目录
0.基本数量关系…………………………………………3
1.行程问题……………………………………………4
1.1相遇追及问题………………………………………4、5
（相遇、追及、错车与超车、钟表问题流水问题行船问题行程综合等差数列求和乘法速算除法的速算定义新运算分数大小的比较分数拆分奇数与偶数数的整除余数问题同余与周期约数与倍数2.5质数与合数分解因式数进制完全平方数循环小数3.10比和比例加法乘法原理5.1和差倍问题…………………………………………345.2归一归总……………………………………………355.3平均数………………………………………………355.4植树问题……………………………………………365.5年龄问题……………………………………………385.6工程问题假设问题牛吃草还原问题列方程解应用题5.12其他解题方法……………………………………43（有序思考、图形法、列表法、错中求解、一题多解、开放题）
6.几何问题………………………………………………456.1小学数学图形计算公式圆的计算几何面积立体图形幻方与数阵1每份数×份数＝总数总数÷每份数＝份数总数÷份数＝每份数21倍数×倍数＝几倍数几倍数÷1倍数＝倍数几倍数÷倍数＝1倍数3速度×时间＝路程路程÷速度＝时间路程÷时间＝速度4单价×数量＝总价总价÷单价＝数量总价÷数量＝单价5工作效率×工作时间＝工作总量工作总量÷工作效率＝工作时间工作总量÷工作时间＝工作效率6加数＋加数＝和和－一个加数＝另一个加数7被减数－减数＝差被减数－差＝减数差＋减数＝被减数8因数×因数＝积积÷一个因数＝另一个因数9被除数÷除数＝商被除数÷商＝除数商×除数＝被除数行程问题走路、行车等匀速运动中的速度、时间和路程三者关系的应用题叫行程问题。行程问题根据题目的内容、性质所需要解答的问题，又分为相遇问题、追及问题、火车过桥问题等。解答各类行程问题的基础，要掌握速度、时间和路程三种量之间的关系：路程=速度×时间时间=路程÷速度速度=路程÷时间
相遇问题的公式相遇问题的特点是两个运动物体或人，同时或不同时从两地相向而行，或同时同地相背而行，要解答相遇问题，掌握以下数量关系：速度和相遇路程＝速度和×相遇时间相遇时间＝相遇路程÷速度和速度和＝相遇路程÷相遇时间÷（甲速度+乙速度）×狗速度
追及问题的公式运动的物体或人同向而不同时出发，后出发的速度快，经过一段时间追上先出发的，这样的问题叫做追及问题，解答追及问题的基本条件是“追及路程”和“速度差”。追及问题的基本数量关系是：追及距离追及距离＝速度差×追及时间追及时间＝追及距离÷速度差速度差＝追及距离÷追及时间
钟表问题1解答钟表问题，我们首先想办法把有些能转化成相遇或追及问题的转化为相遇或追及问题来解答。2解答钟表上的时间快慢问题，关键是抓住单位时间内的误差，然后根据某一时间段内含多少个单位时间，就可以求出这一时间段内的误差。
时钟问题快慢表问题
基本思路：
1、按照行程问题中的思维方法解题；
2、不同的表当成速度不同的运动物体；
3、路程的单位是分格（表一周为60分格）；
4、时间是标准表所经过的时间；
合理利用行程问题中的比例关系；时钟问题钟面追及
基本思路：封闭曲线上的追及问题。
关键问题：①确定分针与时针的初始位置；
②确定分针与时针的路程差；
基本方法：
①分格方法：
时钟的钟面圆周被均匀分成60小格，每小格我们称为1分格。分针每小时走60分格，即一周；而时针只走5分格，故分针每分钟走1分格，时针每分钟走1／12分格。
②度数方法：
从角度观点看，钟面圆周一周是360°，分针每分钟转360/60度，即6°，时针每分钟转360/1260度，即1/2度。
流水问题行船问题船在江河里航行，前进的速度与水流动的速度有关系。船在流水中行程问题，叫做行船问题（也叫流水问题）。船顺流而下的速度和逆流而上的速度与船速、水速的关系是：顺流速度＝静水速度＋水流速度逆流速度＝静水速度－水流速度静水速度＝(顺流速度＋逆流速度)÷2水流速度＝(顺流速度－逆流速度)÷2由于顺水速度是船速与水速的和，逆水速度是船速与水速的差，因此行船问题就是和差问题，所以解答行船问题有时需要驼用和差问题的数量关系。船速=（顺水速度＋逆水速度）÷2水速=（顺水速度－逆水速度）÷2因为行船问题也是行程问题，所以在行船问题中也反映了行程问题的路程、速度与时间的关系。顺水路程=顺水速度×时间×时间逆水路程=逆水速度×时间×时间1.3过桥问题/15.X三100、105四47过桥问题的一船的数量关系是：路程=桥长＋车长车速=（桥长＋车长）÷通过时间通过时间=（桥长＋车长）÷车速车长=车速×通过时间－桥长
桥长=车速×通过时间－车长车速×通过时间综合行程基本概念：行程问题是研究物体运动的，它研究的是物体速度、时间、路程三者之间的关系.
基本公式：路程=速度×时间；路程÷时间=速度；路程÷速度=时间
关键问题：确定运动过程中的位置和方向。
相遇问题：速度和×相遇时间=相遇路程（请写出其他公式）
追及问题：追及时间＝路程差÷速度差（写出其他公式）
流水问题：顺水行程=（船速+水速）×顺水时间
逆水行程=（船速-水速）×逆水时间
顺水速度=船速+水速
逆水速度=船速-水速
静水速度=（顺水速度+逆水速度）÷2
水速=（顺水速度-逆水速度）÷2
流水问题：关键是确定物体所运动的速度，参照以上公式。
过桥问题：关键是确定物体所运动的路程，参照以上公式。
主要方法：画线段图法
基本题型：已知路程（相遇路程、追及路程）、时间（相遇时间、追及时间）、速度（速度和、速度差）中任意两个量，求第三个量。
2.1加减法二61、118三A14、64配对求和、五39巧妙求和、79华3.1-1华4.1-1凑整法二61补数:两个数相加，若能恰好凑成整十、整百、整千、整万…，就把其中的一个数叫做另一个数的“补数”。两个数互为“补数”。对于一个较大的数，如何能很快地算出它的“补数”:从最高位凑起，使各位数字相加得9，到最后个位数字相加得10。
如：87655→12345，46802→53198，87362→12638，…带运算符号搬家，先把和是整十、整百、整千的数算出来。二118（改变运算顺序：在只有“+”、“-”号的混合算式中，运算顺序可改变）
（每个数前面的运算符号是这个数的符号.如325＋46-125＋54中的+46，-125，+54.而325前面虽然没有符号，应看作是+325。）
两个数相同而符号相反的数可以直接“抵消”掉。
先拆分，再凑整。96+15=96+（4+11）
63+18+19=60+2+1+18+19=60+（2+18）+（1+19）在涉及所有数字都是9的计算中，常使用凑整法.例如将999化成1000—1去计算.这是小学数学中常用的一种技巧.
