希尔伯特的书房

应三联书店新杂志《新知》执行主编苗炜先生之约，撰写了这篇小文《希尔伯特的书房》。发表后，又修改了五、六处，并另添一张旧图。

去年九月的一天，正在荷兰乌特勒支大学笛卡尔中心访学的我，应邀重访了数学家和物理学家的圣地——德国哥廷根大学。为此我精心设计了旅行路线，去时乘火车经过荷兰中部小城阿默斯福特，在那里逗留了三个多小时，那是抽象画大师蒙德里安的出生地，市中心有家不错的纪念馆。此城也是笛卡尔唯一的女儿去世的地方，这位全才的法国人在荷兰——当时欧洲大陆唯一的资本主义国家——度过了学术生涯的黄金时代。他曾答应送女儿回法国接受教育，她却不幸在五岁那年夭折，他也从此没有返回祖国。

我在汉诺威再次换车以后，于当天夜里抵达哥廷根火车站，普拉达教授已替我订好旅店，我熟门熟路地步行着找到了。当天晚上我在附近的酒吧里喝了一瓶贝克啤酒，睡得很香，第二天早上起得较晚，因为我的学术报告安排在下午。那天我演讲的题目是：关于经典数论的若干问题。让我感到荣幸的是，报告安排在著名的克莱因-希尔伯特教室，那次来了四位教授和一部分研究生。我讲的五个问题中，有一个涉及到希尔伯特-华林问题，也算是向前辈表达敬意了。

很久以前数学家就已发现，形如4x+1的质数均可以表示成2个整数的平方和，比如，5是1和2的平方和，13是2和3的平方和，而4x+3型的质数则不能。1770年，法国数学家拉格朗日证明了同胞费尔马的猜想，即任意正整数均可表为4个整数的平方和。同年，英国数学家华林断言，任给正整数k，存在正整数s=s(k)，使得每一个正整数均可表示成s各非负整数的k次幂之和。1909年，希尔伯特证明了上述论断，被称为希尔伯特-华林定理。但对给定的k，某种意义下最小值s的确定一直是热门的数论问题，至今方兴未艾，对数论学家的吸引力甚至超过了费尔马大定理和哥德巴赫猜想。2010年秋天，在汤姆逊教授家阳台上的喝茶。天

报告结束以后，我独自一人在城内徘徊。两年前那会儿，我应哥廷根大学的官方邀请，做客数学研究所一个月，与卡普兰猜想的证明者、罗马尼亚裔教授普拉达结下了友谊，并对哥廷根及其周边的环境也有所了解。这回我又一次去看了高斯的天文台和黎曼的故居，当我走到韦伯大街的希尔伯特故居前，看到里面灯关着，但那辆我乘坐过的奔驰车仍在前院的停车棚里。我试探着按响门铃，当时的预感是，汤姆逊教授夫妇去慕尼黑看儿子了。出乎我的意料，过了半分钟之后，边门打开了，出来的是女主人莱阿娜。她很快认出了我，并打电话把在别处做客的丈夫叫了回来。

走进希尔伯特的书房，我看到临街有两扇几乎落地的大玻璃窗，其余三面墙壁摆满了书架。女主人泡了一壶红茶，还是上次那套茶具，后来我对比照片，发现教授脖子上系的领带也没变，生活是如此简朴美好。汤姆逊教授夫妇均是生物化学家，男主人还是哥廷根科学院的院士。40年前，他们从希尔伯特的保姆那儿买下这座当年希尔伯特亲自参与设计建造的房子。原来，希尔伯特的独子故世后，没有继承人，按照遗嘱，故居赠给了保姆。保姆住了一段时间，不适应周边的环境，就把房子卖了。花园非常深，有近一百米长，里面栽了许多苹果树，还有一口池塘和几块古老的石碑。

