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| 2012年第七届世奥赛夏季总决赛九年级初赛试卷 |
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第七届世界奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛
夏季联赛全国总决赛---------------------------------------------------------------------------------
考生须知：
每位考生将获得考题一份。考试期间，不得使用计算工具或手机。
本卷共120分，填空题每小题5分，解答题每题10分。
请将答案写在本卷上。考试完毕时，所有考卷及草稿纸会被收回。
若计算结果是分数，请化至最简，并确保为真分数或带分数。
九年级初赛试卷
（本试卷满分120分，考试时间90分钟）
填空题。（每题5分，共60分）
若＞，＞，且，则的值是
______________。
已知与的小数部分分别是、，则的值是_____________。
设为正实数，则函数的最小值是__________。
方程的所有根的和是_________________。
若方程的较大根为，方程、
的较小根为，则的值是_________________。
已知，，，则的
值为_________________。
如图，AB⊥BC，CD⊥BC，垂足分别为B、C，AB=4，DC=1，BC=4，P在BC
上，AP⊥PD，则AD的长是________________。
（第7题）（第8题）（第9题）
如图，以正方形ABCD的边长为直径作半圆O，过点D作直线切半圆于点F，
交AB边于点E，已知△ADE的周长是12，则梯形EBCD的周长是____
_________。
如图，在△ABC中，已知∠C=90°，AD是∠CAB的角平分线，点E在AB上，
DE∥CA，CD=12，BD=15，则AE的长是_________________。
（第10题）（第11题）（第12题）
如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，将梯形折叠，使AD落在BC上，折痕为
EF，P是AC与EF的交点，已知△APB的面积为，△DPC的面积为，
则梯形ABCD的面积为__________________。
如图，设P为△ABC内任意一点，直线AP、BP、CP交BC、CA、AB于点D、
E、F。则的值是________________。
如图，已知P为正方形ABCD的外接圆的劣弧AD上任意一点，则的
值是________________。
解答题。（每题10分，共60分）
已知，且，，其中、均为有理数，
求的值。
2、设是自然数，并且，求的最小值。
3、已知，，，求的值。
4、如图，已知梯形ABCD，AD∥BC，∠A=90°，E为CD的中点，BE=，梯形ABCD
的面积为30，求AB＋BC＋DA的值。
5、如图，设P是边长为12的正△ABC内一点，过P分别作三条边BC、CA、AB
的垂线，垂足分别为D、E、F。已知PD:PE:PF=1:2:3，求四边形BDPF的面积。
6、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠D=90°，BC=CD=2AD，E是边CD
上一点，∠ABE=45°，BE=，求AB的长。
第七届世界奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛
九年级初赛试题答案
填空题。
1、22、3、14、4
5、20046、7、58、14
9、2010、11、212、
解答题。
1、由已知得，，，
=，所以，。
2、≥，是自然数，所以≥，此时，的最小值是。
3、(+)(+)(+)=+++++++=++4+1+=4×1×，得到：+=2，即，解得=1。
4、延长BE与AD的延长线交于F，则△BCE≌△FDE，BC=FD，AD＋BC=AD＋DF=AF，梯形ABCD的面积等于△ABF的面积，所以=，，所以，，即AB＋BC＋DA=17。
5、因为正△ABC的高为12×=，又PD:PE:PF=1:2:3，所以PD=，PE=，PF=，如图，过点P作PS∥BC，交AB于S，则∠FSP=∠B=60°，所以FS=3，PS=6，BD=PS＋=7，所以四边形BDPF的面积=△PFS的面积＋梯形BDPS的面积=。
6、延长DA至点F，使AF=AD，得正方形BCDF。再延长AF至点G，使FG=CE，则
△BFG≌△BCE，BE=BG，∠CBE=∠FBG，∠ABG=∠ABF＋∠FBG=∠ABF＋∠CBE=45°，所以∠ABE=∠ABG，△ABG≌△ABE，设CE=，BC=，则FG=，AF=AD=，AE=AG=，DE=，在Rt△ADE中，，解得，在Rt△BCE中，，解得，AF=3，BF=6。AB=。
（此文档由世界奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛组委会编辑提供）
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