9＋99＋999＋9999＋99999＝（10－1）＋（100-1）＋（1000－1）＋（10000-1）＋（100000-1）＝10＋100＋1000＋10000＋100000-5
除最高位是1外，其余都是9，仍使用凑整法.不过这里是加1凑整.（如199＋1＝200）
199999＋19999＋1999＋199＋19
＝（19999＋1）＋（19999＋1）＋（1999＋1）＋（199＋1）＋（19＋1）－5
加法的速算（1）加法交换律（2）加法结合律（3）互补数?如果两个数的和是整十、整百、整千…那么这样的两个数叫做互为补数。23+20+19+22+18+21=20×6+3+0-1+2-2+1？1966、1976、1986、1996、2006五个数的总和.
减法的速算（1）一个数减去几个数的和，可以用这个数依次减去和里面的各个加数。（2）一个数减去两个数的差，可以用这个数先减去差里的被减数，再加上减数；或用这个数加上差里的减数，再减去被减数。（3）一个数里连续减去几个数，可以交换减数的位置，差不变。2356-159-256=2356-256-159（4）集中相减三1把几个互为“补数”的减数先加起来，再从被减数中减去。1000-90-80-20-10=1000-（90＋80＋20＋10）
加减法混合运算的性质：（1）交换的性质：在加减法混合运算式题中，带着数字前面的运算符号，交换加减数的位置顺序进行计算，其结果不变。（2）结合的性质：在加减混合运算式题中，可以把加数、减数用括号结合起来，当加号后面添括号时，原来的运算符号不变；当减号后面添括号时，则原来的减数变加数，加数变减数。如：
在只有加减运算的算式里，如果括号前面是“＋”号，则不论去掉括号或添上括号，括号里面的运算符号都不变；如果括号前面是“-”号，则不论去掉括号或添上括号，括号里面的运算符号都要改变，“+”变“-”，“-”变“+”，即：
a＋（b＋c＋d）＝a＋b＋c＋d
a-（b＋a＋d）＝a-b-c-d
a-（b-c）＝a-b+c在加减混合运算中，根据运算定律和运算性质可以归纳为：括号前面是加号，去掉括号不变号；加号后面添括号，括号里面不变号；括号前面是减号，去掉括号要变号；减号后面添括号，括号里面要变号。注：号是指数字前面的运算符号。如果我们能够灵活运用运算定律和运算性质计算，会使计算做得又对又快。
等差数列求和数列是指按一定规律顺序排列成一列数。如果一个数列中从第二个数开始，每一个数减去前一个数所得的差都是相等的话，我们就把这样的一列数叫做等差数列。等差数列中的每一个数都叫做项，第一个数叫第一项，通常也叫“首项”，第二个数叫第二项，第三个数叫第三项……最后一项叫做“末项”。等差数列中相邻两项的差叫做“公差”。等差数列中项的个数叫做“项数”。
等差数列：在一列数中，任意相邻两个数的差是一定的，这样的一列数，就叫做等差数列。
基本概念：首项：等差数列的第一个数，一般用a1表示；
项数：等差数列的所有数的个数，一般用n表示；
公差：数列中任意相邻两个数的差，一般用d表示；
通项：表示数列中每一个数的公式，一般用an表示；
数列的和：这一数列全部数字的和，一般用Sn表示．
基本思路：等差数列中涉及五个量：a1,an,d,n,sn,,通项公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可求出第四个；求和公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可以求这第四个。
基本公式：通项公式：an=a1+（n－1）d；
通项＝首项＋（项数一1)×公差；
数列和公式：sn,=(a1+an)×n÷2；
数列和＝（首项＋末项）×项数÷2；
项数公式：n=(an+a1)÷d＋1；
项数=（末项-首项）÷公差＋1；
公差公式：d=（an－a1））÷（n－1）；
公差=（末项－首项）÷（项数－1）；关键问题：确定已知量和未知量，确定使用的公式；1.等差连续数的个数是奇数时，它们的和等于中间数乘以个数，简记成：
和=中间数×个数1+2+3+4+5+6+7+8+9=5×9中间数是5
2.等差连续数的个数是偶数时，它们的和等于首数与末数之和乘以个数的一半，简记成：和=（首数+末数）×（个数÷2）1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=（1+10）×5=11×5=55
2.2乘法速算1.凑整、凑易算两数的乘积是整十、整百、整千的，要先乘.为此，要牢记下面这三个特殊的等式：5×2=10
25×4=100125×8=10002.配对125×2×8×25×5×4=（125×8）×（25×4）×（5×2）3.分组、分类简化。分解因数，凑整先乘。24×25=6×（4×25）56×125=7×8×125=7×（8×125）125×5×32×5=125×5×4×8×5=（125×8）×（5×5×4）4.运算定律：乘法中的速算，要运用以下定律：（1）乘法交换律?（2）乘法结合律?（3）乘法分配律?（4）乘法性质①两个数的差与一个数相乘，可以用被减数和减数分别与这个数相乘，再把所得的积相减。②一个数与两个数的商相乘，可用这个数先与商里的被除数相乘，再除以商里的除数；或用这个数先除以商里的除数，再与商里的被除数相乘。（5）积的变化规律（6）特殊数字的乘积5×2=10?25×4=100?125×8=100025×16=1000037×3=11175×4=300375×8=3000
几种特殊因数的巧算。
×10、×100、×1000例一个数×10，数后添0；15×10=150
一个数×100，数后添00；15×100=1500
一个数×1000，数后添000；15×1000＝15000
一个数×9，数后添0，再减此数；12×9＝120-12＝108
一个数×99，数后添00，再减此数；12×99＝1200－12＝1188
一个数×999，数后添000，再减此数；12×999＝12000-12=11988
以此类推。
一个偶数乘以5，可以除以2添上0。
如：6×5＝3016×5＝80116×5=580一个数乘以11，“两头一拉，中间相加”一个偶数乘以15，“加半添0”.24×15＝（24+12）×10＝360个位为5的两位数的自乘：十位数字×（十位数字加1）×100+25
如15×15=1×（1+1）×100+25=22525×25=2×（2+1）×100+25=625
35×35=3×（3+1）×100+25=1225一个数乘以11，“两头一拉，中间相加”。如2222×11＝24442
恒等变形：比较下面两个积的大小：
A＝987654321×123456789，
B＝987654322×123456788.
解：A＝987654321×123456789＝987654321×（123456788＋1）
＝987654321×123456788＋987654321.
B＝987654322×123456788＝（987654321＋1）×123456788
＝987654321×123456788＋123456788.
因为987654321＞123456788，所以A＞B.
一般说来，将一个整数拆成两部分（或两个整数），两部分的差值越小时，这两部分的乘积越大.
如：10＝1＋9＝2＋8＝3＋7＝4＋6＝5＋5则5×5＝25积最大.
