十七变换和操作（A）
年级班姓名得分
一、填空题
1.黑板上写着8,9,10,11,12,13,14七个数,每次任意擦去两个数,再写上这两个数的和减1.例如,擦掉9和13,要写上21.经过几次后,黑板上就会只剩下一个数,这个数是_____.
2.口袋里装有99张小纸片,上面分别写着1~99.从袋中任意摸出若干张小纸片,然后算出这些纸片上各数的和,再将这个和的后两位数写在一张新纸片上放入袋中.经过若干次这样的操作后,袋中还剩下一张纸片,这张纸片上的数是_____.
3.用1~10十个数随意排成一排.如果相邻两个数中,前面的大于后面的,就将它们变换位置.如此操作直到前面的数都小于后面的数为止.已知10在这列数中的第6位,那么最少要实行_____次交换.最多要实行_____次交换.
4.一个自然数,把它的各位数字加起来得到一个新数,称为一次变换,例如自然数5636,各位数字之和为5+6+3+6=20,对20再作这样的变换得2+0=2.可以证明进行这种变换的最后结果是将这个自然数,变成一个一位数.
对数123456789101112…272829作连续变换，最终得到的一位数是_____.
5.5个自然数和为100,对这5个自然数进行如下变换,找出一个最小数加上2,找出一个最大数减2.连续进行这种变换,直至5个数不发生变化为止,最后的5个数可能是_____.
6.在黑板上写两个不同的自然数,擦去较大数,换成这两个数的差,我们称之为一次变换.比如(15,40),40-15=25,擦去40,写上25,两个数变成(15,25),对得到的两个数仍然可以继续作这样的变换,直到两个数变得相同为止,比如对(15,40)作这样的连续变换:
(15,40)(15,25)(15,10)(5,10)(5,5).
对(1024,)作这样的连续变换，最后得到的两个相同的数是_____.
7.在一块长黑板上写着450位数123456789123456789…（将123456789重复50次）.删去这个数中所有位于奇数位上的数字:再删去所得的数中所有位于奇数位上的数字:再删去…，并如此一直删下去.最后删去的数字是_____.
8.将100以内的质数从小到大排成一个数字串,依次完成以下五项工作叫做一次操作:
将左边第一个数码移到数字串的最右边；
从左到右两位一节组成若干这两位数；
划去这些两位数中的合数；
所剩的两位质数中有相同者，保留左边的一个，其余划去；
所余的两位质数保持数码次序又组成一个新的数字串。
经过1997次操作，所得的数字串是_____.
9.一个三角形全涂上黑色,每次进行一次操作,即把全黑三角形分成四个全等的小三角形,中间的小正三角形涂上白色,经过5次操作后,黑色部分是整个三角形的_____.
(1)(2)
10.口袋里装着分别写有1,2,3,…，135的红色卡片各一张，从口袋里任意摸出若干张卡片，并算出这若干张卡片上各数的和除以17的余数，再把这个余数写在另一张黄色的卡片上放回口袋内.经过若干次这样的操作后，口袋内还剩下两张红色卡片和一张黄色卡片.已知这两张红色卡片上写的数分别是19和97.那么这张黄色卡片上写的数是_____.
二、解答题
11．请说明例1中，对1980的连续变换中一定会出现重复.对其它的数作连续变换是不是也会如此?
12.将33方格纸的每一个方格添上奇数或偶数,然后进行如下操作:将每个方格里的数换成与它有公共边的几个方格里的数的和,问是否可以经过一定次数的操作,使得所有九个方格里的数都变成偶数?如果可以,需要几次?
13.在左下图中,对任意相邻的上下或左右两格中的数字同时加1或减1算作一次操作,经过若干次操作后变为下图.问:下图A格中的数字是几?为什么?
14.在19971997的方形棋盘上每格都装有一盏灯和一个按钮,按钮每按一次,与它同一行和同一列方格中的灯泡都改变一次状态,即由亮变不亮,不亮变亮.如果原来每盏灯都是不亮的,请说明最少需要按多少次按钮才可以使灯全部变亮?
十七变换和操作（B）
年级班姓名得分
一、填空题
1．对于324和612，把第一个数加上3，同时把第二个数减3，这算一次操作，操作_____次后两个数相等.
2.对自然数n,作如下操作：各位数字相加，得另一自然数，若新的自然数为一位数，那么操作停止，若新的自然数不是一位数，那么对新的自然数继续上面的操作，当得到一个一位数为止，现对1,2,3…,1998如此操作,最后得到的一位数是7的数一共有_____个.
3.在1,2,3,4,5,…,59,60这60个数中,第一次从左向右划去奇数位上的数；第二次在剩下的数中，再从左向右划去奇数位上的数；如此继续下去，最后剩下一个数时，这个数是_____.
4.把写有1,2,3,…，25的25张卡片按顺序叠齐，写有1的卡片放在最上面，下面进行这样的操作：把第一张卡片放到最下面，把第二张卡片扔掉；再把第一张卡片放到最下面，把第二张卡片扔掉；…按同样的方法，反复进行多次操作，当剩下最后一张卡片时，卡片上写的是_____.
