6．已知：如图，AB＝AE，∠1＝∠2，∠B＝∠E.求证：BC＝ED.答案：提示：用ASA证明△ABC≌△AED考点训练一、选择题(每小题4分，共56分)1．(2012·长沙)现有3cm,4cm,7cm,9cm长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是()A．1B．2C．3D．4答案：B2．(2012·德州)不一定在三角形内部的线段是()A．三角形的角平分线B．三角形的中线C．三角形的高D．三角形的中位线答案：C上一页下一页首页基础巩固训练中考典例精析上一页下一页首页考点知识梳理考点训练基础巩固训练中考典例精析上一页下一页首页考点知识梳理考点训练基础巩固训练中考典例精析上一页下一页首页考点知识梳理考点训练基础巩固训练中考典例精析上一页下一页首页考点知识梳理考点训练第17讲三角形与全等三角形zxxkwzxxkwzxxkwzxxkwzxxkwzxxkw1．已知三角形三边长分别为2，x,13，若x为正整数，则这样的三角形的个数为()A．2B．3C．5D．13答案：B2．如图，∠BDC＝98°，∠C＝38°，∠B＝23°，∠A的度数是()A．61°B．60°C．37°D．39°答案：C5．已知，如图，点E，A，C在同一直线上，AB∥CD，AB＝CE，AC＝CD.求证：BC＝ED.答案：提示：用SAS证明△ABC≌△CED
【解答】
(1)D如图，由题意知AB∥CD，则∠DAB＝∠D＝30°，又∵∠B＝45°，∴∠α＝∠DAB＋∠B＝30°＋45°＝75°.
(2)B∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B＝40°，又∠A＝80°，∴∠AED＝180°－80°－40°＝60°.
(3)B全等三角形的判定方法有五种：AAS，ASA，SAS，SSS，HL.根据已知中已有两边相等，需要再确定夹角相等即可，所以可以由∠B＝∠E判定两个三角形全等，故选B.
6．(2012·烟台)如图是跷跷板示意图，横板AB绕中点O上下转动，立柱OC与地面垂直，设B点的最大高度为h1，若将横板AB换成横板A′B′，且A′B′＝2AB，O仍为A′B′的中点，设B′点的最大高度为h2，则下列结论中正确的是()
A．h2＝2h1B．h2＝1.5h1
C．h2＝h1D．h2＝h1
答案：B
14．(2012·柳州)如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离，如果△PQO≌△NMO，则只需测出其长度的线段是()
A．POB．PQC．MOD．MQ
18．(2012·盐城)如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，∠B＝50°.现将△ADE沿DE折叠，点A落在三角形所在平面内的点为A1，则∠BDA1的度数为80°.
22．(8分)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F.
求证：(1)FC＝AD；
(2)AB＝BC＋AD.
1．角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
2．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．
【点拨】本题组综合考查了三角形内角、外角及三角形全等的有关概念及性质．
4．如图，在△ABC中，∠B＝47°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC＝66.5°.
答案：D
答案：B
12．(2012·本溪)如图，在直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，DE是AB边的垂直平分线，垂足为D，交边BC于点E，连接AE，则△ACE的周长为()
A．16B．15C．14D．13
【解析】∵P是△ABC的内心，即AP、BP、CP分别平分∠CAB、∠ABC、∠ACB，∴∠PBC＋∠PCA＋∠PAB＝∠ABC＋∠ACB＋∠BAC＝(∠ABC＋∠ACB＋∠BAC)＝×180°＝90°.
证明：∵在△ABE和△ACD中，
∴△ABE≌△ACD，∴BE＝CD.
【点拨】本题主要考查三角形全等的判定．(1)利用了ASA，(2)利用了SAS.
答案：D
二、填空题(每小题4分，共16分)
15．如图所示，在△ABC中，点P是△ABC的内心，则∠PBC＋∠PCA＋∠PAB＝90度．
三、解答题(共28分)
19．(6分)(2012·广州)如图，点D在AB上，点E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C.求证：BE＝CD.
例1(1)(2012·新疆)将一副三角板按图中方式叠放，则角α的度数是()
A．30°B．45°C．60°D．75°
(2)(2012·吉林)如图，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝40°，D，E分别是AB，AC上的点，且DE∥BC，则∠AED的度数为()
A．40°B．60°C．80°D．120°
例2(1)(2012·哈尔滨)如图，点B在射线AE上，∠CAE＝∠DAE，∠CBE＝∠DBE.