下面哪道题得数最大：241×249242×248243×247244×246245×245
取整计算：华6.2-2在数学计算中，有时会略去某些量的小数部分，而只需求它的整数部分．比如，用5米长的花布做上衣，已知每件上衣需用布2米，求这块布料可以做几件？所以数学上引进了符号〔〕，使我们的表述简明．[a]表示不超过a的最大整数，称为a的整数部分．[a]显然有以下性质：
①[a]是整数；
②[x]≤x；
③x＜[x]+1；
④若b≥1，则［a＋b］＞〔a〕；
若b≤1，则〔a＋b〕≤[a]+1．
2.3除法的速算除法中的速算，要根据以下各种性质：864×27÷54＝864÷54×27（1）两个数或几个数的积除以一个数，可以先用积里的任何一个因数除以这个数，所得的商再与其他因数相乘。（2）一个数除以两个数的积，可以用这个数依次除以积里的各个因数。（3）一个数除以两个数的商，可以用这个数除以商里的被除数，再乘以商里的除数；或者用这个数乘以商里的除数，再除以商里的被除数。（4）两个或几个数的和除以一个数，可以把和里的各个数分别除以这个数，再把它们的商相加。（5）两个数的差除以一个数，可以用被减数、减数分别除以这个数，再把所得的商进行相减。n个数都除以同一个数后再加减时，可以将它们先加减之后再除以这个数。）（6）商不变的性质：如果被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数，商不变。①110÷5=（110×2）÷（5×2）＝220÷10=22
②3300÷25＝（3300×4）÷（25×4）＝13200÷100＝132
③44000÷125=（44000×8）÷（125×8）＝352000÷1000＝352（7）乘除法混合运算的交换性质：在乘除混合运算中，带着数字前面的运算符号交换乘数、除数的位置，结果不变。
在乘法、除法和乘除法混合运算中，根据运算的定律和运算性质，可以归纳为：括号前面是乘号，去掉括号不变号；乘号后面添括号，括号里面不变号；括号前面是除号，去掉括号要变号；除号后面添括号，括号里面要变号；注：号是指数字前面的运算符号。
即a×（b÷c）=a×b÷c从左往右看是去括号，
a÷（b×c）＝a÷b÷c从右往左看是添括号。
a÷（b÷c）＝a÷b×c
2.4定义新运算基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。
基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。
关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。
注意事项：新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。
每个新定义的运算符号只能在本题中使用。
比较大小?估算最常用的技巧是“放大缩小”，即先对某个数或算式进行适当的“放大”或“缩小”，确定它的取值范围，再根据其他条件得出结果，调整放缩幅度的方法有两条：一是分组（分段），并尽可能使每组所对应的标准相同；另一种方法是按近似数乘除法计算法则，比要求的精确度多保留一位，进行计算。
分数大小的比较通分分子法：使所有分数的分子相同，根据同分子分数大小和分母的关系比较。分子相同的分数比较大小，分母大的分数反而小。通分分母法：使所有分数的分母相同，根据同分母分数大小和分子的关系比较。分母相同的分数比较大小，分子大的分数比较大。基准数法：确定一个标准，使所有的分数都和它进行比较。
分子和分母大小比较法：当分子和分母的差一定时，分子或分母越大的分数值越大。
倍率比较法：当比较两个分子或分母同时变化时分数的大小，除了运用以上方法外，可以用同倍率的变化关系比较分数的大小。（具体运用见同倍率变化规律）
转化比较方法：把所有分数转化成小数（求出分数的值）后进行比较。
倍数比较法：用一个数除以另一个数，结果得数和1进行比较。
大小比较法：用一个分数减去另一个分数，得出的数和0比较。
倒数比较法：利用倒数比较大小，然后确定原数的大小。
基准数比较法：确定一个基准数，每一个数与基准数比较。用“第三个数”1比较大小分子和分母都不相同的分数比较大小，可以把它们转化成分母相同的分数比较大小；也可以把它们转化成分子相同的分数比较大小。一个真分数的分子和分母都加上同一个自然数，所得的新分数比原分数大。一个真分数的分子、分母都减去同一个自然数（这个自然数小于真分数的分子），所得的新分数比原分数小。一个假分数的分子、分母都减去同个自然数（这个自然数小于假分数分母），所得的新分数比原分数大。一个假分数的分子、分母都加上同一个自然数，所得的新分数比原分数小。分数拆分
；；；?；；等等。
一、将一个分数单位分解成两个分数之和的公式：
方法一：或
方法二：把一个分数单位拆分成两个分数单位之和的方法是
⑴找分母的约数；
⑵扩分把分数单位的分子、分母分别乘A的任意两个约数之和；
⑶拆分把所得分数拆分成两个分数之和，使两个约数恰好是两个分数的分子；
⑷约分把所得两个分数约成最简分数。
怎样把一个分数拆成两个分数的差。
当一个分数为的形式时，可以拆分为的形式（n为自然数，且n不为0）
即：
例如：；
分数拆分的具体应用
例·计算：
当分数的分子正好等于分母中两个因数的差时，这个分数也可以拆成两个分数之差。
例如：；；
用公式表示就是：当n、n+d（n不为0）都是自然数时，
具体应用：
计算：
对这个公式可以进行变形：例如：
因为8-3=5?所以提取一个，当然，24也可以看成4×6，而6-4=2，所以也可以提取一个，，这得看计算时的需要了。
练习：计算
2.8找规律/27.X20二48、55、203三134三A7四A1、6、44、48华2.2-7
找规律：等差数列二55三A7四A1、6华-2-42-5、2-6、2-7华3.1-6华3.2-1
自然数列、奇数列、偶数列也是等差数列.
（1）1，2，3，4，5，□，□，8，9，10.
（2）1，3，5，7，9，□，□，15，17，19.
（3）2，4，6，8，10，□，□，16，18，20.
（4）1，4，7，10，□，□，19，22，25.
（5）5，10，15，20，□，□，35，40，45.斐波那契数列：从第三个数起，每个数都是它前面的两个数之和.这是个有重要用途的数列.1，1，2，3，5，8，13，□，□，55，89.等比数列：它的后一个数是前一个数的2倍。1，2，4，8，16，□，□，128，256.例9一天，爸爸给小明买了一包糖，数一数刚好100块.爸爸灵机一动，又拿来了10个纸盒，接着说：“小明，现在你把糖往盒子里放，我要求你在第一个盒子里放2块，第二个盒子里放4块，第三个盒子里放8块，第四个盒子里放16块，……照这样一直放下去.要放满这10个盒，你说这100块糖够不够？”差是个自然数列：后一个数减前一个数的差是逐渐变大的，这些差是个自然数列：后一个数减前一个数的差是逐渐变大的，差的变化规律是个等比数列，后一个差是前一个差的2倍.（后一个数等于前一个数乘以2再加1，即后一个数=前一个数×2+1.）自然数平方数列：它的每一个数都是自然数的自乘积.如：1=1×1，4=2×2，9=3×31，4，9，16，25，□，□，64，81，100.一辆公共汽车有78个座位，空车出发.第一站上1位乘客，第二站上2位，第三站上3位，依此下去，多少站以后，车上坐满乘客？（假定在坐满以前，无乘客下车）解：车上的人数是自1开始的连续自然数相加之和，到第几站后，就加到几，所以只要加到出现78时，就可知道是到多少站了，
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12=78（人）
图形变化规律二48、203三134华2-7华2.2-11
和差变化规律四A44
积商变化规律四A48
2.9填数、符号/29.X6、20、33二86、146、153、174、三9、34、38、42、48、54、59、127、三A20、26、33、40、四A22、28
华2.2-8华3.1-7、8
数字迷3.1-9、10、11算符3.1-11、12
横式华4.1-13、14
3.数论问题
奇偶分析数的整除整数拆分余数问题约数倍数质数合数、分解质因数
进位制完全平方数中国剩余定理位值原理
48.数:单双、奇偶、公约公倍X67、73、79、86、92二72、五139、152约数倍数
3.1奇数与偶数加法：偶数＋偶数=偶数奇数＋奇数=偶数偶数＋奇数=奇数减法：偶数－偶数=偶数奇数－奇数=偶数偶数－奇数=奇数乘法：偶数×偶数=偶数奇数×奇数=奇数偶数×奇数=偶数数的整除
一、基本概念和符号：
1、整除：如果一个整数a，除以一个自然数b，得到一个整数商c，而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a。a不能被b整除，（或b不能整除a），记作ba。
2、常用符号：整除符号“|”，不能整除符号“”；因为符号“”，所以的符号“”；
二、整除判断方法：
1.能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。
2.能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。
