考点训练上一页下一页首页基础巩固训练中考典例精析上一页下一页首页考点知识梳理考点训练基础巩固训练中考典例精析上一页下一页首页考点知识梳理考点训练基础巩固训练中考典例精析上一页下一页首页考点知识梳理考点训练基础巩固训练中考典例精析上一页下一页首页考点知识梳理考点训练第八章圆第30讲圆的有关概念及性质
1．定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等．
2．推论：同圆或等圆中：(1)两个圆心角相等；(2)两条弧相等；(3)两条弦相等；(4)两条弦的弦心距相等．四项中有一项成立，则其余对应的三项都成立．
【答案】A
【答案】B
【解析】∵OA＝OC，∠CAO＝25°，
∴∠ACO＝∠CAO＝25°.
又∵∠BCO＝35°，∴∠ACB＝∠ACO＋∠BCO＝60°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝120°.
例1(1)(2012·陕西)如图，在半径为5的⊙O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD＝8，则OP的长为()
A．3B．4
C．3D．4
(3)(2012·衢州)如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB＝30°，则sin∠AOB的值是()
A.B.C.D.
答案：D
一、选择题(每小题4分，共48分)
1．(2012·台州)如图，点A，B，C是⊙O上三点，∠AOC＝130°，则∠ABC等于()
A．50°B．60°
C．65°D．70°
5.(2012·泰安)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论中不成立的是()
A．CM＝DMB.CB＝C．∠ACD＝∠ADCD．OM＝MD
【答案】D
15．(2012·安徽)如图所示，点A、B、C、D在⊙O上，O点在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD＋∠OCD＝60°.
19．(14分)如图，点C、D分别在扇形AOB的半径OA、OB的延长线上，且OA＝3，AC＝2，CD平行于AB，并与弧AB相交于点M、N.
(1)求线段OD的长；
(2)若tanC＝，求弦MN的长．
答案：D
答案：(1)证＝(2)证△OCB为等边三角形
【解析】如图，延长AO交BC于点D，过O作OE⊥BC，∵∠A＝∠B＝60°，∴△ABD为等边三角形．∴AD＝BD＝AB＝12，∠ADB＝60°.
∴OD＝AD－OA＝12－8＝4.在Rt△ODE中，DE＝OD·cos60°＝4×＝2，∴BE＝BD－DE＝12－2＝10.∵OE⊥BC，∴BC＝2BE＝2×10＝20.
【解析】∵∠BCA＝60°，∴∠AOB＝2∠ACB＝120°.
∵OA＝OB，∴∠ABO＝＝30°.
解：(1)BC＝BD；BC2＝BE·BA；＝等．
(2)由图得∠D＝∠A＝30°，∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，∴AB＝＝2，即AO＝1.
∵OF⊥AC，AF＝OA·cos30°＝，
∴AC＝，OF＝OA·sin30°＝，
连接CO，则∠COB＝2∠A＝60°，∴∠AOC＝120°.
∵S△AOC＝×AC×OF＝××＝，
∴S阴影＝π×12－＝－.
(3)如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B＝60°，OP⊥AC于点P，OP＝2，则⊙O的半径为()A．4B．6C．8D．12
【点拨】本题考查等边三角形的判定及垂径定理的应用，连半径构造直角三角形是应用垂径定理求线段长的常用方法．
答案：B
2．(2012·苏州)如图，已知BD是⊙O的直径，点A、C在
⊙O上，＝，∠AOB＝60°，则∠BDC的度数是()A．20°B．25°
C．30°D．40°
4．如图，⊙O过点B、C，圆心O在等腰Rt△ABC的内部，∠BAC＝90°，OA＝1，BC＝6，则⊙O的半径为()
A．6B．13
C.D．2
6．(2012·湘潭)如图，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC＝40°，则∠BOD＝()
A．20°B．40°
C．50°D．80°
【解析】连接AB，与OC交于点D，如图所示：
∵四边形ACBO为菱形，
∴OA＝OB＝AC＝BC，OC⊥AB，又OA＝OC＝OB，
∴△AOC和△BOC都为等边三角形，
AD＝BD，
在Rt△AOD中，OA＝r，∠AOD＝60°，
∴AD＝OAsin60°＝r，
则AB＝2AD＝r.故选B.
【解析】作垂直AB的直径交圆为C，D，交AB于E，利用相交弦定理，得AE·BE＝CE·(10－CE)，解得CE＝2或8，
从图中可知CE＝8，
从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为8÷16＝0.5(厘米/分)．故选B.
