今天，让我们共同走进数学世界，去感受数学的美。有的同学可能会提出质疑：数学美吗？美在哪里呢？这里，我想先请大家听听历史上一些著名的科学家、数学家及学者们是如何回答这个问题的： 数学是上帝用来书写宇宙的文字（伽利略）； 数学，如果正确地看，不但拥有真理，而且也具有至高的美（罗素）； 这个世界可以由音乐的音符组成，也可以由数学的公式组成（爱因斯坦）； 哪里有数，哪里就有美（Proclus）； 只有音乐堪与数学媲美（A.H.怀海德）； 数学和诗歌都具有永恒的性质（R.D,Carmichael）…… 象这样的描述数不胜数。同学们对数学的认识固然达不到这些伟人们的认识高度，也许在大家眼中，数学无非是1、2、3等数学的排列，a、b、c等字母的组合而已，太平凡，也太枯燥。然而正是在这些平凡、枯燥中，数学无时不刻折射出其独特的美的光芒。数学的博大精深，让个人无法穷尽其美妙之所在。数学，简而言之，即数字的科学，今天，我们就从这些大家看似平淡无奇的数字出发，通过几个小故事一起去感受数学之美。 数字陷阱：有三个人去餐厅吃饭，每人各出十元钱，餐厅找回五元钱，让服务员转交给这三个人。服务员有点贪小便宜，他一想，三个人分五元钱，怎么也不能做到平均分，于是就自己拿出二元，剩下的三元钱正好退给每人一元。暂且不说这个服务员的品质如何，我们来算一算这个帐：每人事先出了十元钱，共计三十元。后又每人找回一元，相当于每人各出了九元钱，共计二十七元，加上服务员拿走的二元，计二十九元。怎么出现了29=30的情况呢？还有一元钱到哪里去了？其实，在这个问题中，有一个陷阱——“每人各出了九元钱”。细想一下，每人应交餐费25/3元，而不是九元。这个九元又是怎么来的呢？被服务员拿走的二元钱，若三人分摊，各应出2/3元，加上每人的餐费25/3元，刚好是九元。这样，在二十七元中，就已经计算了服务员的这两元，若又加上二元的话，岂不是把这个二元算了两次，而把退回的三元未算在内，这样，就不明不白地少了一元钱，而且让我们毫无察觉地掉进了这个陷阱。 若说陷阱只是暂时地蒙骗了我们，那么黑洞的威力就比陷阱大得多。这里我给大家列举两个最简单的数字黑洞的例子。 一是数字黑洞1。相传这个游戏最早是由日本的一位叫角谷的人引入东方，所以它又叫角谷游戏。游戏规则是这样的：任取一个正整数，如果它是偶数，就除以2，如果它是奇数，就用它乘3再加1。将所得到的结果不断地重复上述运算，最后的结果总是1。不妨举两个例子试一试：如7，它是一个奇数，按规则，先乘3加1，得22，22是个偶数，除以2得11，11是奇数，乘3加1，得34，34是偶数，除以2，得17，17是奇数，乘3加1，得52，52是偶数，除以2，得26，26是偶数，除以2得13，13是奇数，乘3加1，得40，40是偶数，除以2，得20，20是偶数，除以2，得10，10是偶数，除以2得5，5是奇数，乘3加1，得16，16是偶数，除以2，得8，8是偶数，除以2得4，4是偶数，除以2得2，2是偶数，除以2得1。若还想继续算下去，1是奇数，乘3加1，得4，4是偶数，除以2得2，2除以2得1，又还原了。看来，最简单的数字1也蕴含着不简单。 第二个例子是数字黑洞123。任取一个整数，将组成这个数的偶数的数字个数，奇数的数字个数和这个数人数字位数依次写下来，组成一个新的数，重复上述步骤，你会发现，最后的结果始终是123。如518054—336—123；13246670125—6511—134—123。 数学中这样的数字黑洞绝不止这两个，只要你有心去发现，你也可以找到很多。黑洞以其神秘而激起无数人的探究欲望，从某种意义来说，这种神秘不就是一种美吗？ 