§13.1平方根
教学目标：
1、了解数的算术平方根及平方根的概念，并会用符号表示；
2、理解平方与开方之间是互为逆运算的关系，会用计算器求一些正数的算术平方根
教学重点：
了解数的算术平方根及平方根的概念，会求某些非负数的平方根，会用根号表示一个数的平方根
教学难点：
对大小的估算及如何理解是非负数以及被开方数是非负数；正确区分算术平方根与平方根
第1课时
㈠创设情景，导入新课
请同学们欣赏本节导图，并回答问题，学校要举行金秋美术作品比赛，小欧很高兴，他想裁出一块面积为25的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？如果这块画布的面积是？
这个问题实际上是已知一个正数的平方，求这个正数的问题（引入新课）
㈡合作交流，解读探究
讨论：1、什么样的运算是平方运算？
2、你还记得1～20之间整数的平方吗？
自主探索：让学生独立看书，自学教材
总结：一般地，如果一个正数的平方为，即，那么正数叫做的算术平方根，记为，读作根号，其中叫做被开方数另外：0的算术平方根是0
探究：怎样用两个面积为1的正方形拼成一个面积为2的大正方形
把两个小正方形沿对角剪开，将所得的四个直角形拼在一起，就的到一个面积为2的大正方形。
设大正方形的边长为，则
由算术平方根的意义，
即大正方形的边长为
讨论：有多大呢？
思考：你能举些象这样的无限不循环小数吗？
㈢应用迁移，巩固提高
例1求下列各数的算术平方根
⑴100⑵⑶0.0001⑷0⑸
点拨：由一个数的算术平方根的定义出发来解决问题
思考：－4有算术平方根吗？
备选例题：要使代数式有意义，则的取值范围是（）
A.B.C.D.
㈣总结反思，拓展升华
小结：1、算术平方根的定义和性质
2、用计算器求一个正数的算术平方根
拓展：已知的算术平方根是3，的算术平方根是4，是的整数部分，求的算术平方根
㈤课堂跟踪反馈
1.非负数的算术平方根表示为___，225的算术平方根是____，0的算术平方根是____
2.
3.的算术平方根是_____,的算术平方根____
4.若是49的算术平方根，则=（）
A.7B.－7C.49D.－49
5.若，则的算术平方根是（）
A.49B.53C.7D.
6.若，求的值。
7.若是的整数部分，是的小数部分，试确定、的值。
一个自然数的算术平方根为，那么与这个自然数相邻的下一个自然数的算术平方根是_______
作业：
课后反思：
第2课时
㈠创设情景，导入新课
复习提问：1、什么数的平方是49？
2、平方得81的数有几个？分别是什么？
3、一对互为相反数的平方有什么关系？
交流总结：由问题出发，认识到平方得一个正数的数有2个，并且互为相反数（引入新课）
㈡合作交流，解读探究
自主探索：独立看书，自学教材
想一想：到底什么是平方根，它和我们已经认识的算术平方根有何关系？
⑴什么叫一个数的平方根？如何用符号表示？
⑵根据平方根的定义，只有什么数才有平方根？
⑶什么叫开方？
[⑴如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根或二次方根，用符号表示为：若；⑵只有非负数才有平方根；⑶求一个数的平方根的运算叫做开平方运算。]
练一练：求下列数的平方根
⑴100⑵⑶0.25⑷⑸0
总结归纳：
正数有两个平方根，它们互为相反数
0的平方根是0
负数没有平方根
讨论：平方根与算术平方根之间有什么关系？
总结：1、平方根与算术平方根之间的区别
⑴定义不同：如果，那么叫做的平方根。一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，是0本身；负数没有平方根。
如果，并且，那么叫做的算术平方根。一个正数的算术平方根只有一个，非负数的算术平方根一定是非负数
⑵表示方法不同：正数的平方根表示为；正数的算术平方根为
⑶平方根等于本身的数是0；算术平方根等于本身的数是0或1
2、平方根与算术平方根之间的联系
⑴二者有着包含关系：平方根中包含算术平方根，算术平方根是平方根中的非负的那一个
⑵存在条件相同，非负数才有平方根和算术平方根
⑶0的平方根和0的算术平方根都是0
㈢应用迁移，巩固提高
例1说出下列各数的平方根
⑴0.04⑵⑶⑷
例2说出下列各数的平方根各是什么？
⑴64⑵0⑶⑷⑸⑹
点评：要从根本之处理解一个数的平方根的运算，从平方根的概念入手，同时要知道，只有非负数才有平方根
例3计算
⑴⑵⑶⑷
㈣总结反思，拓展升华
小结1、平方根的定义及符号表示
2、平方根与算术平方根的关系
拓展已知，求：的平方根
㈤课堂跟踪反馈
1、判断下列说法是否正确
⑴5是25的算术平方根（）
⑵是的一个平方根（）
⑶的平方根是－4（）
⑷0的平方根与算术平方根都是0（）
2、⑴⑵⑶⑷
3、若，则，的平方根是
4、的平方根是（）A.B.C.D.