3.能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。
4.能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。
5.能被7整除：
末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。
逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。
6.能被11整除：
末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。
奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。
逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。
7.能被13整除：
末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。
逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。
三、整除的性质：
1.如果a、b能被c整除，那么（a+b）与（a-b）也能被c整除。
2.如果a能被b整除，c是整数，那么a乘以c也能被b整除。
3.如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。
4.如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。30以下质数整除的数的特征：华5.1-6
整除数 特征 2 末尾是0、2、4、6、8 3 各数位上数字的和是3的倍数 5 末尾是0或5 9 各数位上数字的和是9的倍数 11 奇数位上数字的和与偶数位上数字的和，两者之差是11的倍数 4和25 末两位数是4（或25）的倍数 8和125 末三位数是8（或125）的倍数 7、11、13 末三位数与前几位数的差是7（或11或13）的倍数
整数拆分华2.2-9华6.2-7
3.3余数问题一个带余数除法算式包含4个数：被除数÷除数=商……余数。它们的关系也可表示为：被除数=除数×商＋余数，或（被除数－余数）÷除数=商。余数及其应用基本概念：对任意自然数a、b、q、r，如果使得a÷b=q……r，且0
余数的性质：
余数小于除数。
若a、b除以c的余数相同，则c|a-b或c|b-a。
a与b的和除以c的余数等于a除以c的余数加上b除以c的余数的和除以c的余数。
a与b的积除以c的余数等于a除以c的余数与b除以c的余数的积除以c的余数。
余数、同余与周期同余一、同余的定义：
若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m同余。
已知三个整数a、b、m，如果m|a-b，就称a、b对于模m同余，记作a≡b(modm)，读作a同余于b模m。
二、同余的性质：
自身性：a≡a(modm)；
对称性：若a≡b(modm)，则b≡a(modm)；
传递性：若a≡b(modm)，b≡c(modm)，则a≡c(modm)；
和差性：若a≡b(modm)，c≡d(modm)，则a+c≡b+d(modm)，a-c≡b-d(modm)；
相乘性：若a≡b(modm)，c≡d(modm)，则a×c≡b×d(modm)；
乘方性：若a≡b(modm)，则an≡bn(modm)；
同倍性:若a≡b(modm)，整数c，则a×c≡b×c(modm×c)；
三、关于乘方的预备知识：
若A=a×b，则MA=Ma×b=（Ma）b
若B=c+d则MB=Mc+d=Mc×Md
四、被3、9、11除后的余数特征：
一个自然数M，n表示M的各个数位上数字的和，则M≡n(mod9)或（mod3）；
一个自然数M，X表示M的各个奇数位上数字的和，Y表示M的各个偶数数位上数字的和，则M≡Y-X或M≡11-（X-Y）(mod11)；
五、费尔马小定理：如果p是质数（素数），a是自然数，且a不能被p整除，则ap-1≡1(modp)。
.除此之外，例如：16÷3=5…1，即16=5×3+1.此时，被除数除以除数出现了余数，我们称之为带余数的除法。
一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0），那么一定有另外两个整数q和r，0≤r＜b，使得a=b×q+r。
当r=0时，我们称a能被b整除。
当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a
运用同余解题：华6.1-8
3.4约数与倍数约数和倍数：若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的约数。
公约数：几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。
最大公约数的性质：
1、几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数。
2、几个数的最大公约数都是这几个数的约数。
3、几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数。
4、几个数都乘以一个自然数m，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以m。
例如：12的约数有1、2、3、4、6、12；
18的约数有：1、2、3、6、9、18；
那么12和18的公约数有：1、2、3、6；
那么12和18最大的公约数是：6，记作（12，18）=6；
求最大公约数基本方法：
1、分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。
2、短除法：先找公有的约数，然后相乘。
3、辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数。
公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。
12的倍数有：12、24、36、48……；
18的倍数有：18、36、54、72……；
那么12和18的公倍数有：36、72、108……；
那么12和18最小的公倍数是36，记作[12，18]=36；
最小公倍数的性质：
1、两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。
2、两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。
求最小公倍数基本方法：1、短除法求最小公倍数；2、分解质因数的方法
质数与合数质数：一个数除了1和它本身之外，没有别的约数，这个数叫做质数，也叫做素数。
合数：一个数除了1和它本身之外，还有别的约数，这个数叫做合数。
质因数：如果某个质数是某个数的约数，那么这个质数叫做这个数的质因数。
分解质因数：把一个数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。通常用短除法分解质因数。任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。
分解质因数的标准表示形式：N=，其中a1、a2、a3……an都是合数N的质因数，且a1
求约数个数的公式：P=(r1+1)×(r2+1)×(r3+1)×……×(rn+1)
互质数：如果两个数的最大公约数是1，这两个数叫做互质数。分解因式把一个合数写成几个质数相乘的形式，叫做分解质因数。一个自然数的约数的个数，恰为质因数的指数加1后的乘积。一个数的完全平方数，各个质因数的个数，恰好是平方前这个数各个质因数个数的2倍。一个完全平方数各个质因数的个数都是偶数。数进制1将任意一个P进制的数改写成十进制的数，只要写成，计算其相应的结果。2将任意一个十进制数化为P进制数都可以用P去除这个数，记下余数，直至商为0，然后将余数自下而上依次排列。3二进制的妙用，在日常生活中经常会碰到，应灵活运用。十进制：用0～9十个数字表示，逢10进1；不同数位上的数字表示不同的含义，十位上的2表示20，百位上的2表示200。所以234=200+30+4=2×102+3×10+4。=An×10n-1+An-1×10n-2+An-2×10n-3+An-3×10n-4+An-4×10n-5+An-6×10n-7+……+A3×102+A2×101+A1×100注意：N0=１；N１=N（其中N是任意自然数）
二进制：用0～1两个数字表示，逢2进1；不同数位上的数字表示不同的含义。
（2）=An×2n-1+An-1×2n-2+An-2×2n-3+An-3×2n-4+An-4×2n-5+An-6×2n-7
+……+A3×22+A2×21+A1×20
注意：An不是0就是1。
十进制化成二进制：
根据二进制满2进1的特点，用2连续去除这个数，直到商为0，然后把每次所得的余数按自下而上依次写出即可。
先找出不大于该数的2的n次方，再求它们的差，再找不大于这个差的2的n次方，依此方法一直找到差为0，按照二进制展开式特点即可写出。完全平方数
