绵阳市高中2010级第三次诊断性考试
数学（文科）
本试卷分第I卷（选择题)和第II卷（非选择题）两部分。第I卷l至2页，第II卷3至4页。满分150分。考试时间120分钟。
注意事项：
1. 答题前,考生务必将自己的姓名、考号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置。
2. 选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米的黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
3. 考试结束后，将答题卡收回。
第I卷（选择题，共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合U={l,2,3,4},M={l,2,3},N={2，3,4},则等于
A.{1,2}B.{2,3}
C.{2,4} D.{1,4}
2.抛物线x2=-4y的准线方程是
A.x=-1 B.x=2
C.y=1 D.y=-2
3. 若复数z满足zi=1+i (i为虚数单位),则复数z=
A.1+i B.-1-i
C.1-i D.-1+i
4. 设数列{an}是等比数列，则“a1
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
5. 平面向量a与b的夹角为600,a=(2,0)，b=(cosa,sina),|a+2b|=
A.B.2
C.4 D.12
6. 函数f(x)=x-sinx的大致图象可能是
7. 执行如图所示的程序框图，若输出结果为26,则M处的条件为
A.B.
C.k>3lD.k>l5
8. 己知函数.，若函数f(x)在区间上单调递增，则0的取值范围是
A[]
B[]
C(][)
D(][)
9. 已知椭圆与离心率为2的双曲线的公共焦点是F1F2,点P是两曲线的一个公共点，若,则椭圆的离心率为
A.B.
C.D.
10. 已知函数f(x)=ln(ex+a)(e是自然对数的底数，a为常数）是实数集R上的奇函数，若函数f(x)=lnx-f(x)(x2-2ex+m)在(0,+∞)上有两个零点，则实数m的取值范围是
A.B.
C.D.
第II卷（非选择题，共
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 若直线x+(a-1)y=4与直线x=1平行，则实数a的值是____
12. 如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为4的正方形，俯视图是一个直径为4的圆，则这个几何体的侧面积是____
13. 设变量x、y满足约束条件：，则目标函数z=2x+y的最大值是_______
14. 己知，且cosa=______
15. 定义在区间[a, b]上的函数y=f(x),是函数f(x)的导数，，,则称为[a,b]“中值点”.下列函数：
①f(x)=2x+l, ②f(x)=x2-x+l,
③f(x)=lnx+l, ④，
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16. (本小题满分12分）
从高三学生中抽取n名学生参加数学竞赛，成绩（单位：分）的分组及各数据绘制的频率分布直方图如图所示，已知成绩的范围是区间[40,100),且成绩在区间[70,90)的学生人数是27人.
(I) 求n的值;
(II)试估计这n名学生的平均成绩；
(III)若从数学成绩（单位：分）在[40,60)的学生中随机选取2人进行成绩分析，求至少有1人成绩在[40,50)内的概率.
17. (本小题满分12分）
{an}是等差数列，a1=3,Snn项和，{bn}中，b1=1且b2+S2=1O,S5=5b3+3a2.
，数列{cn}的前n项和为Tn,求证
18. (本小题满分12分）
，ABCD2的正方形，EDABCD,ED=1,EF//BD且EF=BD.
(I)求证：BF//ACE
(II)求证：
(III)求几何体ABCDEF的体积.
19. (本小题满分12分）
函数的部分图象如图示，将y=f(x)的图象向右平移个单位后得到函数y=f(x)的图象.
(I)求函数y=g(x)的解析式；
(II)ABC中三个内角A，B，Ca,b，c，+＝2sinAsinaB,且C=，c=3，ABC的面积.
20. (本小题满分13分）
已知椭圆C:的离心率为，以原点为圆心，椭圆c的短半轴长为半径的圆与直线相切.A、B是椭圆的左右顶点，直线l过B点且与x轴垂直，如图.
(I)求椭圆的标准方程；
(II)设G是椭圆上异于A、B的任意一点，GH丄x轴，H为垂足，延长HG到点Q使得HG=GQ,连接AQ并延长交直线l于点M,点N为MB的中点，判定直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系，并证明你的结论.
21. (本小题满分14分）
已知函数f(x)=ex-ax(e为自然对数的底数).
