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A．5个B．6个C．7个D．8个
答案：A
14．(2012·临沂)如图，CD与BE互相垂直平分，AD⊥DB，∠DBE＝70°，则∠DEB＝70°.
(3)(2012·湖北)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分线交AC于点E，垂足为点D，连接BE，则∠EBC的度数为____________．
3．下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是()
A．3、4、5B．6、8、10
C.、2、D．5、12、13
答案：C
答案：B
解：(1)AC⊥BD.
∵△DCE由△ABC平移得到，∴BE＝2BC＝6，DE＝AC＝3，∠E＝∠ACB＝60°，∴DE＝BE，
又∵DC＝BC，∠DCE＝60°，
∴∠DBE＝30°，∴∠BDE＝90°.
∴BD⊥DE，∵∠E＝∠ACB＝60°，
∴AC∥DE，∴BD⊥AC.
(2)在Rt△BED中，∵BE＝6，DE＝3，
∴BD＝＝＝3.
【解析】因为△ABC为等腰三角形，所以AB＝AC，因为BC＝5，所以2AB＝2AC＝21－5＝16，即AB＝AC＝8，而DE是线段AB的垂直平分线，所以AE＝BE，所以△BEC的周长＝BE＋EC＋BC＝AE＋EC＋BC＝AC＋BC＝8＋5＝13.
10．(2012·荆门)如图，△ABC是等边三角形，P是∠ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q，若BF＝2，则PE的长为()A．2B．2
C.D．3
【解析】如图所示，延长AD交BC于M，由AB＝AC，AD是∠BAC的平分线可得AM⊥BC，BM＝MC＝BC，延长ED交BC于N，则△BEN是等边三角形．故EN＝BN＝BE＝6cm，∴DN＝6－2＝4(cm)．在Rt△DMN中，∵∠MDN＝30°，∴MN＝DN＝2(cm)．∴BM＝6－2＝4(cm)，∴BC＝2BM＝8(cm)．
解：连接BD.∵BD是Rt△ABC斜边上的中线，∴BD＝AC＝CD，BD⊥AC.
∴∠C＝∠1＝45°.∴∠2＝90°－∠1＝90°－45°＝45°.∴∠C＝∠2.又∵∠3＋∠4＝90°，∠4＋∠5＝90°，∴∠3＝∠5，
例1(1)(2012·攀枝花)已知实数x，y满足|x－4|＋＝0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是()
A．20或16B．20
C．16D．以上答案均不正确
(2)(2012·贵阳)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于F，若∠F＝30°，DE＝1，则EF的长是()
A．3B．2C.D．1
【解析】∵图中是一副直角三角板，
∴∠BAE＝45°，∠E＝30°，
∴∠AFE＝180°－∠BAE－∠E＝105°，
∴∠α＝105°.
【解析】①∵22＋32＝13≠42，∴以这三个数为长度的线段不能构成直角三角形，故不符合题意；
②∵32＋42＝52，∴以这三个数为长度的线段能构成直角三角形，故符合题意；
③∵12＋()2＝22，∴以这三个数为长度的线段能构成直角三角形，故符合题意．故能构成直角三角形的有②③.故选D.
二、填空题(每小题4分，共20分)
11．(2012·烟台)一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜边AB上，BC与DE交于点M，如果∠ADF＝100°，那么∠BMD为85度．
15．(2012·丽水)如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠OEC的度数是100°.
1．概念
有两边相等的三角形叫等腰三角形；有三边相等的三角形叫做等边三角形(也叫正三角形)．
【点拨】本题组主要考查等腰三角形、直角三角形、垂直平分线的有关概念及性质．
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝80°，E、F、P分别是AB、AC、BC边上一点，且BE＝BP，CP＝CF，则∠EPF等于()
A．80°B．70°
C．60°D．50°
【解析】图中全等的直角三角形有：△AED≌△FEC，△BDC≌△FDC≌△DBA，共4对．故选B.
