小学生数学解题中的思维训练南京市鼓楼区教师进修学校葛文君四、结合例题讲解数学思想方法的运用(数学思维 训练)易错的典型题例及分析【例题一】有两根同样长的钢管,第一根用去3/10米,第二根用去3/10, 两根相比()。①第一根用去的多②第二根用去的多③无法比较(一)类比法:1、解决“分率与分数 易混淆”的问题:分析与解:这道题无法直接比较,它需要讨论:当长度为1米时,两根用去的长度相等;当长度大于1 米时,第二根的3/10>3/10米;当长度小于1米时,第二根的3/10<3/10米,因此选择③无法比较 【例题二】一根钢管两次用完,第一次用去3/10米,第二次用去全长的3/10 ,两次相比()①第一次用去的多②第二次用去的多③无法比较分析与解:因 为第二次用去全长的3/10,那么第一次用去了全长的(1-3/10)=7/10,大于全长的3/10,因此选择① 2、解决单位“1”发生变化时容易混淆的问题:【例题三】一种商品先提价1/10,再降价1/10。现价与原价相比 ()①与原价相等②比原价高③比原价低分析与解:一般学生会认为是与原价相等,实际两次单位“1”不同 ,所以提的价不等于降的价。可以假设原价为100元,提价1/10后为:100×(1+1/10)=110元,而降低了1/10是110 元的1/10,现价是:110×(1-1/10)=99(元),因此选择③比原价低。且永远现价是原价的:(1+1/1 0)×(1-1/10)=11/10×9/10=99/100【例题四】一种商品先降价1 /10,再提价1/10。现价与原价相比()①与原价相等②比原价高③比原价低分析与解:可以假设 原价为100元,降低100元的1/10后为90元,提价了90元的1/10(90×1/10=9元)后是99元,因此还是选择③比原价低 。且永远现价是原价的:(1-1/10)×(1+1/10)=9/10×11/10=99/100 )(二)假设法:3、等式中的假设【例题五】甲数的2/5与乙数的1/2相等,则甲数与乙数的最简比是( )分析与解:把相等的量设为单位“1”甲数为:1÷2/5=5/2;乙数为:1÷1/2=2 甲数︰乙数=5/2︰2=5︰4【例题六】鸡的只数是鸭的1/2,鹅的只数 是鸡的1/3,鹅的只数与鸭的只数的比()。分析与解:这道题把谁为标准量:(1)以鸭为标准量“1”,鸡就是1/2, 鹅就是1/2×1/3=1/6;鹅︰鸭=1/6︰1=1︰6(2)以鸡为标准量“1“,鹅就是1/ 3,鸭就是1÷1/2=2,鹅︰鸭=1/3︰2=1︰6(3)可以假设鸡为3份,那鹅就是1份,鸭为6份 ,鹅︰鸭=1︰6【例题七】在2008年春季的一个月中,统计的晴、雨、阴天的状况为:雨天 比晴天少1/3,阴天比晴天少3/5,这个月晴天有多少天?分析与解:①因为,雨天与晴天的比为2︰3,阴天与晴天的比为 2︰5;如果把晴天设为3和5的最小公倍数15,那么,雨天为10天,阴天6天,晴天15天,合计31天,符合生活实际;②用通比也能得 出结论:雨天︰晴天︰阴天2︰3 5︰210︰15︰6 合计:10+15+6=31(天)【例题八】把右图做成一个圆锥(接头 处不计),再将这个圆锥沿高从顶点往下直切成两等份,切面是()。A、直角三角形B、正三角形C、钝角等腰三角形 D无法确定分析与解:假设扇形的弧长为3.14厘米,则其半径(圆锥的母线L)为1厘米,因为扇形的弧长为3.14厘米,所以底 部圆的周长也是3.14厘米,推导出底部圆的直径:3.14÷3.14=1厘米因此切面为等边(正)三角形。(三 )替换法:4、图形中的条件转换【例题九】已知下图中阴影部分三角形面积为5平方米,求圆的面积。分析与解:①r×r=5 (平方米);3.14×5=15.7(平方米)②这里运用到一个“常数”的知识,圆与内切正方形面积的比是157/100,因此 用5×2÷100/157=15.7(平方米)【例题十】一张小圆桌的周长是3.14米,把四边撑开的部分 折叠起来就成了一张方桌,求方桌的桌面是多少平方米?