!心!理!学!报!"##$!!""%#$&=$(&=,
!!"#$%&’"())+,"$-,.,"$
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!收稿日期$"##"#’+%
!
教育部人文社科重点基地重大研究项目和国家自然科学基金资助项目"$#")#=)"#资助%
!通讯作者$俞国良!Z./01$?7Y1M14@06/89>.
数学学习不良儿童视觉空间表征与数学问题解决
!
!!俞国良!!!!!!!!曾盼盼
"天津师范大学心理与行为研究中心!天津$###)=#"中央教育科学研究所!北京+###,,#
摘!要!采用临床访谈的方法!考察了$#名数学学习不良"U;#儿童和$+名一般儿童的数学问题解决’视觉空
间表征策略和空间视觉化能力%结果发现$图式表征能促进数学问题的解决!图像表征则起妨碍作用&空间视觉化
能力与解题正确率及图式表征策略有显著正相关!与图像表征策略有显著负相关%U;儿童的解题正确率以及使
用图式表征策略的程度显著低于一般儿童!使用图像表征策略的程度则显著高于一般儿童%在解题正确率和图式
表征策略这两个变量上!U;儿童和一般儿童的年级发展趋势相同!都随年级的升高而提高%但在图像表征策略的
使用上!一般儿童有随年级的升高而下降的趋势!U;儿童却没有下降的趋势%两类儿童的空间视觉化能力都随年
级的升高而提高%
关键词!数学学习不良!数学问题解决!视觉空间表征!空间视觉化能力%
分类号!<,==
+!引!言
!!数学学习不良"./NR-./N09/11-/B606Y30@/5010N?!
简称U;#作为学习不良"Q;#的一种类型!近年来
日益得到研究者的关注%U;领域的传统研究主要
集中在儿童基本的算术技能上
(+)
%目前的研究则
主要集中在数学问题解决过程中的两个信息加工过
程$问题表征和问题解决
(")
%
!!:B-@.-Y等指出可以根据个体在表征数学问题
时对使用视觉表象或图表的喜好程度将他们置于一
个连续体中
($(%)
%据此!\7A/B@>6>编制出一种测量
个体视觉表象水平的工具///U:d"NR-U/NR-./N09/1
:B>9-@@06Yd6@NB7.-6N#
(&)
%
!!U/B?C-Y/BN?等
())
在前人研究的基础上指出!
视觉表象与空间表象是分离的!它们由不同的认知
成分组成!尽管两者都属于视觉空间表征%这种
分离还表现在个体差异上!有些个体擅长图像表象
"209N>B0/10./Y-B?#"如建构生动详细的视觉图像#!
而另一些个体则擅长图式表象"@9R-./N090./Y-B?#
"如善于表征物体之间的空间关系!善于想象空间
转换等#%空间能力作为表象能力的一个子集!与
图式表征有关而与图像表征无关%他们还采用U:d
这个工具考察了这两种表征与数学问题解决的关
系%结果发现运用图式表征与成功解决数学问题二
者之间有密切的联系!而运用图像表征与成功解决
数学问题之间呈负相关%但U/B?C-Y/BN?等
())
的研
究只是对一般儿童的考察!被试仅包括六年级男生!
没有涉及两类表象策略在U;儿童中的运用情况以
及它们的发展变化%一些国内的儿童数学问题解决
的研究也涉及视觉’空间表征
(,)
%
!!本研究基于前人这些研究结果和存在的问题!