解：过点P作PD⊥AB，垂足为D，由题可得∠APD＝30°，∠BPD＝45°，设AD＝x，在Rt△APD中，PD＝x，在Rt△PBD中，BD＝PD＝x，∴x＋x＝100，x＝50(－1)，∴PD＝x＝50(3－)≈63.4>50，∴不会穿过保护区．
【解析】设CE与BD的交点为点O，
∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠ACB，
再根据三角形内角和定理知，
∠ABC＝∠ACB＝＝72°，
∵BD是∠ABC的角平分线，
∴∠ABD＝∠DBC＝∠ABC＝36°＝∠A，∴AD＝BD，
同理，∠A＝∠ACE＝∠BCE＝36°，AE＝CE，
∵∠DBC＝36°，∠ACB＝72°，
8．(2012·广西)已知三组数据：①2,3,4；②3,4,5；③1，，2.分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，能构成直角三角形的有()
A．②B．①②C．①③D．②③
【解析】由CD与BE互相垂直平分可得BD＝ED，则∠DEB＝∠DBE＝70°.
答案：C
4．(2012·自贡)如图，矩形ABCD中，E为CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，连接BD、DF，则图中全等的直角三角形共有()
A．3对B．4对C．5对D．6对
【解析】由DE垂直平分AB得EA＝EB，∴∠B＝∠BAE，又∵AE平分∠BAC，∴∠EAB＝∠CAE，∴∠B＝∠BAE＝∠CAE，因此A、C都成立．
∵AE平分∠BAC，∴∠EAB＝∠CAE，又ED⊥AB，
EC⊥AC，∴∠DEA＝∠CEA(等角的余角相等)，B成立．
9．(2012·黔东南州)如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M的坐标是()
A．(2,0)B．(－1,0)
C．(－1,0)D．(，0)
12．(2012·南充)如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，若四边形ABCD的面积是24cm2，则AC长是4cm.
三、解答题(共40分)
16．(8分)如图所示，在正方形ABCD中，点G为BC上任意一点，连接AG，过B、D两点分别作BE⊥AG，DF⊥AG，垂足分别为E、F两点．求证：△ADF≌△BAE.
1．概念：垂直且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线．
2．性质：线段中垂线上的点到这条线段两端点的距离相等．
3．判定：到一条线段的两个端点距离相等的点在中垂线上，线段的中垂线可以看作是到线段两端点距离相等的点的集合．
(2012·重庆)已知：如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形，若AB＝2，求△ABC的周长(结果保留根号)．
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，分别以AB、AC为边作两个等腰直角△ABD和△ACE，使∠BAD＝∠CAE＝90°.
(1)求∠DBC的度数；
(2)求证：BD＝CE.
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，斜边AB的垂直平分线交AB于点D、交BC于点E，AE平分∠BAC，那么下列关系式中不成立的是()
A．∠B＝∠CAEB．∠DEA＝∠CEA
C．∠B＝∠BAED．AC＝2EC
答案：D
【解析】∵∠BDM＝180°－100°－30°＝50°，
∴∠BMD＝180°－50°－45°＝85°.
【解析】如图，由AB＝AC，AO平分∠BAC得AO是线段BC的垂直平分线，连接OB，则OB＝OA＝OC，所以∠OAB＝∠OBA＝×50°＝25°，∠OBC＝∠OCB＝－25°＝40°，由于EO＝EC，故∠OEC＝180°－2×40°＝100°.
1．性质：(1)等边三角形的内角都相等，且等于60°；(2)等边三角形是轴对称图形，等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线都“三线合一”，它们所在的直线都是等边三角形的对称轴．
2．判定：三个角相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
【解答】(1)B因为|x－4|≥0，≥0，而|x－4|＋＝0，所以|x－4|＝0，＝0，故x＝4，y＝8，所以以x，y的值为两边长的等腰三角形的三边长可能为4,4,8或4,8,8，而第一种情况不满足三角形的三边关系，所以等腰三角形的三边长应是4,8,8，周长是20，故选B.
(2)B连接EB，由DE垂直平分AB，∠ACB＝90°，得∠A＝∠F＝30°，AE＝EB，所以∠ABE＝∠A＝∠F＝30°，∠EBC＝30°，所以BE平分∠ABC，所以EC＝DE＝1，EF＝2EC＝2，故选B.
(3)36°∵DE是AB的垂直平分线，∴AE＝BE，
∴∠ABE＝∠A＝36°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝72°，∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝36°.
答案：D
18．(12分)(2012·湘潭)如图，△ABC是边长为3的等边三角形，将△ABC沿直线BC向右平移，使B点与C点重合，得到△DCE，连接BD，交AC于F.