16．(2012·宁波)如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB＝2，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为.
(2)(2012·河北)如图，CD是⊙O的直径，AB是弦(不是直径)，AB⊥CD于点E，则下列结论正确的是()
A．AE>BEB.＝C．∠D＝∠AECD．△ADE∽△CBE
2．已知：⊙O的半径为13cm，弦AB∥CD，AB＝24cm，CD＝10cm，则AB、CD之间的距离为()
A．17cmB．7cm
C．12cmD．17cm或7cm
【答案】C
【答案】D
9．(2012·广元)如图，A、B是⊙O上两点，若四边形ACBO是菱形，⊙O的半径为r，则点A与点B之间的距离为()
A.rB.r
C．rD．2r
12．每位同学都能感受到日出时美丽的景色．如图是一位同学从照片上剪切下来的画面，“图上”太阳与海平线交于A、B两点，他测得“图上”圆的半径为5厘米，AB＝8厘米，若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为()
A．0.4厘米/分B．0.5厘米/分
C．0.6厘米/分D．0.7厘米/分
【解析】∵四边形OABC为平行四边形，∴∠B＝∠AOC，∠BAO＝∠BCO.∵∠AOC＝2∠D，∠B＋∠D＝180°，∴∠B＝∠AOC＝120°，∠BAO＝∠BCO＝60°.
又∵∠BAD＋∠BCD＝180°，∴∠OAD＋∠OCD＝(∠BAD＋∠BCD)－(∠BAO＋∠BCO)＝180°－120°＝60°.
解：(1)∵AB∥CD，
∴∠OAB＝∠C，∠OBA＝∠D.
又∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，
∴∠C＝∠D.
∴OD＝OC＝OA＋AC＝3＋2＝5.
(2)过点O作OE⊥MN，垂足为E，并连接OM.
∵tanC＝＝，OC＝5，
在Rt△OEC中，OE2＋CE2＝OC2，∴OE＝.
在Rt△OME中，OE＝，OM＝3，
∴ME＝＝＝2.
∴MN＝2ME＝2×2＝4.
【解答】(1)C过点O作OE⊥AB于点E，连接OB，
∵AB＝CD＝8，∴BE＝4，∵OB＝5，∴OE＝PE＝3，
∴OP＝3.
(2)D由垂径定理垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，知A，B错误；连接OA，由圆周角与圆心角的关系知，∠D＝∠AOC<∠AEC，故C错误；由圆周角定理知∠A＝∠C，∠B＝∠D，所以△ADE∽△CBE，所以D正确，故选D.
(3)A由∠B＝60°知∠AOC＝120°，因为OP⊥AC，所以∠AOP＝60°，因为cos∠AOP＝＝＝，所以OA＝4，故选A.
【解答】(1)证明：在△ABC中，∵∠BAC＝∠APC＝60°，∠APC＝∠ABC，∴∠ABC＝60°，∴∠ACB＝180°－∠BAC－∠ABC＝180°－60°－60°＝60°，∴△ABC是等边三角形．
(2)连接OB.∵△ABC为等边三角形，O为其外接圆圆心，∴BO平分∠ABC，∴∠OBD＝30°，∴OD＝8×＝4.
4．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝BC，∠ABC＝120°，AD为⊙O的直径，AD＝6，那么BD＝3.
3．(2012·襄阳)△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC＝160°，则∠ABC的度数是()
A．80°B．160°
C．100°D．80°或100°
1．圆的定义有两种方式
(1)在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆．固定的端点叫圆心，线段OA叫做半径．
(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合．
2．圆的对称性
(1)圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴．
(2)圆是以圆心为对称中心的中心对称图形．
(3)圆是旋转对称图形．圆绕圆心旋转任意角度，都能和原来的图形重合，这就是圆的旋转不变性.
7．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径为，AC＝2，则sinB的值是()
A.B.
C.D.
10．如图，在5×5的正方形网格中，一条圆弧经过A、B、C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是()
A．点PB．点Q
C．点RD．点M
二、填空题(每小题4分，共16分)
13．(2012·吉林)如图，A，B，C是⊙O上的三点，∠CAO＝25°，∠BCO＝35°，则∠AOB＝120度．三、解答题(共36分)17．(10分)(2012·宁夏)如图，在⊙O中，直径AB⊥CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD.求∠D的度数．
【点拨】本题组主要考查垂径定理及圆中的相关计算．
例3(2012·长沙)如图，A，P，B，C是半径为8的⊙O上的四点，则满足∠BAC＝∠APC＝60°.(1)求证：△ABC是等边三角形；
(2)求圆心O到边BC的距离OD.