完全平方数特征：
1.末位数字只能是：0、1、4、5、6、9；反之不成立。
2.除以3余0或余1；反之不成立。
3.除以4余0或余1；反之不成立。
4.约数个数为奇数；反之成立。
5.奇数的平方的十位数字为偶数；反之不成立。
6.奇数平方个位数字是奇数；偶数平方个位数字是偶数。
7.两个相临整数的平方之间不可能再有平方数。
平方差公式：X2-Y2=（X-Y）（X+Y）
完全平方和公式：（X+Y）2=X2+2XY+Y2
完全平方差公式：（X-Y）2=X2-2XY+Y2
循环小数一、把循环小数的小数部分化成分数的规则
①纯循环小数小数部分化成分数：将一个循环节的数字组成的数作为分子，分母的各位都是9，9的个数与循环节的位数相同，最后能约分的再约分。
②混循环小数小数部分化成分数：分子是第二个循环节以前的小数部分的数字组成的数与不循环部分的数字所组成的数之差，分母的头几位数字是9，9的个数与一个循环节的位数相同，末几位是0，0的个数与不循环部分的位数相同。
二、分数转化成循环小数的判断方法：
①一个最简分数，如果分母中既含有质因数2和5，又含有2和5以外的质因数，那么这个分数化成的小数必定是混循环小数。
②一个最简分数，如果分母中只含有2和5以外的质因数，那么这个分数化成的小数必定是纯循环小数。
比和比例
比：两个数相除又叫两个数的比。比号前面的数叫比的前项，比号后面的数叫比的后项。
比值：比的前项除以后项的商，叫做比值。
比的性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（零除外），比值不变。
比例：表示两个比相等的式子叫做比例。a:b=c:d或
比例的性质：两个外项积等于两个内项积(交叉相乘)，ad=bc。
正比例：若A扩大或缩小几倍，B也扩大或缩小几倍（AB的商不变时），则A与B成正比。
反比例：若A扩大或缩小几倍，B也缩小或扩大几倍（AB的积不变时），则A与B成反比。
比例尺：图上距离与实际距离的比叫做比例尺。
按比例分配：把几个数按一定比例分成几份，叫按比例分配。1、解答按比便分配的应用题，关键是根据题目的己知条件，找出部分量与总量之间的关系。把己知数量与份数对应起来，转化为求一个数的几分之几来做。即按以下公式2、对通过增减数量来改变原来的比例关系的题目，解答时要抓住不变的量来解题。
=长方形点数÷2
例数一数，下图中有多少个点？
长方形点数=10×9=（1+9）×9三角形点数=（1+9）×9÷2=45．
——也可以用等差数列法：和=（首项+末项）×项数÷2
梯形：
梯形点数=长方形点数÷2长方形点数=8×5=（2+6）×5
——也可以用等差数列法：和=（首项+末项）×项数÷2
三角形：
小三角形个数=（第一层的数+最末层的数）×层数÷2
枚举法：华2.2-10
4.2加法原理华4.2-1、2
加法原理：如果完成一件任务有n类方法，在第一类方法中有m1种不同方法，在第二类方法中有m2种不同方法……，在第n类方法中有mn种不同方法，那么完成这件任务共有：m1+m2.......+mn种不同的方法。
关键问题：确定工作的分类方法。
基本特征：每一种方法都可完成任务。4趟长途汽车从北京到天津．那么他在一天中去天津能有多少种不同的走法？如果乘火车，有5种走法，如果乘长途汽车，有4种走法．故共有5+4=9种不同的走法．（在上面的问题中，完成一件事有两大类不同的方法．在具体做的时候，只要采用一类中的一种方法就可以完成．并且两大类方法是互无影响的，那么完成这件事的全部做法数就是用第一类的方法数加上第二类的方法数．）
乘法原理：如果完成一件任务需要分成n个步骤进行，做第1步有m1种方法，不管第1步用哪一种方法，第2步总有m2种方法……不管前面n-1步用哪种方法，第n步总有mn种方法，那么完成这件任务共有：N=m1m2×…×mn种不同的方法。
关键问题：确定工作的完成步骤。
基本特征：每一步只能完成任务的一部分。3×1=3如果此人到大连后，可以乘船或飞机到天津，那么他从北京到天津则有以下的走法：3×2=6某人到食堂去买饭，主食有三种，副食有五种，他主食和副食各买一种，共有多少种不同的买法？3×5=15
排列组合排列一般地，从n个不同的元素中任取出m个（m≤n）元素，按照一定的顺序排成一列．叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．第一步：先排第一个位置上的元素，可以从n个元素中任选一个，有n种不同的选法；
第二步：排第二个位置上的元素．这时，由于第一个位置已用去了一个元素，只剩下（n-1）个不同的元素可供选择，共有（n-1）种不同的选法；
第三步：排第三个位置上的元素，有（n-2）种不同的选法；
?
第m步：排第m个位置上的元素．由于前面已经排了（m-1）个位置，用去了（m-1）个元素．这样，第m个位置上只能从剩下的[n-（m-1）]=（n-m+1）个元素中选择，有（nm+1）种不同的选法．
由乘法原理知，共有：
n（n-1）（n-2）?（n-m+1）
种不同的排法，即：某客轮航行于天津、青岛、大连三个城市之间．问：应准备有多少种不同船票？
首先确定起点站，在三个城市中，任取一个为起点站，共有三种选法．
其次确定终点站，每次确定了一个起点站后，只能从剩下的两个城市之中选终点站，共有两种选法。?3×2=6
组合n个不同元素中取出m个（m≤n）元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.从n个不同元素中取出m个元素（m≤n）的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的组合数.记作Cmn.因此我们可以得到组合公式：
.那么，船票共有几种价格（往返票价相同）？C23＝P23÷P22＝（3×2）÷2＝3
加法乘法原理和几何计数直线：一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动，形成的轨迹。
直线特点：没有端点，没有长度。
线段：直线上任意两点间的距离。这两点叫端点。
线段特点：有两个端点，有长度。
射线：把直线的一端无限延长。
射线特点：只有一个端点；没有长度。
数线段规律：总数＝1+2+3+…+（点数一1）；
数角规律=1+2+3+…+（射线数一1）；
数长方形规律：个数=长的线段数×宽的线段数：
数长方形规律：个数=1×1+2×2+3×3+…+行数×列数等量代换：三年级下册-数学广角找次品：五年级下册-数学广角
4.3容斥原理华5.2-12重叠问题/8.（包含与排除）X260二96、三A104三191包含与排除四A184
在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
4—1中的线段表示的是汽车所能经过的所有马路，这辆汽车从A走到B处共有多少条最短路线？
其他：
从中间剪（对折的次数）×2＋1=得到的段数。s=2n+1s次数n）对折的次数段数对折次数（x)与段数（y)的函数关系：y=2^x(x≥0且为整数）一折是2段二折是4段三折是8段y=2^x=2^3=8）
一是对折后的段数问题，即对折几次，段数就是2的几次方；二是剪的次数与段数问题，即剪的次数+1=段数．已知条件几个数的和与差几个数的和与倍数几个数的差与倍数
和差问题的公式(和＋差)÷2＝大数(和－差)÷2＝小数和倍问题的公式和÷(倍数－1)＝小数小数×倍数＝大数(或者和－小数＝大数)差倍问题的公式差÷(倍数－1)＝小数小数×倍数＝大数(或小数＋差＝大数) 和差问题 和倍问题 差倍问题 已知条件 几个数的和与差 几个数的和与倍数 几个数的差与倍数 公式适用范围 已知两个数的和，差，倍数关系 公式 关键问题 求出同一条件下的 和与差 和与倍数 差与倍数 和倍问题己知几个数的和及这几个数之间的倍数关系，求这几个数的应用题叫和倍问题。解答和倍问题，一般是先确定较小的数为标准数（或称一倍数），再根据其他几个数与较小数的倍数关系，确定总和相当于标准数的多少倍，然后用除法求出标准数，再求出其他各数。为了帮助我们理解题意弄清数量关系，从而找到解题的途径，最好采用画线段图的方法。差倍问题己知两个数的差及它们之间的倍数关系，求这两个数的应用题叫差倍问题。解答差倍问题，一般以较小数作为标准数（一倍数），再根据大小两数之间的倍数关系，确定差是标准数的多少倍，然后用除法先求出较小数，再求出较大数。解答这类问题，先画线段图，帮助分析数量关系。
和差问题和差问题是根据大小两个数的和与两个数的差求大小两个数各是多少的应用题。解答这种应用题，首先要弄清两个数相差多少的不同叙述方式。可以选择大数作为标准数。以小数作为标准数，从和里减去两数的差，恰好是小数是2倍，除以2就可以求出小数；若以大数作为标准数，把小数加上两个数的差，正好是两个数，除以2就可以求出大数。
归一问题的基本特点：问题中有一个不变的量，一般是那个“单一量”，题目一般用“照这样的速度”……等词语来表示。
关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量；
基本公式：平均数=总数量÷总份数
总数量=平均数×总份数
总份数=总数量÷平均数
平均数=基准数＋每一个数与基准数差的和÷总份数
基本算法：
求出总数量以及总份数，利用基本公式进行计算.