(I)求函数f(x)的单调区间；
(II)如果对任意，都有不等式f(x)>x+x2成立，求实数a的取值范围；
(III)设,证明：+++…+<
绵阳市高中2010级第三次诊断性考试
数学(文)参考解答及评分标准
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．
DCCBBAABDD
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11．1 12．16π 13．3 14．15．①④
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．解：（Ⅰ）成绩在区间的频率是：
1(0.02+0.016+0.006+0.004)×10=0.54，
∴人．……………………………………………………………3分
（Ⅱ）成绩在区间的频率是：
1(0.02+0.016+0.006+0.004+0.03)10=0.24，
利用组中值估计这50名学生的数学平均成绩是：
45×0.04+55×0.06+65×0.2+75×0.3+85×0.24+95×0.16=76.2．……………3分
（Ⅲ）成绩在区间的学生人数是：50×0.04=2人，
成绩在区间的学生人数是：50×0.06=3人，
设成绩在区间的学生分别是A1，A2，成绩在区间的学生分别是B1，B2，B3，
从成绩在的学生中随机选取2人的所有结果有：(A1，A2)，(A1，B1)，
(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)共10种情况．
至少有1人成绩在内的结果有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)共7种情况．
∴至少有1人成绩在内的概率P=．……………………………6分
17．解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，
由题意可得：
解得q=2或q=(舍)，d=2．
∴数列{an}的通项公式是an=2n+1，数列{bn}的通项公式是．…7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，于是，
∴
<．…………12分
18．解：（Ⅰ）如图，记AC与BD的交点为O，连接EO，于是DO=OB．
∵EF∥BD且EF＝BD，
∴EFOB，
∴四边形EFBO是平行四边形，
∴BF∥EO．
而BF平面ACE，EO平面ACE，
∴BF∥平面ACE．…………………………4分
（Ⅱ）∵ED⊥平面ABCD，AC平面ABCD，
∴ED⊥AC．
∵ABCD是正方形，
∴BD⊥AC，
∴AC⊥平面BDEF．
又AC?平面EAC，故平面EAC⊥平面BDEF．……………………………8分
（Ⅲ）连结FO，∵EFDO，
∴四边形EFOD是平行四边形．
由ED⊥平面ABCD可得ED⊥DO，
∴四边形EFOD是矩形．
∵平面EAC⊥平面BDEF．
∴点F到平面ACE的距离等于就是Rt△EFO斜边EO上的高，
且高h=＝．
∴几何体ABCDEF的体积
=
=2．……………………………………………12分
19．解：（Ⅰ）由图知：，解得ω=2．
再由，
得，即．
由，得．
∴．
∴，
即函数y=g(x)的解析式为g(x)=．………………………………6分
（Ⅱ）由已知化简得：．
∵(R为△ABC的外接圆半径)，
∴，
∴sinA=，sinB=．
∴，即．①
由余弦定理，c2=a2+b2-2abcosC，
即9=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab．②
联立①②可得：2(ab)2-3ab-9=0，解得：ab=3或ab=(舍去)，
故△ABC的面积S△ABC=．…………………………………12分
20．解：（Ⅰ）由题可得：e=．
∵以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x+y+=0相切，
∴=b，解得b=1．
再由a2=b2+c2，可解得：a=2．
∴椭圆的标准方程：．……………………………………………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：A(-2，0)，B(2，0)，直线l的方程为：x=2．
设G(x0，y0)(y0≠0)，于是H(x0，0)，Q(x0，2y0)，
且有，即4y02=4-x02．
设直线AQ与直线BQ的斜率分别为：kAQ，kBQ，
∵，即AQ⊥BQ，
∴点Q在以AB为直径的圆上．
∵直线AQ的方程为：，
由解得：即，
∴．
∴直线QN的斜率为：，
∴，于是直线OQ与直线QN垂直，
∴直线QN与以AB为直径的圆O相切．…………………………………13分
21．解：（Ⅰ）∵，
当a≤0时，得函数f(x)在(-∞，+∞)上是增函数．
当a>0时，
若x∈(lna，+∞)，，得函数在(lna，+∞)上是增函数；
若x∈(-∞，lna)，，得函数在(-∞，lna)上是减函数．
综上所述，当a≤0时，函数f(x)的单调递增区间是(-∞，+∞)；当a>0时，函数f(x)的单调递增区间是(lna，+∞)，单调递减区间是(-∞，lna)．…5分
（Ⅱ）由题知：不等式ex-ax>x+x2对任意成立，
即不等式对任意成立．
设(x≥2)，于是．
再设，得．
由x≥2，得，即在上单调递增，
∴h(x)≥h(2)=e2-4>0，进而，
∴g(x)在上单调递增，
∴，
∴，即实数a的取值范围是．………………………10分
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，
当a=1时，函数f(x)在(-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增．
∴f(x)≥f(0)=1，即ex-x≥1，整理得1+x≤ex．
令(n∈N，i=1，2，…，n-1)，则≤，即≤，
∴≤，≤，≤，…，≤，
显然≤，
∴
≤
，
故不等式（n∈N）成立．……………4分
A
C
D
E
F
O
|
|