尤其是U/B?等的研究!对U;儿童和一般儿童在解
决数学问题时视觉空间表征策略的使用情况进行
比较!同时考察这两类表征与空间视觉化能力的关
系!以期为我国的儿童数学教育提供一些科学依据%
"!研究方法
#$%&被&试
!!本研究在城市某普通小学中选取四’五’六年级
学生共&+名作为被试!U;儿童$#名!一般儿童$+
名%另外再随机抽取四’五’六年级儿童各$名作为
预试对象!以检验材料的适用性%本研究中U;的
操作定义是$学生的数学学业成绩比根据其智力潜
能期望达到的水平显著落后!而且他们可能同时在
学习’品德和社会性上存在问题%据此!确定U;的
操作方法和程序如下$
&==!心!!理!!学!!报$%卷
!!"+#运用V1/B0S0>CT和:R0102@\Z提出的标
准分比较法
(’)
作为选择U;的定量方法%首先对全
体学生施以智力测验和学绩测验%本研究采用适合
于团体的V^‘瑞文智力测验!并以最近一次正式考
试的数学成绩作为学绩测验的结果!因为国内目前
尚无适合的学绩测验%然后!将智力测验和数学学
习成绩的原始分转化为标准分!比较二者的差异!公
式为$
!!Q
30W
H"QM/Q?#G"+/5
MM
#K"+/5
??
!
#
!!其中lM’l?分别是智力和学绩的标准分!B
MM
是
智力测验的信度!B
??
是学绩测验的信度!在这里是前
一次正式考试与这一次正式考试成绩的相关%如果
Q
30W
的值大于Q
#8#)
H+8%#!则推断为U;%
!!""#运用临床诊断法作为选择U;儿童的定性
方法%让任课教师根据U;的操作定义和特点对学
生做出综合评价!指出班内哪些学生属于U;%
!!"$#满足两条排除性标准$排除智力落后"doI
)##和智力超常"doJ+$##&没有明显躯体或精神
疾病%
#$#&研究材料
!!"+#U:d"U/NR-./N09/1:B>9-@@06Yd6@NB7.-6N#测
验%诚如前述!该测验测量儿童在解决数学问题时
使用视觉空间表征的程度%先验研究证明该测验的
难度适合于美国小学六年级学生"平均年龄约+"
岁#!学生在解决测验中的数学问题时能使用各种
不同的表征策略!包括图表’表象的运用和非视觉
空间表象策略!因此该测验的区分度较高%在先验
研究中!对成功解决问题和解决策略的内部一致性
进行了测量!克伦巴赫系数分别为#8),和#8)"
())
%
为确保翻译的准确性!本研究请儿童心理学研究者
对测验中的题目进行了中英文互译%然后!再修订
题目!使之符合中国人的理解习惯%最后请小学高
年级数学教师对这些题目的适用性及区分度等进行
评价!据此对题目做出调整%根据一般公认的美国
小学生与中国小学生在数学能力上的发展差异!本
研究将修订后的U:d测验用于我国小学=(&年级
U;儿童和一般儿童%以下是其中的两道测验题$
!!题+$一个人在一条公路的一端种了一棵树!以
后每隔%米再种一棵!这条路共+%米长!问一共能
种多少棵树.
!!题++$一个旅行者要走&#公里路!他走了%公
里后搭上一辆卡车!下车后还有一半的旅程要走!卡
车带旅行者走了多远.
!!""#V^‘瑞文智力测验和bd\V^"+’)&#中
的积木设计测验"<1>9D;-@0Y6#!前者测量学生的一
般智力!后者主要测量学生的空间视觉化能力%在
积木设计测验中!给被试一套积木!每块积木都有几
个面是白色!几个面是红色的!其余的面是半红半白
的%先呈现给被试一个由红色’白色组成的图案!要
求被试用积木拼出该图案%这个测验同时根据正确
率和反应时来计算得分%
#$!&研究程序
!!"+#施测V^‘瑞文智力测验!查阅学生成绩档
案!选取较为正规的最近一次期末考试数学成绩作
为学绩测验结果&访谈每个班的班主任和数学任课
教师!请他们根据U;的操作定义确定U;儿童!并
了解学生的基本情况&根据前述选择标准确定U;%
!!""#预试%根据预试结果判断研究材料的适用
性!并据此决定是否对材料的内容和难度做出调整%
!!"$#正式实验$采用口语分析技术对被试的认
知加工进行分析%用修订过的U:d测验对两组被
试进行个体施测%在U:d测验中的++道测试题以
卡片形式随机呈现!每道题的解题时间为$分钟%
在学生解题过程中!主试观察被试是否画图或使用
手势%每当学生解完一道题后!主试向被试提问以
确定被试主要使用了何种策略%问题大致如下$
你能解释一下你是怎么解出这道题的.+你在解
这道题时!脑中是否出现题中所述内容的图像.+
你能描述一下你脑中的图像吗.+先考察被试是否
使用了视觉空间表征策略!报告使用了该策略的
被试计+分!没有证据表明使用了该策略的被试计
#分%然后再考察使用了视觉空间表征策略的被
试使用图式表征或图像表征的程度%每个被试在每
道题上所使用的策略!都将被归入这两种表征策略
中的一种%如果被试在描述他们的策略时使用画图
表’手势来表示问题中事物的空间关系和动态转换!