基准数法：根据给出的数之间的关系，确定一个基准数；一般选与所有数比较接近的数或者中间数为基准数；以基准数为标准，求所有给出数与基准数的差；再求出所有差的和；再求出这些差的平均数；最后求这个差的平均数和基准数的和，就是所求的平均数，具体关系见基本公式。
四年级下册-数学广角
植树问题的公式1非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形:如果在非封闭线路的两端都要植树,那么:株数＝段数＋1＝全长÷株距－1全长＝株距×(株数－1)株距＝全长÷(株数－1)如果在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树,那么:株数＝段数＝全长÷株距全长＝株距×株数株距＝全长÷株数如果在非封闭线路的两端都不要植树,那么:株数＝段数－1＝全长÷株距－1全长＝株距×(株数＋1)株距＝全长÷(株数＋1)2封闭线路上的植树问题的数量关系如下株数＝段数＝全长÷株距全长＝株距×株数株距＝全长÷株数
基本类型在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都植树在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都不植树在直线或者不封闭的曲线上植树，只有一端植树封闭曲线上植树 基本公式 关键问题确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系
锯木问题
段数=次数+1次数=总时间=每次时间×次数
上楼梯问题华3.1-3
敲钟时间：华3.1-3时钟4点钟敲4下，12秒钟敲完，那么6点钟敲6下，几秒钟敲完？
分析如果盲目地计算：12÷4=3（秒），3×6=18（秒），认为敲6下需要18秒
钟就错了.请看下图：
时钟敲4下，其间有3个间隔，每个间隔是：12÷3=4（秒）；时钟敲6下，其间共有5个间隔，所用时间为：4×5=20（秒）。
解：每次间隔时间为：12÷（4-1）=4（秒）敲6下共用的时间为：4×（6-1）＝20（秒）方阵问题很多的人或物按一定条件排成正方形（简称方阵），再根据己知条件求总人数，这类题叫方阵问题。在解决方阵问题时，要搞清方阵中一些量（如层数，最外层人数，最里层人数，总人数）之间的关系。要开动脑筋，可用多种方法来解题。方阵问题的基本特点是：（1）方阵不管在哪一层，每边的人数都相同，每向里面一层，每边上的人数减少2，每一层就少8。（2）每层人数=（每边人数－1）×4（3）每边人数=每层人数÷4＋1（4）实心方阵人数=每边人数×每边人数求整个方阵：边长×边长
5.5年龄问题/9.X112三95、三A169、四A131华3.2-10
己知两个人或几个人的年龄，求他们年龄之间的某种数量关系；或己知某些人年龄之间的数量关系，求他们的年龄等，这种题称为年龄问题。年龄问题的特点是：（1）两人的年龄之差是不变的，称为定差。（2）两个人的年龄同时都增加同样的数量。（3）两个人的年龄的倍数是发生变化的；年龄问题的解题方法是：几年后=大小年龄之差÷倍数差－小年龄几年前=小年龄－大小年龄差÷倍数差
工程问题26．1在解答工程问题时，常把“一项工程”看作单位“1”，根据工作总量、工作效率和工作时间三者之间的关系进行解题。2解题时，要善于运用常见的数学思想方法—如假设法、转化法、代换法。
基本公式：
工作总量=工作效率×工作时间
工作效率=工作总量÷工作时间
工作时间=工作总量÷工作效率
基本思路：
假设工作总量为“1”（和总工作量无关）；
假设一个方便的数为工作总量（一般是它们完成工作总量所用时间的最小公倍数），利用上述三个基本关系，可以简单地表示出工作效率及工作时间.
关键问题：确定工作量、工作时间、工作效率间的两两对应关系。
经验简评：合久必分，分久必合。盈亏问题的公式(盈＋亏)÷两次分配量之差＝参加分配的份数(大盈－小盈)÷两次分配量之差＝参加分配的份数(大亏－小亏)÷两次分配量之差＝参加分配的份数基本概念：一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果：按照另一种标准分组，又产生一种结果，由于分组的标准不同，造成结果的差异，由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量．
基本思路：先将两种分配方案进行比较，分析由于标准的差异造成结果的变化，根据这个关系求出参加分配的总份数，然后根据题意求出对象的总量．
基本题型：
一次有余数，另一次不足；
基本公式：总份数＝（余数＋不足数）÷两次每份数的差
当两次都有余数；
基本公式：总份数＝（较大余数一较小余数）÷两次每份数的差
当两次都不足；
基本公式：总份数＝（较大不足数一较小不足数）÷两次每份数的差
基本特点：对象总量和总的组数是不变的。
关键问题：确定对象总量和总的组数。假设问题假设法是解答应用题时经常用到的一种方法。所谓“假设法”就是依据题目中的己知条件或结论作出某种设想，然后按照己知条件进行推算，根据数量上出现的矛盾，再适当调整，从而找到正确答案。基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来；基本思路：
假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）：
假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少；
每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因；
再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。
基本公式：
把所有鸡假设成兔子：鸡数＝（兔脚数×总头数－总脚数）÷（兔脚数－鸡脚数）
把所有兔子假设成鸡：兔数＝（总脚数一鸡脚数×总头数）÷（兔脚数一鸡脚数）
关键问题：找出总量的差与单位量的差。
牛吃草问题牛吃草问题涉及三种数量：A.原有的草。B.新长出的草。C.牛吃掉的草。牛吃草问题解法一般分为三步：一、求新生的草量；二、求原有草量；三、求出最终的问题。牛吃草问题
基本思路：假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差；再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量。
基本特点：原草量和新草生长速度是不变的；
关键问题：确定两个不变的量。
基本公式：
生长量=（较长时间×长时间牛头数-较短时间×短时间牛头数）÷（长时间-短时间）；
总草量=较长时间×长时间牛头数-较长时间×生长量；
还原问题逆推问题还原问题又叫逆推问题。己知一个数的结果，再经过逆运算反求原数，叫做还原问题。解决这类题要从结果出发，逐步向前一步一步推理，每一步运算都是原来运算的逆运算（即变加为减，变减为加，变乘为除，变除为乘）。解题关键：在从后往前推算的过程中，每一步都是做同原来相反的运算，原来加的，运算时用减；原来减的，运算时用加；原来乘的，运算时用除；原来除的，运算时用乘。
20．分数与百分数的应用基本概念与性质：
分数：把单位“1”平均分成几份，表示这样的一份或几份的数。
分数的性质：分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。
