数学中使用的一般科学方法

数学中使用的一般科学方法

（1）        数学中的观察与实验
诺依曼说：大多数最好的数学灵感来源于经验。
典型事例：用数学方法发现海王星。
对观察得来的数据，设想一个思想实验，看看实验结果是否与观察结果相符合。
数学家可分为理论数学家和实验数学家。
费尔马是理论数学家。
欧拉是实验数学家。
数学实验和一般实验不同。数学实验面对的往往是数据、图形、方程之类的思想材料。
思想实验：根据研究目的人为地创设、改变和控制某种数学情景，在有利条件下经过思想活动，以研究某种数学现象和数学规律，通过思想实验，往往会形成一些新的概念，提出一种猜想。
数学模拟是用计算机模拟。
曼德勃劳依德创立分形理论，他是用计算机造出许多图形，依靠计算机的实验以发现许多数学性质，理解一种数学构造。


（2）        数学直觉
庞加来说“逻辑用于证明，直觉用于发明。”
数学直觉没有明确定义，大体上是指对数学对象中隐含的整体性、次序性、和谐性的领悟，能够越过逻辑推理而作出种种预见的能力。
数学的原动力是想象力而不是推理。
（3）        归纳与类比
一个完整的数学工作应有三个部分：
1．        通过观察、实验、分析和综合，提出符合现实情景的数学模型。
2．        由于数学的相对独立性，数学模型可以提供大量数学命题，于是设定各种数学猜想，然后加以证明或反驳，以寻求数学基本规律。
3．        将数学理论用于现实，求得进一步发展。
1，        3为应用数学家，2为纯数学家。
一个优秀的数学家会根据自己的“数觉”，运用科学方法，提出好的数学问题，设定数学猜想，以便作深入研究。
问题选的好坏，猜想是否合适，是决定数学创造的关键，也是数学水平得分野。
拉普拉斯说：“在数学里，发现真理的工具是归纳与类比。’
归纳是个别――一般。
归纳有完全归纳法与不完全归纳法。
猜想有正确的也有不正确的。
一元二次方程可以用根式求得，三次、四次也可以。于是猜想N次方程也一定能用根式求解，然而这一猜想是不正确的。
证明了为了否定这一猜想，伽罗瓦创立了群论，阿贝尔五次及五次以上的方程一般不能用根式求解。
类比
波利亚在《怎样解题》中说：“类比是一个伟大的引路人。“”每当理智缺乏可靠论证思路时，类比这个方法往往能指引我们前进。“
中学数学中常用的类比
个别到一般的推广；某种特殊性推广使用；低维到高维的类比；方法上的类比。

（4）        证明方法
数学证明的价值：
1．        有助于核实真理；
2．        最重要的是增进理解，只有弄懂了一个定理的证明，才能真正理解定理的内容。

数学的严谨性是相对的，绝对严格是做不到的。
数学的证明与其他学科的证实有本质的不同，它具有更多形式化的特点，更接近于形式逻辑，有更强的可靠性。

（5）        化归与逻辑
化归方法，就是将一个问题A进行变形，使其归结为另一个已解决的问题B，既然B已可解决，那么A也可以解决。

化归的方向是由难到易，化繁为简。

善于使用化归法是数学家思维方式的一个重要的特点。

数学证明的一般方法有三步：
第一步，凭“数觉’和经验设计证题的一般思路；

第二步，将问题化归为较易的或已经解决的新问题，并找出化归的逻辑线索；

第三步，运用逻辑的演绎方法将问题解决过程的逻辑要点写下来。

9种演绎推理
1．        假言推理；
2．        传递推理；
3．        否定肯定式；
4．        演绎定理；
5．        证逆否命题法；
6．        列举法；
7．        数学归纳法；
8．        举反例法；
9．        间接证明法。