5.一副扑克共54张,最上面的一张是红桃K.如果每次把最上面的4张牌,移到最下面而不改变它们的顺序及朝向,那么,至少经过_____次移动,红桃K才会出现在最上面.
6.写出一个自然数A,把A的十位数字与百位数字相加,再乘以个位数字,把所得之积的个位数字续写在A的末尾,称为一次操作.
如果开始时A=1999,对1999进行一次操作得到19992，再对19992进行一次操作得到199926，如此进行下去直到得出一个1999位数为止，这个1999位数的各位数字之和是_____.
7.黑板上写有1987个数:1,2,3,…，1986，1987.任意擦去若干个数,并添上被擦去的这些数的和被7除的余数,称为一个操作.如果经过若干次这种操作,黑板上只剩下了两个数,一个是987,那么,另一个数是_____.
8.下图中有5个围棋子围成一圈.现在将同色的两子之间放入一个白子,在异色的两子之间放入一个黑子,然后将原来的5个拿掉,剩下新放入的5个子中最多能有_____个黑子.
9.在圆周上写上数1,2,4然后在每两个相邻的数之间写上它们的和(于是共得到6个数:1,3,2,6,4,5)再重复这一过程5次,圆周上共出现192个数,则所有这些数的和是_____.
10.在黑板上任意写一个自然数,然后用与这个自然数互质并且大于1的最小自然数替换这个数,称为一次操作,那么最多经过_____次操作,黑板上就会出现2.
二、解答题
11．甲盒中放有1993个白球和1994个黑球，乙盒中放有足够多个黑球.现在每次从甲盒中任取两球放在外面,但当被取出的两球同色时,需从乙盒中取出一个黑球放入甲盒；当被取出的两球异色时，便将其中的白球再放回甲盒，这样经过3985次取、放之后，甲盒中剩下几个球？各是什么颜色的球？
12．如图是一个圆盘，中心轴固定在黑板上，开始时，圆盘上每个数字所对应的黑板处均写着0，然后转动圆盘，每次可以转动的任意整数倍，圆盘上的四个数将分别正对着黑板上写数的位置.将圆盘上的数加到黑板上对应位置的数上,问:经过若干次后,黑板上的四个数是否可能都是1999?
13.有三堆石子,每次允许由每堆中拿掉一个或相同数目的石子(每次这个数目不一定相同),或由任一堆中取一半石子(如果这堆石子是偶数个)放入另外任一堆中,开始时三堆石子数分别为1989,989,89.如按上述方式进行操作,能否把这三堆石子都取光?如行,请设计一种取石子的方案,如不行,说明理由.
14.如图,圆周上顺次排列着1、2、3、……、12这十二个数，我们规定：相邻的四个数a1、a2、a3、a4顺序颠倒为a4、a3、a2、a1，称为一次“变换”（如：1、2、3、4变为4、3、2、1，又如：11、12、1、2变为2、1、12、11）.能否经过有限次“变换”，将十二个数的顺序变为9、1、2、3、……8、10、11、12（如图）？请说明理由.
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1.71
所剩之数等于原来的七个数之和减6,故这个数是(8+9+10+11+12+13+14)-6=71.
2.50
每次操作都不改变袋中所有数之和除以100的余数,所以最后一张纸片上的数等于1~99的和除以100的余数.
(1+2+…+99)100=100
=4950100
=49100+50
故这张纸片上的数是50.
3.4次；40次.
当排列顺序为1,2,3,4,5,10,6,7,8,9时,交换次数最少,需交换4次；当排列顺序为9，8，7，6，5，10，4，3，2，1时，交换次数最多，需交换40次.
4.3
一个整数被9除的余数等于它的各位数字之和被9除的余数,如果这个整数不是9的倍数,就可以根据这一点来确定题目要求的一位数.
(1+2+…+9)3+110+210被9除余3，可见最终得到的一位数是3.
5.20,20,20,20,20,或19,20,20,20,21
或19,19,20,21,21.
仿例2，5个数的差距会越来越小，最后最大与最小数最多差2.最终的5个数可能是20，20，20，20，20，或者19，20，20，20，21或19，19，20，21，21.
6.1
变换中的两个数,它们的最大公约数始终末变,是后得到的两个相同的数即为它们的最大公约数.因为1024=210,而11…1
20个1
没有质因子2，它们是互质的.所以最后得到的两个相同的数是1.
4
事实上,在第一次删节之后.留下的皆为原数中处于偶数位
置上的数；在第二次删节之后，留下的数在原数中所处的位置可被4整除；如此等等.于是在第八次删节之后,原数中只留下处于第28k=256k号位置上的数,这样的数在所给的450位数中只有一个,即第256位数.由于256=928+4,所以该数处于第29组“123456789”中的第4个位置上.即为4.
8.1731
第1次操作得数字串711131131737；
第2次操作得数字串11133173；
第3次操作得数字串111731；
第4次操作得数字串1173；
第5次操作得数字串1731第6次操作得数字串7311；
第7次操作得数字串3117；
第8次操作得数字串1173；
以下以4为周期循环，即4k次操作均为1173.