5、给出下列各数：，其中有平方根的数共有（）
A.3个B.4个C.5个D.6个
6、若一个数的平方根等于它本身，数的算术平方根也等于它本身，试求的平方根。
7、求下列各数中的值
⑴⑵⑶⑷
若，求、的值
8、如果一个正数的两个平方根为和，请你求出这个正数
作业：
课后反思：
§13.2立方根
教学目标：
了解立方根的概念，会用符号表示一个数的立方根
教学重点：
了解立方根的概念，用立方运算求某些数的立方根；，会用计算器求某些数的立方根
教学难点：
明确平方根与立方根的区别，能熟练地求某些数的立方根
教学流程
㈠创设情景，导入新课
出示一个正方体纸盒，提出问题，如果这个正方体的体积为216，那么它每条棱长是多少？
㈡合作交流，解读探究
观察：
由以上问题，有，即要求一个数，使它的立方等于216，通过分析，有，那么6就是这个正方体的棱长
归纳：
如果一个数的立方等于，这个数叫做的立方根（也叫做三次方根），即如果，那么叫做的立方根
探究：
根据立方根的意义填空，看看正数、0、负数的立方根各有什么特点？
因为，所以8的立方根是（2）
因为，所以0.125的立方根是（）
因为，所以8的立方根是（0）
因为，所以8的立方根是（）
因为，所以8的立方根是（）
【总结归纳】
【类比思考】平方根的表示我们已经很清楚了，那么立方根又该如何表示呢？
【探究说明】一个数的立方根，记作，读作：“三次根号”，其中叫被开方数，3叫根指数，不能省略，若省略表示平方。例如：表示27的立方根，；表示的立方根，
【探究】因为所以=
因为，所以=
总结：
利用开立方和立方互为逆运算关系，求一个数的立方根，就可以利用这种互逆关系，检验其正确性，求负数的立方根，可以先求出这个负数的绝对值的立方根，再取其相反数，即。
操作：
用计算器求数的立方根的步骤及方法：
用计算器求立方根和求平方根的步骤相同，只是根指数不同。
步骤：输入→被开方数→=→根据显示写出立方根
例：求－5的立方根（保留三个有效数字）
→被开方数→=→1.709975947
所以
㈢应用迁移，巩固提高
例1求下列各数的立方根
⑴－8⑵⑶⑷⑸⑹
例2计算
⑴⑵⑶⑷⑸
例3张叔叔有棱长为的两个正方体纸箱中装满了大米，他将这两箱大米都倒入了另一个新的正方体木箱中，结果正好装满，那么这个新的正方体木箱的棱长大约是多少？（结果精确到）
分析从一个实际问题中抽象出数学关系，即一个正方体的体积等于另一个正方体体积的2倍，列式并计算。
例4解方程⑴⑵
分析我们已经学习了立方根，也能由立方根的定义求解（为常数）这一类型简单的三次方程。第⑵小题，我们要把看成一个整体，依然转化成为的形式，再由立方根定义去求解。
㈣总结反思，拓展升华
小结1、立方根的概念和性质
2、立方根与平方根的异同比较
㈤课堂跟踪反馈
1、当?≥0时，有意义；当为一切实数时，有意义
2、的立方根是－2，的平方根是±2，的立方根是－2
3、－8的立方根与的一个平方根的和等于1或－5
4、一个自然数的算术平方根是，那么与这个自然数相邻的下一个自然数的平方根是，立方根是
5、解下列方程⑴⑵⑶
6、已知，且，求的值
作业：
课后反思：
§13.3实数(1)
教学目标：
1、了解无理数和实数的概念，知道实数和数轴上的点一一对应，能估算无理数的大小；
2、了解实数的运算法则及运算律，会进行实数的运算，会用计算器进行实数的运算
教学重点：实数的意义和实数的分类；实数的运算法则及运算律
教学难点：体会数轴上的点与实数是一一对应的；准确地进行实数范围内的运算
第1课时
㈠创设情景，导入新课
（见课本）
㈡合作交流，解读探究
探究：使用计算器计算，把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现？
3，，，，，
我们发现，上面的有理数都可以写成有限小数或者无限循环小数的形式，即
，，，，，
归纳：任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式。反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数
观察：通过前面的探讨和学习，我们知道，很多数的平方根和立方根都是无限不循环小数，无限不循环小数又叫无理数，也是无理数
结论：有理数和无理数统称为实数
试一试把实数分类
像有理数一样，无理数也有正负之分。例如，，是正无理数，，，是负无理数。由于非0有理数和无理数都有正负之分，所以实数也可以这样分类：
我们知道，每个有理数都可以用数轴上的点来表示。无理数是否也可以用数轴上的点来表示呢？
探究：如图所示，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点O′，点O′的坐标是多少？
总结：1、事实上，每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来，这就是说，数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数
当从有理数扩充到实数以后，实数与数轴上的点就是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都是表示一个实数。
与有理数一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大
讨论：
当数从有理数扩充到实数以后，有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数吗？
总结：数的相反数是，这里表示任意一个实数。一个正实数的绝对值是本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0
㈢应用迁移，巩固提高
例1把下列各数分别填入相应的集合里：
正有理数{}负有理数{}
正无理数{}负无理数{}
备选例题下列实数中是无理数的为（）
A.0B.C.D.
