四种命题的形式

四种命题的形式

1、命题

什么叫命题？

能够明确判断真假的陈述性语句，叫做命题。

其中，判断为真的语句，叫真命题，判断为假的语句，叫假命题。

命题的结构？（条件+结论）

如果…，那么…。

  问题1：我是你的数学老师。         真

        X＞15                      不是命题

        全等三角形的面积相等。      真

        3是10的约数吗？           不是命题

        两直线平行，同位角相等。    真

        上课请不要讲话              不是命题

注：（1）疑问句，祈使句，感叹句不是命题。

    （2）要判断一个语句是不是命题，关键是能不能判断真假。

    （3）判断命题真假的方法有：逻辑推理法、要证明命题是假命题，只需要举出满足条件，不满足结论的例子即可；要证明命题为真，就需要证明满足命题的条件，就一定能推出命题的结论。

2、推出关系

   如果α成立可以推出β成立，那么就说由α可以推出β，记作：α＝＞β，换言之，α＝＞β表示以α为条件、β为结论的命题是真命题。

   如果α成立不能推出β成立，记作：α≠＞β，换言之，α≠＞β表示以α为条件、β为结论的命题是假命题。

3、四种命题形式

      问题2:判断下列命题的真假，你能发现各命题之间有什么关系？

①如果两个三角形全等，那么它们的面积相等；   （如果α，那么β）

②如果两个三角形的面积相等，那么它们全等；   （如果β，那么α）

③如果两个三角形不全等,那么它们的面积不相等； （如果，那么）

④如果两个三角形的面积不相等，那么它们不全等； （如果，那么）

    注： 两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系

两个命题为互为逆否命题,它们的真假性相同

例1.写出命题“若a=0,则ab=0”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断各命题的真假。 

例2．写出命题“两直线平行，同位角相等”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断各命题的真假。

4、否命题及命题的否定

    否命题是既否都条件，也否定结论，而命题的否定只否定结论。

（1）常见词语的否定形式

正面 词语	等于	大于	小于	至多 个	至少 个	至多 一个	至少 一个
否定 词语	不等于	不大于	不小于	至少 个	至多 个	至少 两个	一个 没有
正面 词语	是	都是	全是	所有	任意	任意 两个	存在
否定 词语	不是	不都是	不全是	某些	某个	某 两个	任意

“至少”比“至多”多一个：比如，“至多3个”的否定是“至少4个”；

“至多”比“至少”少一个：比如，“至少3个”的否定是“至多2个”。

对任意使真 的否命题为 存在使假。

例3.原命题：

（1） 若一个三角形为锐角三角形，则它的三个内角都为锐角；

（2） 菱形的对角线互相垂直；

（3） 面积相等的三角形是全等三角形。

写出原命题的否定及否命题。

例4. 写出命题“若≤或≤，则≤”的否命题

例5．写命题“若，则”的否定和否命题。

例6.写出命题“平行四边形是中心对称图形”的否定及否命题。

充分条件与必要条件

知识提炼，

1、定义法

①若pq，则p叫q的充分条件，同时q叫p的必要条件

②若qp，则p叫q的必要条件，同时q叫p的充分条件

③若pq，则p叫q的充要条件，q也是p的充要条件

2、集合的包含关系

若条件p以集合A的形式出现，结论q以集合B的形式出现，则

①若AB，则A是B的充分条件；

②若AB，则A是B的必要条件；

③若A = B，则A是B的充要条件；

3、根据命题的真假来判断充分条件与必要条件

若p则q（或若┐q则┐p）为真命题，则p是q的充分条件；

若q则p（或若┐p则┐q），则p是q的必要条件.

例题1：（用充分条件和必要条件填空）

⒈“a和b都是偶数”是“a+b也是偶数”的       条件；

⒉“四边相等”是“四边形是正方形”的        条件；

⒊“x3”是“|x|3”的        条件；

⒋“x-1=0”是“x2-1=0”的        条件；

⒌“两个角是对顶角”是“这两个角相等”的        条件；

⒍“至少有一组对应边相等”是“两个三角形全等”的        条件；

⒎对于一元二次方程ax2+bx+c=0（其中a,b,c都不为0）来说，“b2-4ac0”是“这个方程有两个正根”的         条件；

⒏“a=2，b=3”是“a+b=5”的          条件；

⒐“a+b是偶数”是“a和b都是偶数”的           条件；

⒑“个位数字是5的自然数”是“这个自然数能被5整除”的          条件.

例题2：

1、指出下列各题中，p是q的的什么条件？（指充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要条件）

（1） p：两个三角形相似，q：两个三角形全等。

(2)   p： (x-2)(x-3)=0,     q：x-2=0

(3)   p：x=y     q： 

（4） p：x>y>0，q：

(5)   p: x>2     q：x>0

（6） 且   

（7）p：同位角相等；q：两直线平行。

（8）p：四边形的对角线相等；q：四边形是平形四边形。

（9）；q：2x+3=x2 .  

注：本质分析：原命题真逆命题假，那么p是q的充分不必要条件。

（由命题真假，定义，集合的包含关系三种办法来判断）

例3  已知p：x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的两根，q：x1＋x2＝－5，则p是q的

[    ]

A．充分但不必要条件 　　B．必要但不充分条件

C．充要条件 　　　D．既不充分也不必要条件

例4  p是q的充要条件的是

[    ]

A．p：3x＋2＞5，q：－2x－3＞－5

B．p：a＞2，b＜2，q：a＞b

C．p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形

D．p：a≠0，q：关于x的方程ax＝1有惟一解

例5  若A是B成立的充分条件，D是C成立的必要条件，C是B成立的充要条件，则D是A成立的

[    ]

A．充分条件 　　　B．必要条件

C．充要条件 　　　D．既不充分也不必要条件

例6  设命题甲为：0＜x＜5，命题乙为|x－2|＜3，那么甲是乙的

[    ]

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 　　　D．既不充分也不必要条件

例7  设A、B、C三个集合，为使A(B∪C)，条件AB是

[    ]

A．充分条件 　　　B．必要条件

C．充要条件 　　　D．既不充分也不必要条件