1996=4499,所以第1996次操作得数字串1173,因此第1997次操作得数字串1731.
9.
每一次黑三角形个数为整个的,所以5次变换为=
10.3
卡片上的数字之和除以17的余数始终不变.
(1+2+3+…+135)17=918017=540.
(19+97)17=11617=6……14，
因为黄色卡片上的数都小于17，所以黄色卡片上的数是17-14=3.
11.对1980的连续变换中,每个数都不大于1980+1991=3971,所以在3971步之内必定会出现重复,对其它的数作连续变换也会如此.
12.如图,用字母a,b,c,d,e,f,g,h,I代表9个方格内的数字,0代表偶数.
abcb+da+e+cb+fg+cb+ha+i
defa+e+gd+b+h+fc+e+id+f0d+f
ghid+hg+e+ih+fa+ib+hg+c
d+f+b+hg+c+a+ib+h+d+f000
g+c+a+i0g+c+a+i000
d+f+b+ha+I+g+cb+h+d+f000
可见经过四次操作后,所有九个方格中的数全变为偶数.
13.每次操作都是在相邻的两格,我们将相邻的两格染上不同的颜色(如右下图),因为每次操作总是一个黑格与一个白格同时加1或减1,所以无论进行多少次操作,白格内的数字之和减去黑格内的数字之和总是常数.由原题左图知这个常数是8,再由原题右图可得(A+7)-8=8,由此解得A=9.
14.1997次
将第一列中的每一格都按一次,则除第一列外,每格的灯都只改变一次状态,由不亮变亮.而第一列每格的灯都改变1997次状态,由不亮变亮.
如果少于1997次,则至少有一列和至少有一行没有被按过,位于这一列和这一行相交处的灯保持原状,即不亮的状态.
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1.48
每操作一次,两个数的差减少6,经(612-324)6=48次操作后两个数相等.
2.222
由于操作后所得到的数与原数被9除所得的余数相同,因此操作最后为7的数一定是原数除以9余7的数,即7,16,25,…，1996，一共有（1996-7）9+1=222（个）
3．32
第一次操作后，剩下2,4,6,…,60这30个偶数；
第二次操作后，剩下4,8,12,…,60这15个数（都是4的倍数）；
第三次操作后，剩下8,16,24,…,56这7个数（都是8的倍数）；
第四次操作后，剩下16,32,48这3个数；
第五次操作后，剩下一个数,是32.
4.19
第一轮操作,保留1,3,5,…，25共13张卡片；
第二轮保留3,7,11,15,19,23这6张卡片；
第三轮保留3,11,19这3张卡片；
接着扔掉11,3；
最后剩下的一张卡片是19.
5.27次
因为[54,4]=108,所以移动108张牌,又回到原来的状况.又因为每次移动4张牌,所以至少移动1084=27(次).
6.66
按照操作的规则,寻找规律知,A=1999时得到的1999位数为:1999266864600…0.其各位数字和为1+9+9+9+2+6+6+8+6+4+6=66
7.0
黑板上的数的和除以7的余数始终不变.
(1+2+3+…+1987)(7=282154
又1+2+3+…+1987==1987994=19871427是7的倍数.
所以黑板上剩下的两个数之和为7的倍数.
又987=7141是7的倍数,所以剩下的另一个数也应是7的倍数,又这个数是某些数的和除以7的余数,故这个数只能是0.
8.4个
提示:因为5个子不可能黑白相间,所以永远不会得到5个全是黑子.
9.5103
记第i次操作后,圆周上所有数的和为ai,依题意,得
ai+1=2ai+ai=3ai.
又原来三数的和为a0=1+2+4=7,所以a1=3a0=21,a2=3a1=63,
a3=3a2=189,a4=3a3=567,a5=3a4=1701,a6=3a5=5103,即所有数的和为5103.
10.2
如果写的是奇数,只需1次操作；如果写的是大于2的偶数，经过1次操作变为奇数，再操作1次变为2.
11.由操作规则知，每次操作后，甲盒中球数减少一个，因此经过3985次操作后，甲盒中剩下1993+1994-3985=2个球.
每次操作白球数要么不变,要么减少2个.因此,每次操作后甲盒中白球数的奇偶性不变；即白球数为奇数.因此最后剩下的2个球中,白球1个,故另一个必为黑球.
12.每次加上的数之和是1+2+3+4=10,所以黑板上的四个数之和永远是10的整数倍.因此,无论如何操作,黑板上的四个数不可能都是1999.
13.要把三堆石子都取光是不可能的.
按操作规则,每次拿出去的石子总和是3的倍数,即不改变石子总数被3除的余数.而1989+989+89=3067被3除余1,三堆石子取光时总和被3除余0.所以,三堆石子都取光是办不到的.
14.能
解：如上图所示，经过两次变换，10、11、12三个数被顺时针移动了两个位置.仿此,再经过3次这样的两次变换,10、11、12三个数又被顺时针移动了六个位置，变为下图，图中十二个数的顺序符合题意.
111111111111A111
0
0
1
0
0
2
3
4
·
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
·
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
·
10
11
12
1
2
·
10
11
12
1
2
·
10
11
12
2
1
·
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
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