或者口头报告出这种关系和转换!则该被试在该道
题中所使用的策略被计为主要使用了图式表征策
略!如问题+!被试这样报告!我脑中出现一条路!
没有树!%米一段!%米一段!像线段图那样的+!或
者被试画出这样的图!都被计为主要使用了图式表
征策略!因为被试报告出或画出与解题有关的信息
的本质关系%如果被试报告说在他们的脑中出现问
题中人或物的具体形象而不是他们之间的关系!则
被计为主要使用了图像表征策略!如问题+!被试这
样报告!我脑中出现一条路!有一个人拿着图标去
种树!他先将一块地方扫干净!然后种上一棵树!隔
%米再这样种一棵11+!就被计为主要使用了图像
!%期俞国良等$数学学习不良儿童视觉空间表征与数学问题解决&=%!
表征策略%记下各被试使用图式表征策略和图像表
征策略的题数%对被试策略的评价由两位评分者独
立进行!在数据处理时计算评分者信度!不一致的评
分经协商讨论后达成一致%
!!"=#用bd\V^"+’)&#中的积木设计测验对这
两组学生进行个体施测%
!!"%#用\:\\,8#统计软件包对收集的数据进行
处理和分析%
$!结果分析
!!对被试的口语记录的编码和记分由两位评分者独
立进行!评分者信度的指标是两者一致的评分次数占
总评分次数的百分率%本研究中!该百分率为’"L%
!!以下所呈现的是本研究的结果及其分析%
!$%&数学问题解决与视觉[空间表征类型及空间
视觉化能力的相关
!!各测量变量的平均数和标准差如表+所示%被
试约正确解决了++道数学应用题中的&题%在解
表%各测量变量的描述性统计结果
变量!"#被试量
U:d测验的得分&8#""8,&&+
视觉空间表征&8&)"8)$&+
图式表征=8&=$8#’&+
图像表征"8#$"8+’&+
bd\V^积木测验得分$&8"++8&&+
题过程中!被试使用视觉空间表征策略的题数是
&/)题"共++题!平均得分为&8&)#!其中!使用图
式表征策略的题数"=8&=#多于使用图像表征策略
的题数""8#$#%本研究中被试的表征策略变异很
大!如采用图式表征策略的题数是#到+#!采用图
像表征策略的题数是#到’%这在一个方面反映了
本研究中考察数学问题解决的工具///U:d测验可
以较好地引发被试使用不同的表征策略!具有一定
的区分度!而且也从一个侧面说明了本研究对视觉
空间表征的分类的合理性%
表#&0+3测验的得分与表征策略$积木设计测验得分的相关矩阵
变量视觉空间表征图式表征图像表征积木设计测验得分
U:d测验的得分#8$+=
!
#8)+&
!!
#8&+’
!!
#8%&%
!!
积木设计测验的得分#8$#+
!
#8%"$
!!
#8$’&
!!