求证：AC＝AD.
3．如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A、B，下列结论中不一定成立的是()
A．PA＝PB
B．PO平分∠APB
C．OA＝OB
D．AB垂直平分OP
答案：A
【解析】过点D作DE⊥AB于点E，∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，∴DE＝DC＝4.
答案：(1)解：添加的条件是：DE＝DF(或CE∥BF或∠ECD＝∠DBF或∠DEC＝∠DFB等)．
(2)证明：(以第一种为例，添加其他条件的证法酌情给分)
∵BD＝CD，∠FDB＝∠EDC，DF＝DE，∴△BDF≌△CDE.
答案：C
11．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA＝2，则PQ的最小值为()
A．1B．2C．3D．4
【解析】连接AE，
∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，
∴BC＝＝10，
∵DE是AB边的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∴△ACE的周长为：AE＋EC＋AC＝BE＋CE＋AC＝BC＋AC＝10＋6＝16.故选A.
16．(2012·嘉兴)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，CD＝4，则点D到AB的距离为4.
20.(6分)(2012·义乌)如图，在△ABC中，点D是BC的中点，作射线AD，在线段AD及其延长线上分别取点E、F，连接CE、BF.添加一个条件，使得△BDF≌△CDE，并加以证明．
你添加的条件是________(不添加辅助线)．
【解答】(1)证明：∵∠ABC＋∠CBE＝180°，∠ABD＋∠DBE＝180°，∠CBE＝∠DBE，∴∠ABC＝∠ABD.
在△ABC和△ABD中，
∴△ABC≌△ABD，∴AC＝AD.
4．(2012·台州)如图，点D，E，F分别为△ABC三边的中点，若△DEF的周长为10，则△ABC的周长为()A．5B．10
C．20D．40
7．(2012·聊城)如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在边BC上，如果点F是边AD上的点，那么△CDF与△ABE不一定全等的条件是()
A．DF＝BEB．AF＝CE
C．CF＝AED．CF∥AE
9．如图所示，已知△ABC中，∠ABC＝45°，F是高AD和BE的交点，CD＝4，则线段DF的长度为()
A．2B．4C．3D．4
答案：C
【解析】∵DE为BC的垂直平分线，
∴CD＝BD，
∴△ACD的周长＝AC＋CD＋AD＝AC＋BD＋AD＝AC＋AB，
而AC＝3cm，AB＝5cm，
∴△ACD的周长为3＋5＝8cm.
答案：(1)解：△ADC≌△ABC，△GFC≌△EFC，△GDC≌△EBC(任意两对均可)．
(2)证法一：连接DB、GE，
∵四边形ABCD、CEFG是菱形，
∴对角线DB、GE被直线AF垂直平分，
∴点D与点B，点G与点E都是以直线AF为对称轴的两对对称点．∴BE＝DG.
1．能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．
2．全等三角形的性质
(1)全等三角形的对应边、对应角分别相等；
(2)全等三角形中的对应线段(角平分线、中线、高)相等、周长相等、面积相等．
(5)(2012·临沂)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC＝BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若EF＝5cm，则AE＝__________cm.
答案：A
【解析】由∠A＝80°，∠ACB＝60°，得∠B＝40°，
由∠ACB＝60°，CD是∠ACB的平分线，得∠BCD＝30°，
∴∠BDC＝110°.
8．如图，△ACB≌△A′CB′，∠BCB′＝30°，则∠ACA′的度数为()
A．20°B．30°
C．35°D．40°
13．如图，与下边正方形图案全等的图案是()
ABCD
17．如图，在△ABC中，AB＝5cm，AC＝3cm，BC的垂直平分线分别交AB、BC于D、E，则△ACD的周长为8cm.
21．(8分)(2012·江西)如图，已
知两个菱形ABCD、CEFG，其中点A、C、F在同一直线上，连接BE、DG.
(1)在不添加辅助线时，写出其中的两对全等三角形；
(2)证明：BE＝DG.