3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB＝30°，⊙O的半径为cm，则弦CD的长为()
A.cmB．3cmC．2cmD．9cm
【答案】C
【答案】D
【答案】B
【解析】连接OE，OF，过点O作OM⊥EF于点M，
则EM＝FM＝EF.
∵∠EOF＝2∠BAC＝120°，
∴∠EOM＝∠EOF＝60°.
∵sin∠EOM＝，∴sin60°＝＝.∴EM＝OE.
∴EF＝2EM＝OE.
1．垂径定理的应用
用垂径定理进行计算或证明，常需作出圆心到弦的垂线段(即弦心距)，则垂足为弦的中点，再利用解半径、弦心距和弦的一半组成的直角三角形来达到求解的目的.
2．借助同弧、等弧所对圆周角相等，所对圆心角相等进行角的等量代换；也可在同圆或等圆中，由相等的圆周角所对的弧相等，进行弧(或弦)的等量代换．
(2)(2012·重庆)已知：如图，OA，OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C在⊙O上，则∠ACB的度数为()
A．45°B．35°C．25°D．20°
1．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝12，BE＝2，则⊙O的直径为()
A．8B．10
C．16D．20
6．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD.
(1)求证：BD平分∠ABC；
(2)当∠ODB＝30°时，求证：BC＝OD.
8．如图所示，在⊙O内有折线OABC，其中OA＝8，AB＝12，∠A＝∠B＝60°，则BC的长为()
A．19B．16
C．18D．20
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点P是半圆弧AC的中点，连接BP交AC于点D，若半圆弧的圆心为O，点D、点E关于圆心O对称，则图中的两个阴影部分的面积S1，S2之间的关系是()
A．S1S2
C．S1＝S2D．不确定
14．(2012·大连)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若∠BCA＝60°，则∠ABO＝30°.
18．(12分)如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，交⊙O于C、D两点，连接BC，BD，OF⊥AC于点F.
(1)请写出三条与BC有关的正确结论；
(2)当∠D＝30°，BC＝1时，求圆中阴影部分的面积．
例2(1)(2012·昆明)如图，AB，CD是⊙O的两条弦，连接AD，BC.若∠BAD＝60°，则∠BCD的度数为()
A．40°B．50°
C．60°D．70°
5．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，点D为⊙O上一点，若∠CAB＝55°，则∠ADC的大小为35度．
【答案】D
1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
2．推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
1．定义：顶点在圆心上的角叫圆心角；顶点在圆上，角的两边和圆都相交的角叫圆周角．
2．性质
(1)圆心角的度数等于它所对弧的度数；
(2)一条弧所对的圆周角的度数等于它所对圆心角的度数的一半；
(3)同弧或等弧所对的圆周角相等．同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等；
(4)半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
【解答】(1)C(2)A(3)C
【点拨】(1)依据同弧所对的圆周角相等，可得∠BCD＝∠BAD＝60°.
(2)由于OA⊥OB，即∠AOB＝90°，所以∠ACB＝∠AOB＝×90°＝45°.
(3)由∠ACB＝30°，可得∠AOB＝2∠ACB＝60°，所以sin∠AOB＝sin60°＝.
【答案】B
【解析】根据题意知半圆关于OP对称，因而S1，S2在直径AC上面的两部分的面积相等，△CDB与△AEB的底CD与AE相等，高相等，因而面积相等，因而S1＝S2.故选C.
【答案】C
即当⊙O的半径最小时，线段EF的长最小．
∵当AD⊥BC时，直径AD最小，∴此时⊙O的半径最小．
在Rt△ABD中，sinB＝＝，
∴AD＝AB＝2，∴OE＝AD＝1，∴EF＝OE＝.
即线段EF长度的最小值是.
解：连接BD.
∵AB是⊙O的直径，∴BD⊥AD.
又∵CF⊥AD，∴BD∥CF.
∴∠BDC＝∠C.又∵∠BDC＝∠BOC，∴∠C＝∠BOC.∵AB⊥CD，∴∠C＝30°，
∴∠ADC＝60°.
【解析】如图所示，延长AO交BC于D，连接OB、OC，由AB＝AC，OB＝OC，得AD⊥BC，BD＝DC＝BC＝3.由∠ABC＝45°得AD＝BD＝3.∴OD＝3－1＝2，∴OB＝＝.
【答案】C
|
|