!!注$!%I#8#%!!!%I#8#+!下同%
!!如表"所示!数学问题解决的正确率与视觉
空间表征策略’图式表征策略有显著正相关!与图像
表征策略却是显著负相关!该结果符合研究假设%
积木设计测验的得分与数学问题解决的正确率!以
及视觉空间表征策略’图式表征策略的使用都有
显著正相关!与图像表征策略的使用有显著负相关%
该结果说明!空间视觉化能力与数学问题解决以及
图式表征策略都有显著的正相关!与图像表征策略
却呈负相关%
!$#&09儿童与一般儿童数学问题解决的比较
表!各个年级里两类儿童的解题正确率$视觉[空间表征策略$空间视觉化能力的得分
统计项
!#儿童"4H"’#一般儿童"4H$"#
="4H&#%"4H’#&"4H+=#="4H’#%"4H++#&"4H+"#
正确率!$8%#=8),%8%#=8$$,8=%)8,$
"#"8"’"8"""8’#"8=%+8&’"8"%
视觉空间表征策略!=8$$&8&))8&==8##)8&=)8,$
\;"8+&"8)=+8,"$8+""8+&"8$$
图式表征!#8%#=8##=8)+"8%&&8%%&8’"
"#+8"""8+""8,’"8=&"8%="8$+
图像表征!"8,$"8&)"8’$+8==+8#’#8’"
"#+8)""8’&"8’&+8"=+8""+8+&
空间视觉化能力!"&8#$%8+$)8,$+8"$,8+=+8,
"#&8’#+$8+++8%+=8#+$8=%8,%
注$=!%!&分别代表四年级’五年级和六年级
&=&!心!!理!!学!!报$%卷
!!分别对被试在U:d测验上的解题正确率’视觉
空间表征策略以及空间视觉化能力进行""U;和
一般儿童#E$"年级#的方差分析%分析表明!在解
题正确率上!类型和年级的主效应都很显著!前者$
"+!%%#H+$8"!%I#8##+&后者$""!%%#H)8$#!%I
#8##"%但是!类型和年级没有交互作用!$""!%%#
H+8%"!%J#8#%%结合表$所呈现的结果!可以说
明!不管是U;儿童还是一般儿童!其解题正确率都
随年级的升高而提高!事后分析"‘7D-?C\;#表明!
五’六年级儿童的解题正确率显著高于四年级儿童
"%I#8#+#!五’六年级之间无显著差异%同样!U;
儿童的解题正确率显著低于一般儿童这一特点也不
受年级因素的影响!结合表$发现!每个年级都呈现
这一特点%
!!在不对视觉空间表征策略做进一步区分的情
况下!方差分析的结果是!类型没有显著主效应!$
"+!%%#H#8+’!%J#8#%!年级因素的主效应非常显
著!$""!%%#H++8#!%I#8##+&类型’年级两个因素
没有交互作用!$""!%%#H#8$$!%J#8#%%结合表$
可以说明!不管是U;儿童还是一般儿童!使用视觉
空间表征策略的程度都随年级的升高而提高!事
后分析"‘7D-?C\;#发现!五’六年级儿童使用该策
略的程度显著高于四年级儿童"%I#8#+#!五’六年
级间无显著差异%两类儿童使用视觉空间表征策
略的程度没有显著差异这一特点并不受年级因素的
影响%
!!将视觉空间表征区分为图式表征和图像表征
后!方差分析的结果表明!在图式表征策略的使用
上!类型和年级的主效应都很显著!前者$"+!%%#H
+"8=!%I#8##+!后者$""!%%#H+%8%!%I#8##+&但
是类型和年级没有交互作用!$""!%%#H#8#%!%J
#8#%%结合表$可以说明!不论是U;儿童还是一
般儿童!使用图式表征策略的程度都随年级的升高
而提高!事后分析"‘7D-?C\;#发现!五’六年级儿
童使用该策略的程度显著高于四年级儿童"%I
#8#+#!五’六年级之间无显著差异%同样!U;儿童
使用图式表征策略的程度显著低于一般儿童这一特
点也不受年级因素的影响!结合表$发现!每个年级
都呈现这一特点%在图像表征策略的使用上!类型
有显著主效应!$"+!%%#H+$8)!%I#8##+!年级因
素没有显著主效应$""!%%#H#8)"!%J#8#%&两者
没有交互作用!$""!%%#H#8)"!%J#8#%%该结果
结合表$说明!U;儿童使用图像表征策略的程度
显著高于一般儿童这一特点不受年级因素的影响!