汤姆逊教授告诉我，最近几年他每年都收到来自中国的讲学邀请，可他已年逾八旬，身体不便，只好谢绝了，但他很高兴有我这样的老朋友来访。两年前我曾在屋前徘徊，遇见浇花的女主人，便和她聊起来，后来她因为答不出我的一个提问把男主人请了出来，我们才得以相识。那次我被他们邀请到阳台上喝茶，并参观了花园。告别时，女主人还驱车送我到卑斯麦塔所在的东山上。回国后我们偶尔通信，他们认真阅读了我的一首写冬天的诗歌，是英文译文。他们回信认真谈到了感受，这次晤面又提到那首诗，我答应以后寄一首秋天的诗歌给他们。

1861年，希尔伯特出生在东普鲁士名城哥尼斯堡郊外，是大哲学家康德的老乡，如今却是俄罗斯的一块飞地。希尔伯特成年后就读哥尼斯堡大学，那时的数学专业仍隶属哲学系，那也是老康德当年执教过的系。在那个年代，德国大学有一条规则，从第二个学期开始，学生可以到本国任何其他一所大学修课。希尔伯特选择的是哥廷根大学，因为数学王子高斯和他的伟大弟子黎曼的缘故。他在哥尼斯堡取得博士学位后，先是留校任教，1895年初春，被聘请到哥廷根大学任数学系主任。之后，希尔伯特与导师的导师克莱因联手建立起了著名的哥廷根数学学派。

1900年，希尔伯特在巴黎举行的世界数学家大会上概括提出了23个数学问题，涉及到数学的各个领域，他也被公认为史上最后一位数学全才。这些问题的提出为20世纪的数学研究指明了方向，每一个问题的解决或部分解决都引起轰动。1921年，希尔伯特60岁生日晚会的来宾合影中，前面两排聚集了十多位年轻数学家的夫人，那时的哥廷根已是世界的数学中心，可以说重现了高斯时代的辉煌。这一点从战争期间散布到美国的希尔伯特弟子那里可以得到证实，外尔在新泽西州帮助组建了普林斯顿高等研究院，库朗则在纽约大学创立了库朗数学研究所，这两个所与陈省身创建的伯克利数学研究所堪称美国的三大数学圣地。

我可以推测，23个数学问题一部分是在研究所的办公室里，另一部分则是在这间书房里酝酿的。至于希尔伯特为何没有把华林问题列入其中，我有些不解。无论如何，当我坐在里面喝茶，怀有一份激动的心情。我听主人谈起战争年代的经历，那时他们才上小学和中学，出乎我的意料，莱阿娜竟然是希尔伯特的老乡，她出生在哥尼斯堡郊外的一座小镇，后来全家颠沛流离迁移到汉堡附近。汤姆逊教授找到两本他收藏的中国古籍，是《列子·冲壶真经》和《金瓶梅》，民国年代的德文版。女主人兴致勃勃地朗诵其中壶子算命的故事，汤姆逊教授即兴把它译成英文。

又到了告别的时刻。翌日上午，我离开了哥廷根，乘上了返回荷兰的火车。为了使我的旅行更加圆满，征得主人同意（旅费增加了20多欧元），归途我向南经过了法兰克福，绕成了一个圆圈。途中停靠了莱茵河畔的名城科隆，我逗留了四个小时，独自享用了一个比萨饼。还徒步登上科隆大教堂，那是德国公众选出来的首要标志，位列柏林的布兰登堡门和慕尼黑的天鹅城堡之前。我拎着行李和电脑，沿着狭隘的石阶通道，攀上100多米高的顶端，出了一身大汗。

值得一提的是，登攀途中我在墙壁上见到许多到此一游的留言，字迹模糊不清，世界各地的文字应有尽有。我忽然想起哥廷根一座公墓里希尔伯特墓碑上的两行文字，那早已为全世界的数学家所熟知，“Wir m ssen wissen / Wir werden wissen”，译成中文便是，“我们必须知道/ 我们必将知道”。此语出自希尔伯特的退休演说，是对一句拉丁语箴言的改造，原文Ignoramus et ignorabimus，意思是“我们不知道/ 我们不可能知道”。

（原载《新知》杂志试刊号开篇，2013年5月）