分数单位：把单位“1”平均分成几份，表示这样一份的数。
百分数：表示一个数是另一个数百分之几的数。
常用方法：
逆向思维方法：从题目提供条件的反方向（或结果）进行思考。
对应思维方法：找出题目中具体的量与它所占的率的直接对应关系。
转化思维方法：把一类应用题转化成另一类应用题进行解答。最常见的是转换成比例和转换成倍数关系；把不同的标准（在分数中一般指的是一倍量）下的分率转化成同一条件下的分率。常见的处理方法是确定不同的标准为一倍量。
假设思维方法：为了解题的方便，可以把题目中不相等的量假设成相等或者假设某种情况成立，计算出相应的结果，然后再进行调整，求出最后结果。
量不变思维方法：在变化的各个量当中，总有一个量是不变的，不论其他量如何变化，而这个量是始终固定不变的。有以下三种情况：A、分量发生变化，总量不变。B、总量发生变化，但其中有的分量不变。C、总量和分量都发生变化，但分量之间的差量不变化。
替换思维方法：用一种量代替另一种量，从而使数量关系单一化、量率关系明朗化。
同倍率法：总量和分量之间按照同分率变化的规律进行处理。
浓度配比法：一般应用于总量和分量都发生变化的状况。
列方程解应用题列方程解应用题的一般步骤是：1、根据据题意设某一个示知数为；2、依题意找出题中相等的数量关系；3、根据相等的数量关系列出方程；4、解方程；5、检验并写出答案。
简单方程
代数式：用运算符号（加减乘除）连接起来的字母或者数字。
方程：含有未知数的等式叫方程。
列方程：把两个或几个相等的代数式用等号连起来。
列方程关键问题：用两个以上的不同代数式表示同一个数。
等式性质：等式两边同时加上或减去一个数，等式不变；等式两边同时乘以或除以一个数（除0），等式不变。
移项：把数或式子改变符号后从方程等号的一边移到另一边；
移项规则：先移加减，后变乘除；先去大括号，再去中括号，最后去小括号。
加去括号规则：在只有加减运算的算式里，如果括号前面是“+”号，则添、去括号，括号里面的运算符号都不变；如果括号前面是“－”号，添、去括号，括号里面的运算符号都要改变；括号里面的数前没有“+”或“－”的，都按有“+”处理。
移项关键问题：运用等式的性质，移项规则，加、去括号规则。
乘法分配率：a(b+c)=ab+ac
解方程步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤求解；
方程组：几个二元一次方程组成的一组方程。
解方程组的步骤：①消元；②按一元一次方程步骤。
消元的方法：①加减消元；②代入消元。
不定方程一次不定方程：含有两个未知数的一个方程，叫做二元一次方程，由于它的解不唯一，所以也叫做二元一次不定方程；
常规方法：观察法、试验法、枚举法；
多元不定方程：含有三个未知数的方程叫三元一次方程，它的解也不唯一；
多元不定方程解法：根据已知条件确定一个未知数的值，或者消去一个未知数，这样就把三元一次方程变成二元一次不定方程，按照二元一次不定方程解即可；
涉及知识点：列方程、数的整除、大小比较；
解不定方程的步骤：1、列方程；2、消元；3、写出表达式；4、确定范围；5、确定特征；6、确定答案；
技巧总结：A、写出表达式的技巧：用特征不明显的未知数表示特征明显的未知数，同时考虑用范围小的未知数表示范围大的未知数；B、消元技巧：消掉范围大的未知数；五46、75、六47
1.有序思考：二211、三A111、四A57
所有可能，一个不少。
2.图形法二220、三A82
3.列表法：
4.错中求解：三A123、四A52
5.一题多解：三A235
6.开放题：四A213
7.
8.
6.几何问题
巧求周长几何的五大模型勾股定理与弦图圆与扇形立体图形的表面积和体积立体图形染色计数其它直线型几何问题格点与面积
37.周长、面积、体积X213、222、233、241三151三A204、212四118、125
六75、82、88、95、103、152、158
6.1小学数学图形计算公式1正方形C周长S面积a边长周长＝边长×4C=4a面积=边长×边长S=a×a2正方体V:体积a:棱长表面积=棱长×棱长×6S表=a×a×6体积=棱长×棱长×棱长V=a×a×a3长方形C周长S面积a边长周长=(长+宽)×2C=2(a+b)面积=长×宽S=ab4长方体V:体积s:面积a:长b:宽h:高(1)表面积(长×宽+长×高+宽×高)×2S=2(ab+ah+bh)(2)体积=长×宽×高V=abh5三角形s面积a底h高面积=底×高÷2s=ah÷2三角形高=面积×2÷底三角形底=面积×2÷高6平行四边形s面积a底h高面积=底×高s=ah7梯形s面积a上底b下底h高面积=(上底+下底)×高÷2s=(a+b)×h÷28圆形S面积C周长∏d=直径r=半径(1)周长=直径×∏=2×∏×半径C=∏d=2∏r(2)面积=半径×半径×∏9圆柱体v:体积h:高s;底面积r:底面半径c:底面周长(1)侧面积=底面周长×高(2)表面积=侧面积+底面积×2(3)体积=底面积×高（4）体积＝侧面积÷2×半径10圆锥体v:体积h:高s;底面积r:底面半径体积=底面积×高÷3
6.2圆的计算1解答较复杂的分数应用题，一定要找准单位“1”，如果单位“1”的量是变化的，就要从题目中找出不变的量，把不变的量看作单位“1”，将己知条件进行转化，找出所求数量相当于单位“1”的几分之几，再列式解答。2还可以借助线段图来帮助理解题意，列式解答。3对较复杂的分数应用题，还可以列方程来解答。几何面积基本思路：
在一些面积的计算上，不能直接运用公式的情况下，一般需要对图形进行割补，平移、旋转、翻折、分解、变形、重叠等，使不规则的图形变为规则的图形进行计算；另外需要掌握和记忆一些常规的面积规律。
常用方法：
1.连辅助线方法
2.利用等底等高的两个三角形面积相等。
3.大胆假设（有些点的设置题目中说的是任意点，解题时可把任意点设置在特殊位置上）。
4.利用特殊规律
等腰直角三角形，已知任意一条边都可求出面积。（斜边的平方除以4等于等腰直角三角形的面积）
梯形对角线连线后，两腰部分面积相等。
圆的面积占外接正方形面积的78.5%。立体图形名称 图形 特征 表面积 体积 长方体8个顶点；6个面；相对的面相等；12条棱；相对的棱相等；S=2(ab+ah+bh) V=abh
=Sh 正方体8个顶点；6个面；所有面相等；12条棱；所有棱相等；S=6a2 V=a3 圆柱体上下两底是平行且相等的圆；侧面展开后是长方形；S=S侧+2S底
S侧=ChV=Sh 圆锥体下底是圆；只有一个顶点；l:母线，顶点到底圆周上任意一点的距离；S=S侧+S底
S侧=rlV=Sh 球体圆心到圆周上任意一点的距离是球的半径。S=4r2 V=r3
6.5画图/44.、二133三173五109切拼华2.2-5一笔画和多笔画（1）凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成；画时可以任一偶点为起点，最后能以这个点为终点画完此图。（2）凡是只有两个奇点（其余均为偶点）的连通图，一定可以一笔画完；画时必须以一个奇点为起点，另一个奇点为终点。
切拼/剪拼：华2.2-9、10
7.杂题
逻辑推理抽屉原理操作与策略最值问题
数阵图与数字谜不定方程染色问题
7.1抽屉原理/22.X297三A230六年级下册-数学广角华5.1-11、12、13
抽屉原则一：如果把（n+1）个物体放在n个抽屉里，那么必有一个抽屉中至少放有2个物体。
例：把4个物体放在3个抽屉里，也就是把4分解成三个整数的和，那么就有以下四种情况：
4=4+0+0②4=3+1+0③4=2+2+0④4=2+1+1