在每个年级都呈现出该特点&而且!各个年级儿童使
用该策略的程度没有显著差异%
!!在空间视觉化能力上!方差分析的结果表明!类
型的主效应不显著!$"+!%%#H+8&#!%J#8#%!年级
的主效应很显著!$""!%%#H=8#$!%I#8#"&两个因
素没有交互作用%结合表$可以说明!U;儿童和
一般儿童的空间视觉化能力都随年级的升高而提
高!事后分析"‘7D-?C\;#发现!五’六年级儿童的
空间视觉化能力显著高于四年级儿童"%I#8#+#!
五’六年级间无显著差异%两类儿童的空间视觉化
能力没有显著差异!且该特点并不受年级因素的
影响%
=!讨!论
’$%&一般儿童数学问题解决的特点
!!本研究将视觉空间表征分为图式表征和图像
表征!假设这两种表征对数学问题解决有不同的意
义%研究结果验证了这一假设!数学问题解决的正
确率与图式表征策略有显著正相关!与图像表征策
略有显著负相关!亦即这种半具体的!抓住了问题中
事物的空间关系的’动态的’结构化的图式表征策
略!能有效地促进数学问题的解决!而只是抓住了题
目中人或物的视觉外观或其他无关细节的图像表征
则会妨碍数学问题的成功解决!尽管两者都属于视
觉空间表征%这一结果与U/B?等
())
的研究结论
是一致的%
!!本研究还考察了空间视觉化能力与两种视觉
空间表征策略的相关%结果发现!以bd\V^积木
设计测验的得分为指标的空间视觉化能力与数学问
题解决的正确率及图式表征策略有显著正相关!与
图像表征策略有显著负相关%空间视觉化能力涉及
对空间信息表征的一系列转换!是一种对脑中表征
进行复杂转换时建构高质量的!不易衰退的表征的
能力
(+#)
!而解决数学问题时图式表征的建构也是形
成高质量的空间表征的过程!该过程表征了题目中
信息的本质关系!摈弃了不必要的表面信息%事实
上!一般儿童的数学问题解决都涉及一种重要的加
工!即同时性编码%同时性编码主要是将两个或两
个以上的信息片断加工为一个片断!也即将多个信
息建构成某种关系%大量的研究发现和验证了数学
问题解决中同时性加工的重要性!如Q->6Y等
(++)
和
g/B>W/1>
(+")
%
’$#&09儿童数学问题解决的特点
!!分别对儿童在U:d测验上的解题正确率’视觉
!%期俞国良等$数学学习不良儿童视觉空间表征与数学问题解决&=)!
一空间表征策略以及空间视觉化能力进行""U;和
一般儿童#E$"年级#的方差分析%分析表明!U;
儿童和一般儿童使用视觉空间表征策略的程度没
有显著差异!但U;儿童的解题正确率以及使用图
式表征策略的程度显著低于一般儿童!使用图像表
征策略的程度则显著高于一般儿童%这说明!U;
儿童和一般儿童的差异并不在于他们惯于使用言语
逻辑表征还是视觉空间表征!两类儿童中都有
一部分人倾向于使用视觉空间表征策略!但同是
使用该策略!内部却有一些质的差别!即U;儿童比
一般儿童更少的使用图式表征策略!却更多地使用
图像表征策略%在解题正确率和图式表征策略这两
个变量上!U;儿童和一般儿童的年级发展趋势是
相同的!都随年级的升高而提高!而且转折点似乎发
生在四’五年级之间"根据事后分析结果#%但是!