(1)猜想AC与BD的位置关系，并证明你的结论；
(2)求线段BD的长．
17．(8分)如图所示，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，D为AC边上的中点，过D点作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F.若AE＝4，FC＝3，求EF的长．7．如图，等腰△ABC的周长为21，底边BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则△BEC的周长为()
A．13B．14
C．15D．16
13．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，D、E是△ABC内的两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°，若BE＝6cm，DE＝2cm，则BC＝8cm.
3．(2012·聊城)将一副三角板按如图所示摆放，图中∠α的度数是()A．75°B．90°
C．105°D．120°
答案：D
2．判定
(1)有一个角是直角的三角形是直角三角形；
(2)勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形；
(3)如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形为直角三角形；
(4)在一个三角形中，如果有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形．
【点拨】本题考查解直角三角形、三角形内角和定理、等边三角形的性质及直角三角形的勾股定理．
答案：(1)∠DBC＝115°(2)证△DAB≌△EAC，即得BD＝CE
2．等腰三角形的性质
(1)等腰三角形的两腰相等；等腰三角形的两个底角相等；
(2)等腰三角形的顶角角平分线、底边上的中线和高互相重合，简称“三线合一”；
(3)等腰三角形是轴对称图形；
(4)等腰三角形的边长须满足两腰之和大于底；等腰三角形的底角满足0°＜α＜90°；顶角满足0°＜β＜180°.
3．等腰三角形的判定
(1)有两条边相等的三角形是等腰三角形；
(2)有两个角相等的三角形是等腰三角形．
1．性质
(1)直角三角形的两个锐角互余；
(2)勾股定理：a2＋b2＝c2(在Rt△ABC中，∠C＝90°)；
(3)在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
(4)在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角为30°；
(5)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
【解答】∵△ABD是等边三角形，∴∠B＝60°.∴∠C＝30°，∴BC＝2AB＝2×2＝4，∴AC＝＝＝2.
∴△ABC的周长为AB＋BC＋AC＝2＋4＋2＝6＋2.
根据三角形内角和定理知，∠BDC＝180°－72°－36°＝72°，
∴BD＝BC，同理CE＝BC，
∵∠BOC＝180°－36°－36°＝108°，
∴∠ODC＝∠DOC＝∠OEB＝∠EOB＝72°，
∴△ABC，△ADB，△AEC，△BEO，△COD，△BCE，△BDC，△BOC都是等腰三角形，共8个．
答案：D
【解析】由题意得，
AC＝＝＝，
故可得AM＝，BM＝AM－AB＝－3，
又∵点B的坐标为(2,0)，
∴点M的坐标为(－1,0)，故选C.
答案：C
【解析】∵△ABC是等边三角形，BD是∠ABC的平分线，∴∠EBP＝∠QBF＝30°，
∵BF＝2，FQ⊥BP，∴BQ＝BF·cos30°＝2×＝.
∵FQ是BP的垂直平分线，∴BP＝2BQ＝2，
在Rt△BEP中，∵∠EBP＝30°，
∴PE＝BP＝.故选C.
答案：C
【解析】如图，将△ADC旋转至△ABE处，则△AEC的面积和四边形ABCD的面积相等，为24cm2，这时△AEC为等腰直角三角形，作边EC上的高AF，则AF＝EC＝FC，∴S△AEC＝AF·EC＝AF2＝24，∴AF2＝24，AC2＝2AF2＝48，AC＝4(cm)．
证明：∵四边形ABCD是正方形，∴DA＝AB，∠1＋∠2＝90°.又∵BE⊥AG，DF⊥AG，∴∠1＋∠3＝90°，∠2＋∠4＝90°.∴∠2＝∠3，∠4＝∠1.∴△ADF≌△BAE(ASA)．∴△BED≌△CFD.
∴DE＝DF.∵∠3＋∠6＝90°，∠3＋∠4＝90°，
∴∠4＝∠6.又∵∠1＝∠A＝45°，∴△AED≌△BFD.
∴AE＝BF＝4.又∵AB＝BC，∴BE＝FC＝3.
∴EF＝＝＝5.
答案：4
答案：8
答案：100°
答：森林保护区的中心与直线AB的距离大于保护区的半径，所以计划修筑的这条高等级公路不会穿过保护区．
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