㈣总结反思，拓展升华
小结1、什么叫做无理数？
2、什么叫做有理数？
有理数和数轴上的点一一对应吗？
无理数和数轴上的点一一对应吗？
实数和数轴上的点一一对应吗？
㈤课堂跟踪反馈
1、下列各数中，是无理数的是（）
A.B.C.D.
2、已知四个命题，正确的有（）
⑴有理数与无理数之和是无理数⑵有理数与无理数之积是无理数
⑶无理数与无理数之积是无理数⑷无理数与无理数之积是无理数
A.1个B.2个C.3个D.4个
3、若实数满足，则（）
A.B.C.D.
4、下列说法正确的有（）
⑴不存在绝对值最小的无理数
⑵不存在绝对值最小的实数
⑶不存在与本身的算术平方根相等的数
⑷比正实数小的数都是负实数
⑸非负实数中最小的数是0
A.2个B.3个C.4个D.5个
5、⑴的相反数是，绝对值是
⑵
⑶1
⑷若，则
6、是实数，则2
已知实数、、在数轴上的位置如图所示：
化简（答案：）
作业：
课后反思：
第2课时
㈠创设情景，导入新课
复习导入：1、用字母来表示有理数的乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律
2、用字母表示有理数的加法交换律和结合律
3、平方差公式、完全平方公式
4、有理数的混合运算顺序
㈡合作交流，解读探究
自主探索独立阅读，自习教材
总结：
当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开方运算，任意一个实数可以进行开立方运算。在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用。
讨论：下列各式错在哪里？
1、2、
3、4、当时，
【练一练】计算下列各式的值：
⑴⑵
总结：实数范围内的运算方法及运算顺序与在有理数范围内都是一样的
试一试计算：
（精确到0.01）·（结果保留3个有效数字）
总结：在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数，再进行计算
【练一练】计算
⑴⑵⑶⑷
提示⑴式的结构是平方差的形式⑶式的结构是完全平方的形式
总结：在实数范围内，乘法公式仍然适用
㈢应用迁移，巩固提高
例1为何值时，下列各式有意义？
例2计算
⑴求5的算术平方根于的平方根之和（保留3位有效数字）
⑵（精确到0.01）
⑶（）（精确到0.01）
例3已知实数在数轴上的位置如下，化简
例4计算
㈣总结反思，拓展升华
总结：1、实数的运算法则及运算律。
2、实数的相反数和绝对值的意义
㈤课堂跟踪反馈
1、是实数，下列命题正确的是（）
A.，则B.若，则
C.若，则D.若，则
2、如果成立，那么实数的取值范围是（）
A.B.C.D.
3、的相反数是，的相反数是
4、当时，，
5、已知、、在数轴上如图，化简
6、在两个连续整数和之间，即，那么、的值是3、4
7、计算下列各题
仔细观察上面几道题及其计算结果，你能发现什么规律吗？
根据这个规律先写出下面的结果，并说明理由
解得
作业：
课后反思：
找教案www.zhaojiaoan.com
O
⑵
解：⑴
O
一个正数有一个正的立方根
0有一个立方根，是它本身
一个负数有一个负的立方根
任何数都有唯一的立方根
O
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