观察上面四种放物体的方式，我们会发现一个共同特点：总有那么一个抽屉里有2个或多于2个物体，也就是说必有一个抽屉中至少放有2个物体。
抽屉原则二：如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n>m，那么必有一个抽屉至少有:
k=[n/m]+1个物体：当n不能被m整除时。
k=n/m个物体：当n能被m整除时。
理解知识点：[X]表示不超过X的最大整数。
例[4.351]=4；[0.321]=0；[2.9999]=2；
关键问题：构造物体和抽屉。也就是找到代表物体和抽屉的量，而后依据抽屉原则进行运算。二年级上-数学广角（逻辑推理）华5.2-10、11华6.2-8
基本方法简介：
条件分析—假设法：假设可能情况中的一种成立，然后按照这个假设去判断，如果有与题设条件矛盾的情况，说明该假设情况是不成立的，那么与他的相反情况是成立的。例如，假设a是偶数成立，在判断过程中出现了矛盾，那么a一定是奇数。
条件分析—列表法：当题设条件比较多，需要多次假设才能完成时，就需要进行列表来辅助分析。列表法就是把题设的条件全部表示在一个长方形表格中，表格的行、列分别表示不同的对象与情况，观察表格内的题设情况，运用逻辑规律进行判断。
条件分析——图表法：当两个对象之间只有两种关系时，就可用连线表示两个对象之间的关系，有连线则表示“是，有”等肯定的状态，没有连线则表示否定的状态。例如A和B两人之间有认识或不认识两种状态，有连线表示认识，没有表示不认识。
逻辑计算：在推理的过程中除了要进行条件分析的推理之外，还要进行相应的计算，根据计算的结果为推理提供一个新的判断筛选条件。
简单归纳与推理：根据题目提供的特征和数据，分析其中存在的规律和方法，并从特殊情况推广到一般情况，并递推出相关的关系式，从而得到问题的解决。
最大最小1、解答最大最小的问题，可以进行枚举比较。在有限的情况下，通过计算，将所有情况的结果列举出来，然后比较出最大值或最小值。2、运用规律。（1）两个数的和一定，则它们的差越接近，乘积越大；当它们相等（差为0）时，乘积最大。3、考虑极端情况。如“连接两点间的线段最短”、“作对称点”、“联系实际考虑问题”等。幻方与数阵幻方的特点：一个幻方每行、每列、每条对角线上的几个数的和都相等。这相相等的和叫“幻和”。
数阵有三种基本类型：（1）封闭型，（2）辐射型（3）综合型解数阵问题一般思路是从和相等入手，确定重处长使用的中心数，是解答解数阵类型题的解题关键。有时，数阵问题的答案不是唯一的。周期循环与数表规律
周期现象：事物在运动变化的过程中，某些特征有规律循环出现。
周期：我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。
关键问题：确定循环周期。
闰年：一年有366天；
年份能被4整除；如果年份能被100整除，则年份必须能被400整除；
平年：一年有365天。
年份不能被4整除；如果年份能被100整除，但不能被400整除；
1，3，6，10，15，…叫做三角形数．因为用圆点按这些数可以堆垒成三角形。
毕达哥拉斯还从圆点的堆垒规律，发现每一个三角形数，都可以写成从1开始的n个自然数之和，最大的自然数就是三角形底边圆点的个数．
点数：
毕达哥拉斯还发现了四角形数，见下图．因为用圆点按四角形数可以堆垒成正方形
第n个数：n2=1+3+5+9+…+（2n-1）．四角形数（又叫正方形数）可以表示成自然数的平方，也可以表示成从1开始的几个连续奇数之和．奇数的个数就等于正方形的一条边上的点数．
数学广角
主要向学生渗透一些重要的数学思想方法。
册别 内容 数学思想方法 二年级上册 简单的排列：1，2能组成几个两位数？
简单的推理：猜一猜他们拿的是什么书？ 排列组合
逻辑推理 二年级下册 简单的组合：有几种不同的穿法？共要踢几场球？
简单的排列：3个数字卡片能摆几个三位数？ 排列组合 三年级上册 排列组合 三年级下册 集合：参加语文、数学小组的共几人？
等量代换问题：几个苹果与1个西瓜一样重？ 集合
等量代换 四年级上册 运筹问题：烙饼、沏茶、码头卸货等。
对策论：田忌赛马 优化与运筹
对策论 四年级下册 植树问题：两端均栽、两端不栽、封闭曲线中栽等。 植树问题、化归 五年级上册 数字编码：邮政编码、身份证号码、编学号、书号等。 数字编码 五年级下册 找次品：5件、9件物品中找次品 优化 六年级上册 鸡兔同笼问题、龟鹤同笼问题等 假设法 六年级下册 抽屉原理：4支铅笔放入3个文具盒、5本书放入2个抽屉，怎么放？ 抽屉原理
常用数据
①1×9＋2=11
12×9＋3=111
123×9＋4=1111
1234×9＋5=11111
12345×9＋6=111111
123456×9＋7=1111111
1234567×9＋8=11111111
12345678×9＋9=111111111
②9×9＋7=88
98×9＋6=888
987×9＋5=8888
9876×9＋4=88888
98765×9＋3=888888
987654×9＋2=8888888
9876543×9＋1=88888888
③19＋9×9=100
118＋98×9=1000
1117＋987×9=10000
11116＋9876×9=100000
111115＋98765×9=1000000
1111114＋987654×9=10000000
11111113＋9876543×9=100000000
111111112＋98765432×9=1000000000
1111111111＋987654321×9=10000000000
1×1=1
11×11=121
111×111=12321
1111×1111=1234321
11111×11111=123454321
111111×111111=12345654321
1111111×1111111=1234567654321
11111111×11111111=123456787654321
111111111×111111111=1234567887654321
1111111111×1111111111=12345678987654321
？
???????
=225????=625????=1225???=2025???=3025???=4225???=5625???=7225???=9025
142857×2=285714
142857×3=428571
142857×4=571428
142857×5=714285
142857×6=857142
142857×7=999999
12345679×9=111111111
55
补上一个同样的三角形点群（但要上下颠倒放置）和原有的那个三角形点群共同拼成一个长方形点群
补上一个同样的梯形点群，但要上下颠倒放置，和原图一起拼成一个长方形点群
补上一个同样的图形，但要上下颠倒放置、和原来的一起拼成一个大平行四边形
37×48×625
=37×（3×16）×625注意37×3=111
=（37×3）×（16×625）
=111×10000
=1110000注意37×3=111
间隔数=敲钟次数-1敲钟次数=间隔数+1
每个格右上角与左下角所标的数字和即为这格右下角应标的数字.我们称这种方法为对角线法，也叫标号法。
根据这种“对角线法”，B点标6，那么从A到B就有6条不同的最短路线（见图4—3）。
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