分析与解:①圆的直径:3.14÷3.14=1(米) 1×0.5÷2×2=0.5(平方米)②这里也可以运用圆与内切正方形的面积比是157/100这一知识点进行解答, 2圆面积=3.14× (3.14÷3.14÷2)×100/157=0.5(平方米)【例题十一】如图两个正方形之间阴影部分的面积是2 0平方厘米,求圆环的面积。分析与解:设内圆半径为r,外圆半径为R,从图上可以看出:R的平方-r的平方=20(平方 厘米)圆环的面积=3.14×(R的平方-r的平方) =3.14×20=62.8(平方厘米)【例题十二】26名同学一起去春游,每人只买一瓶饮料,如果3个空瓶可以 换回1瓶饮料,他们最多可以喝到几瓶饮料?分析与解:①学生会用图示法进行分析,得出最多可以喝到38瓶饮料还剩下2个空瓶,缺乏借一 个空瓶再置换一瓶汽水后喝完还回空瓶的策略。此题还可以转化为每2个空瓶就能有一瓶饮料的思路,因此用26+26÷2=39瓶,成为 运用简单置换策略解决问题的典型题例。(四)假设与图解:【例题十三】有三堆棋子,每堆棋子一样多,并且都只有 黑、白两种颜色。第一堆里的黑子和第二堆里的白子一样多,第三堆里的黑子占全部黑子的2/5。把三堆棋子集中在一起,白子占全部棋子的几分 之几?分析与解:假设黑子有5颗,则第三堆黑子有2颗,第一、二堆黑子共有3颗,而第一堆里的黑子和第二堆里的白子一样多,所以每堆有 3颗棋子,画图如下:第一堆第二堆第三堆○○ ○○4÷9=4/9(五)还原法:【例题十四】甲、乙、丙三个水桶中各装有一些 水,共72升。先将甲桶中1/3的水倒入乙桶,再将乙桶中现有水的1/5倒入丙桶,最后将丙桶中现有水的1/7倒回甲桶,这时三个水桶中的 水同样多。三个水桶原来各有水多少升?分析与解:首先根据“这时三个水桶中的水同样多”,得出每个水桶中的水为72÷3=24升,再列表 如下:2230-10=2020÷(1-1/3)=30第二次操作前(原来)28-6=2224÷(1-1/5)=30 20第二次操作前24÷(1-1/7)=282424-4=20第三次操作前242424现在丙乙甲 (六)抓住不变量:【例题十五】有含水量为90%的盐水500克,加热后变成了含水量为75%的盐水。蒸发了多少克的 水?分析与解:这道题盐的质量不变。先求出盐的质量:500×(1-90%)=50(克)再求出加热后盐水的质量:50÷(1-7 5%)=200(克)最后求出蒸发了的水的质量:500-200=300(克)基本数量关系:盐+水=盐水 盐水×含盐率=盐;盐水×含水率=水【例题十六】配制20%的糖水1000克,需要用浓度为 18%和23%的糖水各多少克?分析与解:这道题糖的质量是不变量:1000×20%=200( 克)设18%的糖水为x克,则23%糖水为(1000-x)克18%x+23%×(1000-x )=2000.18x+230-0.23x=200 0.05x=30 X=600——(18%的糖水)100 0-600=400——(23%的糖水)【例题十七】甲容器中有8%的盐水300克,乙容器中有12.5%的盐水1 20克。往甲、乙两个容器中倒入等量的水,使两个容器中盐水的浓度一样,求每个容器应倒入水多少克?分析与解:这道题抓住盐的质量不变。 300×8%=24(克)120×12.5% =15(克)2415 =300+x120+x15×(300+x)=24×(120+x)4500+15x=2880+24x24x-15x=4500-28809x=1620X=180(克) |
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