1|C1)P(C2|C1)P(O2|C2)…P(Ci|Ci-1)P(Oi|Ci)
如果我们使用枚举的方法来求解，那么对于C来说，设有N种状态，序列长度为T，那么所有可能的隐藏序列组合为N`T(N的T次方)个，对于每一个序列需要的乘法次数为2T次，而加法需要T次，那么总共需要的计算次数为2T*N`T的级数（精确的，需要(2T-1)N`T次乘法，N`T-1词加法）。例如N=5，T=100，那么需要约2*100*5`100约10`72次计算，显然我们需要一个更好的算法。
考虑上图这个简单的例子，图中描述了两个隐藏序列：abb，cbb。为了求得P(O)，使用枚举算法有：
Pia * P(O1|a)*Pab*P(O2|b)*Pbb*P(O3|b) + Pic * P(O1|c)*Pcb*P(O2|b)*Pbb*P(O3|b)
Pi代表初始概率，使用前向算法有：
(Pia* P(O1|a) *Pab + Pic * P(O1|c)*Pcb) *P(O2|b)*Pbb* P(O3|b)
其中前向算法中的第一个大括号中的式子为局部概率a2(b)，可以清楚的看到枚举算法用了10次乘法和1次加法，而前向算法把乘法次数减少到了7次，原因就是前向算法使用了大家熟知的“乘法分配律”提取了公因式。看起来好像提升不多，不过当计算量大的话这种提升就很可观了。事实上，前向算法将计算次数减低到了N`2*T的级数，那么对于N=5，T=100只需要约3000次计算即可。
现在使用上面的例子考虑一下Viterbi算法，使用枚举算法我们需要计算：
Pia * P(O1|a)*Pab*P(O2|b)*Pbb*P(O3|b) 和 Pic * P(O1|c)*Pcb*P(O2|b)*Pbb* P(O3|b)
并比较求得其中较大的一个，而使用Viterbi算法，我们首先比较：
Pia *P(O1|a)*Pab 与 Pic * P(O1|c)*Pcb 的大小，选出较大的一个再乘以 Pbb* P(O3|b)
10次乘法一次比较，减少到5词乘法一次比较。
总结一下，前向算法和Viterbi算法分别从两种角度向我们展现了降低计算复杂度的方法，一种是提取公因式减少计算次数，例如计算（1+2+3）* 5 和 1*5+2*5+3*5，从数学角度来看只是表达的不同，但对于计算者（无论是人还是计算机）来说，少的计算次数意味着更小的计算时间开销；另一种是，去掉不必要的计算，要找到最大的隐藏序列，如果在子序列上都不能取得最大还有必要去计算全序列吗？