若在这些数字游戏中，还不足以让你认识美，那么另外一些看起来并不起眼的数字，它所表示的数据之神奇则会让你感到吃惊，不可思议…… 一张薄纸，不断对折，折30次后，纸叠得有多厚？说起来你也许不信，它比喜马拉雅山还要高。这是可以切实算得的。一张纸，折一次有二层，折二次有四层，折三次就有八层……依此，当折到第30次时，有230层，而230等于1073741824，就按这张纸的厚度为0.01毫米计算，它也有10737.41824米高，而喜马拉雅山脉的最高峰珠穆朗玛峰的高度也只有8844.42米高。 印度北部的圣城贝拿勒斯城的一座神庙里，佛像前面有一块黄铜板，板上插着三根宝石针，其中一根针自上而下放着从小到大的64片圆形金片（它在当地被称为“梵塔”）。按教规，每天由值班僧侣把金片都移到另一根宝石针上，每次只能移动一片，且小片必须放在大片上——当所有的金片都移到另一根针上时，所谓的“世界末日”就到了。看上去，又似乎是耸人听闻，故弄玄虚！可是经计算发现，按照上面规定，当把全部金片移到另一根宝石会上时，需移动264-1次。写起来简单，但操作起来却不是那么轻松。264-1次是个什么概念呢？倘若每秒移动一次，即使日夜不停地移动金片，仍大约要585亿年（按每年365天，每天24小时，每小时60分，每分60秒计算）。按现代科学推测，太阳系的寿命约200亿年，移完金片，地球乃至太阳系或许不复存在了。 由此可以看出，那些“貌不惊人”的数，竟会大得使人难以置信。若说象230、264之大你还可以理解，那么象1、2、3这样比较小的数的神奇会让你更难以置信。 有一根很长很长的绳子，恰好可以绕地球赤道一周，如果把绳子再接长15米后，绳子就会绕着地球一周悬在空中（如果可能做到的话）。你能想像出吗：在赤道的任何一个地方，一个身高2米39以下的人,都可以从绳子下面自由穿过。比如姚明，他的身高是2米23，他完全可以不低头、不弯腰地在绳子下面来去自由。是不是难以置信，想想偌大一个地球，赤道总长四万多千米，区区15米又能改变什么呢？它的道理只须稍加计算便可明了。设地球半径为R，则绳子的原长为2πR，当绳子长为2πR+15时，绳子所围半径为（2πR+15）/2π=R+2.39。那么绳子可围成一个与地球相距2.39米的大圆圈。 这些事实，单凭直觉、想像无论如何也难体会到这些数的“惊人之处”，然而，严谨的数学计算告诉我们：这是千真万确的。可是谁又能亲身去体验一下呢？正是因为数学，让我们一次次地认识到这些数的神奇，这难道不是一种美的体验吗？ 近日，偶然读到一首七绝《晚秋即景》， 烟霞映水碧迢迢， 暮色秋声一雁遥。 前岑落辉残照晚， 边城古树冷萧萧。 这首诗反过来念也能成诗： 萧萧冷树古城边， 晚照残辉落岑前。 遥雁一声秋色暮， 迢迢碧水映霞烟。 这种诗称为“回文诗”。有趣的是数学当中也有“回文质数”的研究。所谓回文质数就是指某数为质数，把该数的各个数字倒过来写，所得到的数仍是质数。如13倒过来是31，13和31都是质数，它们就是一对回文质数。人们还找到了17和71，113和311，347和743，769和967等回文质数。究竟有多少对这样的回文质数，至今仍是未揭开的谜。 圆周率（圆的周长与直径的比值）是数学中经常用到的一个重要数值。瑞士数学家欧拉是最早倡导用希腊字母π来表示这个数，1761年法国数学家兰伯特证明了“π不是有理数”。正因为它是一个无限不循环小数（无理数或超越数），因而计算它是十分麻烦的，特别是在电子计算机问世以前。关于π的计算，我国古代数学家在这一方面曾做出过领先世界的贡献。东汉初年的数学专著《周髀算经》中，已有“周三径一”的记载，这是最早的圆周率叫“古率”。