求极值的物理方法
231500安徽省庐江二中束义福
在物理理解题中经常遇到极值问题，它是在给定条件下寻求最佳效果。一般地，求极值的最有效的方法是高等数学的微分学等，也可以运用初等数学知识求解。其实，对许多问题来说，用物理方法求极值转前者来得更简捷。
用物理方法求极值问题的主要特点是，慎重审题，明确被研究对象所描述的物理现象，对所涉及到的物理概念及物理过程进行物理思想分析，找出问题中所描述的物理过程的实质和产生极值条件，或出现极值有什么特征，从而选择正确思路，应用有关的物理知识顺利求解，以达到事半功倍的效果。
1、利用物理概念求极值。有些物理极值常与物理概念相联系，借助于物理概念常可以方便地解决物理极值问题。
如图1所示，竖直绝缘杆处于方向
彼此垂直、大小为E、B的匀强电磁场中，
一个质量为m，电量为+q的小球，从静止开
始沿杆下滑，且与杆的动摩擦因数为μ，求
小球下滑的最大速度。图1
解析：当物体作加速度为正（负）的加（减）速运动时，加速度等于零时速度达到最大（小）值。本题中：小球开始下滑后，在水平方向始终受到方向相反的电场力（qE）和洛仑兹力（Bqv）的作用，开始时，BqvqE时，压力水平向右，小球下滑加速度，a随v增大而减小，即作加速度减小的加速运动，当a=0时，速度达到最大值，此时有mg=μ(Bqv-qE)，所以，小球的最大速度为。
2、利用物理规律求极值。某些物理量的极值往往隐含在该物理定律之中，因此，明确物理事件中的规律性，可分析到某物理量取极值的条件，进而求出极值。
如图2，将小球由与悬点在同一
水平面的位置由静止释放，问达何位置时，
竖直分速度最大？图2
解析：此题可在列议程之后用极值的方法，但比较繁杂和难于理解，现设小球悬线达与水平夹角为α时，竖直分速度最大，即绳上张力T在竖直方向分力与重力mg相等，则无竖直加速度时，竖直分速度最大，根据圆周运动的规律及机械能守恒列方程：
Tsinα=mg,(1)T－mgsinx=mv2/L(2)
mv2=mgLsinα(3)
解（1）（2）（3）式得：sin2α=，x=arcsin。
3、利用临界现象求极值。当物理题中所给出的物理事件在发展变化过程中产生临界现象时，正确地应用物理原理分析临界现象，明确临界状态，从而求出极值。
如图3所示，一辆质量为M的小车，
在光滑水平面上以速度作匀速直线运动，图3
若在车的前端轻轻放上质量为m的木块，且木块与车的动摩擦系数为μ，为了防止木块从车上滑下，求：小车身长度至少多长？（2）木块最大速度和车最小速度多少？
解析：在木块滑动过程中，滑动摩擦力使木块加速而使小车减速，木块不从车上滑下的临界条件是—当木块与车具有共同速度(v)时，木块正好滑至小车后端，即最大相对位移等于车身长度。
据动量守恒定律：M=(M+m)v（1）
据能的转化和守恒定律：（2）
所以，木块的最大速度等于车的最小速度,均为:（3）
小车的最小长度为：。
注：（2）式中μmgL=Q为一对滑动摩擦力做功所产生的热能，L为滑动过程中两物体的相对位移。
4、分析物理过程求极值。对有些物理量极值问题，只要正确地运用原理分析事件的发展变化的物理过程，明确物理量取极值的位置或时刻，从而求出极值。
如图4所示，光滑平行导轨的图4
水平部分，置于方向竖直的匀强磁场中，
ab两部分的宽度为bc部分的2倍，且两部分足够长，金属棒p位于导轨上h高处，与p质量相同的金属棒Q停在bc部分。若让p从静止开始滑下，求场磁场中p的最小速度和Q的最大速度。
解析：根据机械能守恒，p进入磁场的速度为(1)
以后，在安培力作用下，p开始减速，Q开始加速，从P进入磁场开始到与Q具有共同速度。（电路中的电流I是变化的，即从最大减至零，但是，在每一相同时刻，P、Q上电流总相等0，回路中电流为零，安培力消失。根据E=BLV，V∝，即P、Q速度稳定的条件为：
（2）
根据F=BIL∝L，在每一时刻P受到的安培力为Q的两倍，设Q在时间t内受到的平均冲力为F，则P受到的平均冲力为2F。根据动量定理，以系统为研究对象，有
（3）
以Q为对象，同理，（4）
所以，P的最小速度值和Q的最大速度值分别为，。
5、利用等效变换求极值。在有些极值问题中，通常要经过相当麻烦的数学计算才能得出结果，有些用初等数学方法还不能解决，但利用等效变换方法可使问题由难变易，由繁变简。
例5，如图5所示电路中，电源电动势为E，
内阻为r，为可变电阻，、为定值电阻，
试求获得最大功的条件及其最大功率。
解析：本题的一般解法是利用电路定律写出消耗功率的数学表达式，再根据表达式求极值，图5
其计算过程相当麻烦。如果采用电学中等效电源法会使计算过程大为简便。
将虚线框内部分视为等效电源，根据分压原理，其电动势为，而内阻为
所以，获得最大功率的条件为
，故最大的功率为
6、利用矢量图求极值。有些物理量极值问题用矢量图求解既直观又简捷。
图6所示，将质量为M的小车
沿倾角为α、动摩擦系数为μ的斜坡匀速上拉，求拉力与斜面夹角θ多大时，拉力最小？
解析：小车在四个共点力作用下处于平衡状态，将支持力N和摩擦力f，用其合力R代替，并设R与N的夹角为φ，则转化为三个共点力的平衡问题。在θ角发生变化时，图6
Mg为竖直向下的恒力；R仅大小变化而方向不变化，始终与竖直方向成（α+φ）角；F的大小和方向都在变化。根据三个力构成的矢量三角形可以看出：当拉力F与R成90°时，拉力最小，且θ=φ（同角的余角相等），所以，最佳牵引角为
拉力的最小值为
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作者简介：
束义福、男、毕业于安徽师范大学物理系。中学高级教师、特级教师。中国物理学会会员。中国教育学会物理教学研究会会员。中国发明学会会员。东方书画艺术学会理事。
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