我看数学竞赛 (2012-08-18 22:09:06)
这仅是鄙人对奥数竞赛小小的看法，若有言辞不当之处，恳请多多包涵。本来我是不想将个人评论发上来的，但无奈某位好友已将它公之于众，于是我也就把它发上来吧。 首先，数学是最严谨的一门学科，没有之一。数学不需要实验，只有极少的几条公理，任何一条数学结论都能通过最基础且显而易见的公理结合严密的逻辑推理来证明。同时，数学又是理科中最基础的学科，同样也没有之一。在理科的各个领域，都不可避免地会用到数学。而数学，又是拿来为各个学科服务的。 而奥林匹克数学，它不需要学生掌握超纲的知识，而是通过熟练掌握已有知识并灵活运用而解题。它拼的不是知识的长度，而是知识的宽度。奥数题的题目常人通常都还都看得懂。奥数题题无定法，却又常常能一题多解，条条大路通罗马。要学好它不能单凭着所谓的刷书刷题来完成，而更需要及时理解、总结和掌握思想、技巧，所以它是最能训练我们思维能力的一项活动。像这样的比赛，才是真正意义上的奥赛，而不是比谁看得多，背得多的——考试。 我认为，数学的精华在于思想。而之所以学奥数，关键也正是学它的思想。 数学有很多基本的思想（数学竞赛中有大量应用）。有些还原原本本地源于生活。学好竞赛数学，领会他的思想并能熟练运用是关键。 比如观察与猜想：这可以说是最基本的思想，而观察与猜想也绝不局限于数学。当我们还小，好奇地看着周遭万物时，我们也就有了这个思想了。而到了长大之后，这个思想依然帮助我们去发现结论。著名数学家G.波利亚曾说过，先猜后证——发现之道。通过对简单情况的讨论，猜测一般情况下的结论。猜想还确定了证明方向，为用归纳法证明和其他各种证明铺平了道路。 又如从整体考虑问题：这是一个在生活中很重要的想法。我们解决生活中的问题，需以大局为重。虽然数学中我们常常化“整”为“零”简化问题，（当然，化整为零逐个击破也是一种重要思想）可是对于一些操作类的问题，往往局部的结论并不好找，但如果从整体上观察，通过诸如不变量（半不变量），奇偶分析之类的方法，这题就迎刃而解。 再如数形结合，其实我们天天都在将数字和 图形结合——使用坐标轴。“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞？数缺形时少直观，形少数时难入微”华老先生这首诗，生动地说明了数形结合的重要性。我们常常是“由形入数”，拿来算几何题。而有时，一个灵光一现的由数入形的解法也能让我们拍案叫绝。 解奥数题，不过就是在某种思想的大方向下，运用某些方法技巧的过程。而且，有很多题往往可以从多个角度入手，不同的思想就产生不同的解法，这就是奥数题往往有本质上的一题多解的原因。 奥林匹克数学有着相当的思维难度，所以，多少人对数学是既爱又恨。个人认为，奥数之路，从下往上，有四道坎： 首先的一道坎是代数。在小学，奥数主要是代数应用。它和一般数学最大不同之处在于它的逆向思维。方程就是运用逆向思维的一个典型例子。逆向思维是奥数的入门。一道常规的数学题可能是这样的：甲筐有50个苹果，从甲筐拿出10个苹果到乙筐，那么甲筐苹果个数就是乙筐两倍，问乙筐原来有多少个苹果？而一道奥数题可能是这样：甲筐有50个苹果，乙筐有10个苹果，问要从甲筐拿出多少个苹果到乙筐，甲筐苹果个数就是乙筐两倍？前面一题顺着条件描述就能得到答案，但后面一题就不行。逆向思维是奥数的入门。在这第一步，就拦住了不知多少人。迈过这道坎的人，学小学奥数就没有什么障碍了，大概有能在华杯赛获奖的水平。在中学的数学竞赛中，代数一直就是重头戏，代数不够好还是蛮吃亏的。另外必要的代数思维也是上到中学转攻其他学科竞赛的基础。 第二坎是几何。中学的奥赛（尤其初中），几何占了相当的比重。这个阶段要比代数思维更难一层，但是又比不上数论组合。几何需要我们分析点线圆之间的内在关系，这是题目往往刻意隐藏的——大多数的时候是通过去掉线段和圆来隐藏。要迈过这关，需要对图形有良好的感觉，看出“线”外之“隐”。比如这题：B，C为一个定圆上的两个定点，A为定圆上动点，作切AB于A的圆与切AC于A的圆。求证：两圆根轴过定点（如左图）。左图难度的题不算太低，但是
如果是右图那样，辅助线都已经连好，那就是一道初中水平的题了。基本学通几何的同学，横扫初中竞赛不成问题，之后到高中时大概也有全国高中数学联赛120~150分以上的水平了，也就说，在很多省份能拿到一等奖。高中联赛一二等奖之间的分水岭通常就是那道几何题。 再下一坎是组合。在高中数学联赛和很多高中竞赛当中，组合通常是压轴题。数学没有定法，而组合又是数学中最没有定法的分支之一。组合没有什么公式定律（虽然有些定理，但是适用范围一般较窄）几乎全凭思想。偏偏，组合涉及的思想和方法却是最多的：抽屉原理、算两次、染色赋值、化归、归纳……往往在你灵光一现般地想到思路之后，这题就变得十分简单。它难就是难在，你没有多少固定的套路去解决它，许多题解法还很不常规。如这题：给定r>2，求最大的n，使得可以将一个n×n表格中的单位正方形r染色，使得对任意1≤i≠j≤n和任意1≤j≠k≤n，位于i行j列的单位正方形与位于j行k列的单位正方形不同色？