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计算无处不在。 走进一个机房，在服务器排成的一道道墙之间，听着风扇的鼓噪，似乎能嗅出0和1在CPU和内存之间不间断的流动。从算筹算盘，到今天的计算机，我们用作计算的工具终于开始量到质的飞跃。计算机能做的事情越来越多，甚至超越了它们的制造者。上个世纪末，深蓝凭借前所未有的搜索和判断棋局的能力，成为第一台战胜人类国际象棋世界冠军的计算机，但它的胜利仍然仰仗于人类大师赋予的丰富国际象棋知识；而仅仅十余年后，Watson却已经能凭借自己的算法，先“理解”问题，然后有的放矢地在海量的数据库中寻找关联的答案。长此以往，工具将必在更多的方面超越它的制造者。而这一切，都来源于越来越精巧的计算。 计算似乎无所不能，宛如新的上帝。但即使是这位“上帝”，也逃不脱逻辑设定的界限。 第一位发现这一点的，便是图灵。
《计算的极限》系列 函数构成的世界
【图片来自Wikipedia】 丘奇作为图灵在数学上的前辈，思考的问题自然比图灵要深远得多。图灵考虑的问题，仅仅是希尔伯特的可判定性问题，而丘奇当时思考的，是如何重构数学的基础。 当时正是第三次数学危机勃发之际，数学界各路人马对数学基础应该置于何处争论不休。当时公理化集合论刚刚建立，作为新事物，自然有人持观望态度，而丘奇就是其中一位，他觉得自己可以创造一个更好的理论，以此作为数学的基础。与其选择集合与包含这两个概念，他选择了数学中另一个重要的概念：函数。 数学家眼中的函数，比你想像的要广泛得多。在中学数学中，说到函数，自然会联想起它在平面直角坐标系的图像。这是因为中学数学中的函数，大部分情况下不过是从实数到实数的映射而已。而数学家眼中的函数，可能与程序员眼中的函数更相似：它们更像是一个黑箱，从一边扔进去某个东西，另一边就会吐出来另一个东西。
【感谢neko（@iNEKO_mini）提供图片】 我们并没有限定能扔进黑箱的东西。事实上，将黑箱本身扔进黑箱也是可以的。对这种把戏，数学家们再熟悉不过了，在泛函分析这一数学分支中，数学家们就经常研究一种叫“算子”的数学概念，在某些特殊情况下，就是那些将一个函数变成另一个函数的函数。所以，不去限定能扔进黑箱的东西，似乎也没什么问题。
【再次感谢neko（@iNEKO_mini）提供图片】 总而言之，函数就是将一个函数变成另一个函数的东西。那么，要用符号表达这么普遍的函数概念，我们需要什么呢？ 首先，就像在方程中我们用x, y, z等等符号表示未知数，我们也希望能用符号表示未知函数。我们将这些表示未知函数的符号称为变量。 其次，如果我们手上有两个函数 这样不停替换下去，得到的结果就相当于将函数$f$应用到自身任意多次。λ演算的能力，特别是在自我指涉方面，于此可见一斑。 正是如此强大的表达能力，使得作为逻辑系统的λ演算一无所能。如果还记得图灵机是怎么在停机问题上失效的话，实际上利用相似的技巧，对于任意的命题，我们可以构造一个λ演算中的证明，无论命题本身是对是错。 后来Curry的工作在更深刻的意义上揭示了这一点。他概括了λ演算的某些特性，然后证明了对于无论什么逻辑系统，只要它拥有这些特性，那么它必然是不一致的。而这些特性，也恰好是会碍事的那部分自我指涉所需要的。 于是，作为一个逻辑模型，λ演算一败涂地。 但丘奇没有就此止步。虽然λ演算不能如他所愿成为数学的推理基础，作为一个计算模型似乎倒也不错。我们可以将一个计算过程看成函数，将输入数据转化为输出数据的函数。于是丘奇将“可有效计算”定义为“可以用λ演算表达的函数”。这时，自我指涉的特性就成为了不可多得的优点，因为这实际上说明λ演算有强大的计算能力。利用自我指涉的特性，通过相似的构造方法，丘奇同样解决了希尔伯特的可判定性问题，得到了与图灵相同的结论。 丘奇在构想λ演算之时，瞄准的是更为基本的数学基础模型，但它却成为了可计算性的模型，真可谓“无心插柳柳成荫”。这就是图灵看到的那篇论文的由来。 不难想象图灵当时读到这篇论文时的心情。如果将数学比作攀山，当你千辛万苦登上一座处女峰，却蓦然发现山顶已经插上了别人的旗帜，你大概会觉得一切都似乎失去了意义。 但数学毕竟不是攀山，不同的路径可能有不同的景致，要论高下为时尚早。况且要比较两者，要先知道两者解决的到底是不是同一个问题。虽然图灵和丘奇解决的都是同一个问题，但他们对“可计算性”各自做了不同的假定。图灵认为“可计算的问题”就是图灵机可以解决的问题，而丘奇则认为那应该是λ演算可以解决的问题。 问题是，图灵机和λ演算这两个计算模型，它们解决问题的能力一样吗？两种视点下的可计算性，到底是殊途同归，还是貌合神离？ |
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