尔后南北朝的祖冲之在《缀术》一书中，用割圆法给出了22/7和355/113两个用分数表示的圆周率，它们分别被称为“约率”和“密率”，又称“祖率”，分别精确到小数点后第三位和第六位。这比国外同类结果要早一千多年。其后，在西方国家的一些数学家也在π的计算上做了大量的探索：叶维塔（Yeavita）用割圆法算至圆内接393216边形，得到π的十位小数；荷兰数学家鲁道夫（C.Rudolff）花了毕生的精力算得π的第35位小数……当然，计算π的值也不需要那么多位，美国天文学家纽科布说：π的十位小数就足以使计算地球的周界（如果把地球想像为绝对的球体）精确到一英寸之内，若用π的30位小数能使可观宇宙的四周计算精确倒连最强大的显微镜也不可能分辨的一个数量级。尽管如此，人们还是在计算π的数位上进行角逐（这不仅仅是计算技术的角逐，也是π自身的美感而使得人们对它的偏爱，表面上看这种计算似无意义，实际则不然）——特别是电子计算机出现后，。下面的表格恰好说明这一点： 圆周率计算进展情况表 国别 | 年代 | 计算机型号 | 计算位数 | 计算用时 | 美国 | 1949 | ENIAC | 2037 | 70小时 | 美国 | 1955 | NORC | 3089 | 13分钟 | 英国 | 1961 | IBM—7090 | 20000 | 39分钟 | 法国 | 1973 | — | 100万 | — | 美国 | 1986 | Cray—2 | 2900万 |
| 加拿大 | 1995 | HITAC S—3800 | 42.9亿 | 56小时 | 日本 | 1999 | HITACHI SR8000 | 2061.5843亿 | 37小时 |
如今计算π的位数，已成为检验计算机性能包括它的软件（即计算方法）的一种手段。 计算π的这么多数位一方面说明科学可帮助人们突破极限、改写进程，另一个目的是人们期待从这些数字中寻觅那些使人感到奇妙的数字现象，比如，π计算到小数点后第710100位时，连续出现七个数字3：3.141…353733333338638…；又如π的前两位数字31，前六位数字314159组成的数是两个回文质数等等。再如用数字0，1，2……8，9（每个数字都用且仅用一次）组成的分数中，有不少可作为π的近似值，如：37869/12054；39480/12567，49270/15683；67389/21450；76591/24380；83159/26470；95147/30286；95761/30842，97468/31025；……当然，其中97468/31025=301415954875……已精确到小数点后第五位。我们也许无法理解直觉的本质，但现象背后必定隐蔽着某种奥秘。 在我国的国旗和国徽上都有一种共同的图案，就是五角星。自然界中的图案千千万，万万千，为何对五角星情有独钟呢？因为五角星中除了形象美之处，它里面还包含了许多有趣的比。几何中，我们学过“黄金分割”，即把线段AB分成AC和CB两段，使其比满足AC∶BC=BC∶AB=k，这样解得k= ，这种分割史称“中外比分割”。而在五角形中：AB∶BD=BD∶AD= CD∶AC= AC∶AD= ，进一步计算还可知它们的比值均为0.618…。0.618…这是被中世纪学者、艺术家达芬奇誉为“黄金数”的重要数值（因而中外比分割亦被誉为“黄金分割”）。它也曾被德国天文、物理、数学家开普勒赞为几何学中两大“瑰宝”之一（另一件即为“勾股定理”）。 事实上，黄金比值一直统治着古代中东、中世纪西方建筑艺术，无论是古埃及的金字塔，还是古雅典的巴特农神庙；无论是印度的泰姬陵，还是今日的巴黎埃菲尔铁塔，这些世人瞩目的建筑中都蕴藏着0.618…这一黄金数(这显然展示着数学美感)。 