这道题，估计没什么人能想到它和有限集中三大著名定理之一的Sperner定理有关系吧。你苦思冥想绞尽脑汁无功而返，一看答案却短短数行，让你拍案叫绝。还有组合最迷人的——组合构造。它要求我们有丰富的想象力。它要我们不断地探索，在上一个失败举例的废墟中找到不满足条件的原因所在，不断改善构造。一些好的构造，简直让人大开眼界！组合构造是那么神奇却又总是合情合理，让人拍手称快。在这个层面的奥数，真正考到了我们的思想和创造力。 迈过这关，个人认为已经有进冬令营甚至集训队的水平了。 终极一坎，我想是数论。数学上的猜想，绝大多数属于数论。目前纯数学领域的研究，貌似也集中在数论。我们可以手算几何题，计算机可以硬拆不等式，所以，理论上这两种题都可以用机械手段“通杀”。而组合题，计算机也能帮我们应付各种各样的情况。唯独数论，正如数字一样无穷无尽，无尽的枚举不能说明任何问题，而证明却难以下手。如果说组合是用常人看得懂的话解释常人看得懂的题，那么数论就是用常人看不懂的话解释常人看得懂的题。比如：当n>=2时，区间（n,2n)中必然存在一个素数。”这是著名的Chebyshev定理，题面简洁易懂，也可以不断地取具体的n来验证，但是证明却难于上青天！这正是数论的魅力。（事实上当今未解的数论题也大多与素数有关，所以即便说数论的顶峰是素数也不为过。） 当然，以上只能大致看出一个人数学思维的层次。人的思维多种多样，想必每个人都有一种出众的思维能力。 现在高中奥赛正遭到国家教育部大力封杀。但大家都知道，真正出问题的并不是高中奥赛，高中奥赛门槛高，参与的人数事实上是很有限的。而真正的问题——小学奥赛，却不见改善。现今很多初中为了找到所谓的高智力生源，他们的入学考试都参杂一些奥数题（更多的是所谓的奥数题）。但是，我们不能太广泛地招收这样的学生。太多学校都想招这样的学生，也就是降低了门槛，让更多人觉得各种学校的“奥赛特长”只要少许努力便能企及。奥赛大军由此而生。需求的人多了，专门针对这种奥数的补习机构和参考书应运而生，企图让奥数考试变得机械化。然而，这样变质的奥数选拔出来的学生很多只是机械化考试的高手罢了。之前说过，学奥数关键在于学他的思想，思维方式。像这样一个个模版般地被制造出来的学生又能学到了什么思想上的东西呢？ 中国需要改善的事情着实不少，论轻重缓急，远远没轮到禁奥数。奥数并不适合大多数人深入学习，但可以作为一门欣赏性的选修课课程启发学生的思维。就像大多数人不适合练体操跳水，但是它们可以作为一种观赏性体育。如果大家能够像看待中国体操队，跳水队那样支持并理性的看待中国奥数，中国奥数（或者说一系列的奥林匹克竞赛）必然会有个更灿烂的未来！ 无论外界对奥数有什么看法，奥数还是奥数。它不会因为别人的评论而失去本色。 值得庆幸的是，一路过来，我都保持着对数学的一份兴趣和热情。十年以来，有高潮，也有低谷，是这份热情一直支持着我走下去。和奥数朝夕相伴了这么久，我已经深深地爱上了你。现在却说分手，我是何等的不舍！！ 几何是你的面庞。几何是最直观的，能给人一种视觉上的冲击。标准的几何图形一眼看上去就让人愉悦。几何里面，点、线、圆之间的关系总是那么微妙，梅涅劳斯定理、帕斯卡定理、西姆松定理告诉我们什么时候三点共线；塞瓦定理、帕普斯定理、蒙日定理告诉我们什么时候三线共点。而那些若隐若现的辅助线，好比不时出现的面部表情，要让我们仔细揣摩。 代数是你的骨架。数学的一切都是以数与运算为基础的，代数支撑着你的各个分支。不等式是代数的重头戏。通过学习不等式，我学会了大度。不等式需要大胆放缩，小心求证。只是不断“小气”地恒等变形或硬拆是不够的，更多时候我们要“大度”地舍弃或换掉一些项！看清楚各项之间孰重孰轻，不要因“小”失“大”！ 数论是你的脏腑。数论是最难以捉摸的——它是数学最为深奥难懂的分支之一。想研究有深度的数论，非内行不可。虽然在数论方向的研究从来没有终点，但这却丝毫不影响人们的热情。 “哥德巴赫猜想”“孪生素数猜想”等众多猜想依然吸引着各路数学爱好者。 组合是你的血液。组合使数学时刻充满着活力。组合最贴近生活，而又高于生活。每当我被数学题虐爆时，我就会看组合趣题，各种妙解能重新唤起我对数学的热情。我觉得，组合有两个基本的思想——从宏观入手和从微观入手。学组合，让我学会以大局为重的同时明察秋毫。 在浩瀚的奥数海洋里，我只学得一瓢，但这小小的一瓢就折射出如此绚丽的光芒！ 奥数，想不爱你也不容易啊！ 最后还要感谢本人好友wdxz对本文的一些提议，比如他提议添加Chebyshev定理作为例子，而且他还发表了他对几何的一些看法：“关于几何部分也还有一点想补充。很多同学做几何题喜欢用计算法（如三角法，解析法等），事实上即使做出来了，也对加深对几何的理解作用甚微。（因为某种程度上你只是变相地做了一道代数题，而正如作者所言，暴力解法完全可以交给计算机，那么便不能体现出你和计算机的差别 |
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