在图像表征策略的使用上!两类儿童的年级发展趋
势却不相同!从表$可以看出!一般儿童使用图像表
征策略的程度有随年级的升高而下降的趋势!可是
U;儿童却没有下降的趋势%这一结果说明!图像
表征策略的使用是本研究中U;儿童在解决数学问
题时较为顽固+的问题!其消极作用不易被他们认
识到!更需要特殊的指导%
!!本研究中U;儿童和一般儿童的空间视觉化能
力都随年级的升高而提高!且两类儿童之间该能力
没有显著差异%如前所述!两类儿童的解题正确率
和表征策略有显著差异!而空间视觉化能力是与这
两个变量有显著相关的%这说明了什么呢.其实!
表征包含多个层面的特征!比如知识层面’能力层
面’策略层面%空间视觉化能力在很大程度上代表
了表征的能力层面的特征!而在数学问题解决过程
中!几个层面的特征都将发挥作用%因此!可以推
断!本研究中这样的结果反映出能力和策略发展的
不平衡性!也暗示了本研究中U;儿童的可逆性和
可培养性!因为策略相对于能力而言是更不稳定的
特征!更容易得到转化%本研究中的U;儿童可能
具备建构这种高质量的!把握问题中事物关系的图
式表征的能力!而是没有这种策略知识或是不知道
该策略的效用!或是没有掌握它%对于图像表征!
U;儿童可能并没有意识到脑中无意浮现的!或有
意想象出的事物的具体形象和细节会妨碍数学问题
的解决%这些同时还涉及儿童的元认知能力!如评
价自己解决问题的能力!确定和选择适当的策略的
能力!组织信息的能力!监控问题解决过程的能力!
将策略推广到其他情境的能力等
(+$)
%事实上!在学
校课堂教学中!教师经常指导学生使用视觉空间
表征策略!但并没有意识到不同类型的视觉空间
表征对数学问题解决的作用是不同的!甚至是相反
的%只有这种半具体的!抓住了问题中事物的空间
关系的’动态的’结构化的图式表征策略才能有效地
促进数学问题的解决!而只是抓住了题目中人或物
的视觉外观或其他无关细节的图像表征则会妨碍数
学问题的成功解决!因此他们往往不对视觉空间
表征做进一步的区分%他们要求学生在解应用题
时脑中要出现一幅画面+!但是并没有考虑到这幅
画面的性质对数学问题解决有不同的影响%其结果
可能是误导某些学生去表征一些具体的’特殊的图
像性的细节!而没有去建构问题中各事物关系的空
间表征%因此!在对U;儿童的数学学习问题进行
干预时要注意!借助形象表征或将数学问题形象化
未必有助于问题的解决!帮助学生建构一个图式表
象可能会更有效%
%!研究结论
本研究结论如下$
!!U;儿童和一般儿童使用视觉空间表征策略
的程度没有显著差异!但U;儿童的解题正确率以
及使用图式表征策略的程度显著低于一般儿童!使
用图像表征策略的程度则显著高于一般儿童%在解
题正确率和图式表征策略这两个变量上!U;儿童
和一般儿童的年级发展趋势是相同的!都随年级的
升高而提高!而且转折点似乎发生在四’五年级之
间%但是!在图像表征策略的使用上!两类儿童的年
级发展趋势却不相同!一般儿童使用图像表征策略
的程度有随年级的升高而下降的趋势!可是U;儿
童却没有下降的趋势%U;儿童和一般儿童的空间
视觉化能力都随年级的升高而提高!两类儿童之间
该能力没有显著差异%
参考文献
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)!C-Y/BN?U!a>SR-P60D>PU8‘?2->WP0@7/1@2/N0/1B-2B-@-6N/N0>6@
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性研究8心理学报!+’’"!"="+#$"#(")#
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