一些珍贵的名画佳作、艺术珍品中也处处体现了黄金比值——这些作品的主题大都在画面的黄金分割点处，这些乐章的高潮往往在全曲的0.618…前后……。 《蒙娜丽莎的微笑》是画坛巨匠达芬奇的一幅作品，在这幅画中，黄金比值的应用可见一斑。以画框为界，确定一条水平线段，她的右眼正处在黄金分割点上，它的右手的中心点也处在黄金分割点处……所有这些，使得整幅画显得是那么和谐自然而又富于神秘感，令人揣摸不透。多少年来，人们醉心于对这幅画的研究，从未间断过。 我们知道：植物叶子在茎上的排布是呈螺旋状的，你细心观察一下，不少植物叶状虽然不同，但其排布却有相似之处，比如相邻两片叶子在与茎垂直的平面上的投影夹角是137度28分，科学家们经计算表明：这个角度对植物叶子通风、采光来讲，都是最佳的（正因为此，建筑学家们依照植物叶子在茎上的排列方式设计，建造了新式仿生房屋，不仅外形新颖、别致、美观、大方，同时还有优良的通风、采光性能）。也许你不曾想到：这个角度正是把圆周分为1：0.618…的两条半径的夹角，人们通常称之为“黄金分割角“。 更有趣的是，人体中有着许多黄金分割的例子，比如：人的肚脐是人体长的黄金分割点，而膝盖又是人体肚脐以下部分体长的黄金分割点。有人意以此标准去衡量一个人的体形是否标准或健美，虽过于机械，但标准应该是普遍适用的。 什么是美？有人这样分析，美字的上面是个羊字，下面是个大字，意思就是说把羊养大，就是美。套用这种解释，对数学中的那些已知或者未知的问题进行孜孜不倦探索，这种对科学的真和善的追求不就是一种美吗？ 数学的美还体现在很多方面。 比如提到组成物质的原子，人们会觉得它小，它到底有多小？很难说清楚。如果作个比方：“一个原子与一滴水的比”就如“一滴水与整个地球的比”一样，你就会觉得形象了。我们的生活中充满了哲理。哲理是抽象的，常常使人感到枯燥，难以理解，但是用数学知识来做比喻就能使哲理富有形象，生动感人，发人深思。 时间就是生命，但有些人却不知不觉地白白浪费。德国诗人歌德（J.W.von Goethe）稍作计算，就使人们大吃一惊：“一个钟头等于60分钟，一天就超过了1000分钟。明白这个道理后就可知道人能对世界作出多少贡献！” 很多人都想掌握成功的秘诀，于是爱因斯坦就用一道公式来回答众人：X+Y+Z=A。且他解释说：“X代表艰苦的劳动，Y代表正确的方法。”有个年轻人急不可待地问道：“Z代表什么呢？”爱因斯坦严肃地回答说：“少说空话！” 大发明家爱迪生（T.A.Edison）曾用百分比来比喻灵感和劳动的关系。他说：“一个好的发明只有百分之一决定于他的天才和灵感，其余百分之九十九决定于他的劳动和汗水。” 有些人不能正确认识自己，稍有成绩就骄傲自满。托尔斯泰用分数做比喻告诫说：“一个人就好像是一个分数，他的实际才能好比分子，而他对自己的估价好比分母。分母越大则分数的值就越小。” 这几年，社会上曾流行这样一道算式：8-1>8。这在数学上是不成立的，但在生活中却饱含哲理。它告诉人们：每天八小时中拿出一小时锻炼身体，其效果要比八个小时全用来学习、工作还好。 上述比喻除了证明人们对于数学的偏爱之外，也说明数学本向内涵的美——有了数学这才使比喻更富哲理，更加形象，更加生动。不得不让人感叹：美哉，数学；数学，美哉！ 若把数学比作一条长河，正是这条长河中蕴含无限的奥妙与幽美，才得以诱使如此众多的人去涉足，去探索，去遨游，去为之献身。最后，我以著名物理学家，诺贝尔奖获得者杨振宁先生的一句话结束我的发言：任何领域都有美的存在，只要你能用心挖掘到它的美，你就可以攀登科学的高峰。 | 