三角形按边可分为：不等边三角形和等腰三角形；按角可分为锐角三角形、钝角三角形和直角三角形．
1．三角形的内角和是180°，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角．
2．三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
(3)(2012·贵阳)如图，已知点A，D，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件是()
A．∠BCA＝∠FB．∠B＝∠E
C．BC∥EFD．∠A＝∠EDF
例1(3)题
3．如图，在△ABC中，∠B＝67°，∠C＝33°，AD是△ABC的角平分线，则∠CAD的度数为()(第3题)
A．40°B．45°C．50°D．55°
5．如图，在△ABC中，CD是∠ABC的平分线，∠A＝80°，∠ACB＝60°，那么∠BDC＝()
A．80°B．90°
C．100°D．110°
答案：B
【解析】∵D、E分别是边AB、AC的中点，∴DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B＝50°(两直线平行，同位角相等)，
又∵∠ADE＝∠A1DE，∴∠A1DA＝2∠B，
∴∠BDA1＝180°－2∠B＝80°.
证明：(1)∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠ECF，∵E是CD的中点，
∴DE＝EC.∵在△ADE与△FCE中，
∴△ADE≌△FCE(ASA)，∴FC＝AD.
(2)∵△ADE≌△FCE，∴AE＝EF，AD＝CF.
∴BE是线段AF的垂直平分线，∴AB＝BF＝BC＋CF，
∵AD＝CF，∴AB＝BC＋AD.
3．三角形中的重要直线或线段
(1)角平分线：三角形的三条角平分线交于一点，这点叫做三角形的内心，它到三角形各边的距离相等．
(2)中线：三角形的三条中线交于一点，这点叫做三角形的重心．
(3)高：三角形的三条高交于一点，这点叫做三角形的垂心．
(4)三边垂直平分线：三角形的三边垂直平分线交于一点，这点叫做三角形的外心，外心到三角形三个顶点的距离相等．
(5)中位线：三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半．
1．如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为SSS；
2．如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为SAS；
3．如果两个三角形的两角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为ASA；
4．如果三角形的两角及其中一角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为AAS.
5．如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等，简记为HL.
(4)(2012·长沙)如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，则外角∠ACD＝____________度．
(4)105三角形的外角等于不相邻两个内角的和，∠ACD＝∠A＋∠B＝45°＋60°＝105°.
(5)3根据直角三角形的两锐角互余的性质求出∠ECF＝∠B，然后利用“角边角”证明△ABC和△FCE全等，根据全等三角形对应边相等可得AC＝EF，再根据AE＝AC－CE，代入数据得AE＝5－2＝3(cm)，即可得解．
(2)(2012·武汉)如图，CE＝CB，CD＝CA，∠DCA＝∠ECB.求证：DE＝AB.
例2(2)题
(2)证明：∵∠DCA＝∠ECB，∠ECA＝∠ECA，
∴∠DCE＝∠ACB.
在△DCE和△ACB中，
∴△DCE≌△ACB.∴DE＝AB.
【解析】过点B作BE⊥AC，垂足为E，由题意知OC是△ABE的中位线，则h1＝2OC，同理可知h2＝2OC，∴h1＝h2＝2OC.
答案：C
【解析】如图，A.当DF＝BE时，由平行四边形的性质可得AB＝CD，∠B＝∠D，利用SAS可判定△CDF≌△ABE；B.当AF＝CE时，由平行四边形的性质可得BE＝DF，AB＝CD，∠B＝∠D，利用SAS可判定△CDF≌△ABE；C.当CF＝AE时，由平行四边形的性质可得AB＝CD，∠B＝∠D，利用SSA不能判定△CDF≌△ABE；D.当CF∥AE时，再结合平行四边形的性质可得AB＝CD，∠B＝∠D，∠AEB＝∠CFD，利用AAS可判定△CDF≌△ABE.
答案：C
10．如图所示，在下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是()
A．BD＝DC，AB＝AC
B．∠ADB＝∠ADC，BD＝DC
C．∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAD
D．∠B＝∠C，BD＝DC
答案：D
【解析】过点P作PQ⊥OM，垂足为Q，则PQ为最短距离，
∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PQ⊥OM，
∴PQ＝PA＝2，故选B.
答案：B
证法二：∵四边形ABCD、CEFG是菱形，
∴DC＝BC，CG＝CE，∠DCA＝∠BCA，∠GCF＝∠ECF.
∵∠ACF＝180°，
∴∠DCG＝∠BCE，
∴△GDC≌△EBC，∴BE＝DG.
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