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高考数学常考知识点之概率与统计

 家有学子 2013-07-03

概率与统计

考试内容:

抽样方法.总体分布的估计.
数学探索?版权所有www.delve.cn总体期望值和方差的估计.
数学探索?版权所有www.delve.cn考试要求:
数学探索?版权所有www.delve.cn(1)了解随机抽样了解分层抽样的意义,会用它们对简单实际问题进行抽样.
数学探索?版权所有www.delve.cn(2)会用样本频率分布估计总体分布.
数学探索?版权所有www.delve.cn(3)会用样本估计总体期望值和方差.

§12. 概率与统计  知识要点

、随机变量.

1. 随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件:

试验可以在相同的情形下重复进行;试验的所有可能结果是明确可知的,并且不止一个;每次试验总是恰好出现这些结果中的一个,但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果.

它就被称为一个随机试验.

2. 离散型随机变量:如果对于随机变量可能取的值,可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量.ξ是一个随机变量,ab是常数.也是一个随机变量.一般地,若ξ是随机变量,是连续函数或单调函数,则也是随机变量.也就是说,随机变量的某些函数也是随机变量.

设离散型随机变量ξ可能取的值为:

ξ取每一个值的概率,则表称为随机变量ξ的概率分布,简称ξ的分布列.

P

有性质;  .

注意:若随机变量可以取某一区间内的一切值,这样的变量叫做连续型随机变量.例如:可以取05之间的一切数,包括整数、小数、无理数.

3. 二项分布:如果在一次试验中某事件发生的概率是P,那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是:[其中]  

于是得到随机变量ξ的概率分布如下:我们称这样的随机变量ξ服从二项分布,记作Bn·p),其中np为参数,并记.

二项分布的判断与应用.

二项分布,实际是对n次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行n次独立重复,且每次试验只有两种结果,如果不满足此两条件,随机变量就不服从二项分布.

当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小,而每次抽取时又只有两种试验结果,此时可以把它看作独立重复试验,利用二项分布求其分布列.

4. 几何分布:表示在第k次独立重复试验时,事件第一次发生,如果把k次试验时事件A发生记为,事A不发生记为,那么.根据相互独立事件的概率乘法分式:于是得到随机变量ξ的概率分布列.

1

2

3

k

P

qp 

我们称ξ服从几何分布,并记,其中

5. 超几何分布:一批产品共有N件,其中有MMN)件次品,今抽取件,则其中的次品数ξ是一离散型随机变量,分布列为.〔分子是从M件次品中取k件,从N-M件正品中取n-k件的取法数,如果规定,则k的范围可以写为k=01n.

超几何分布的另一种形式:一批产品由 a件次品、b件正品组成,今抽取n件(1≤n≤a+b),则次品数ξ的分布列为.

超几何分布与二项分布的关系.

设一批产品由a件次品、b件正品组成,不放回抽取n件时,其中次品数ξ服从超几何分布.若放回式抽取,则其中次品数的分布列可如下求得:把个产品编号,则抽取n次共有个可能结果,等可能:个结果,故,即.[我们先为k个次品选定位置,共种选法;然后每个次品位置有a种选法,每个正品位置有b种选法可以证明:当产品总数很大而抽取个数不多时,,因此二项分布可作为超几何分布的近似,无放回抽样可近似看作放回抽样.

、数学期望与方差.

1. 期望的含义:一般地,若离散型随机变量ξ的概率分布为

P

则称ξ的数学期望或平均数、均值.数学期望又简称期望.数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平.

2. 随机变量的数学期望: 

时,,即常数的数学期望就是这个常数本身.

时,,即随机变量ξ与常数之和的期望等于ξ的期望与这个常数的和.

时,,即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积.

ξ

0

1

P

q

p

单点分布:其分布列为:

两点分布:,其分布列为:(p + q = 1

二项分布: 其分布列为.(P为发生的概率)

几何分布:  其分布列为.(P为发生的概率)

3.方差、标准差的定义:当已知随机变量ξ的分布列为时,则称ξ的方差显然,故ξ的根方差或标准差.随机变量ξ的方差与标准差都反映了随机变量ξ取值的稳定与波动,集中与离散的程度.越小,稳定性越高,波动越小.

4.方差的性质.

随机变量的方差.ab均为常数)

ξ

0

1

P

q

p

单点分布: 其分布列为

两点分布: 其分布列为:(p + q = 1

二项分布:

几何分布:   

5. 期望与方差的关系.

如果都存在,则

ξ是互相独立的两个随机变量,则

期望与方差的转化:    (因为为一常数).

、正态分布.基本不列入考试范围

1.密度曲线与密度函数:对于连续型随机变量ξ,位于x轴上方,ξ落在任一区间内的概率等于它与x.直线与直线所围成的曲边梯形的面积

(如图阴影部分)的曲线叫ξ的密度曲线,以其作为

图像的函数叫做ξ的密度函数,由于

是必然事件,故密度曲线与x轴所夹部分面积等于1.

2. 正态分布与正态曲线:如果随机变量ξ的概率密度为:为常数,且),称ξ服从参数为的正态分布,用表示.的表达式可简记为,它的密度曲线简称为正态曲线.

正态分布的期望与方差:若,则ξ的期望与方差分别为:.

正态曲线的性质.

曲线在x轴上方,与x轴不相交.

曲线关于直线对称.

时曲线处于最高点,当x向左、向右远离时,曲线不断地降低,呈现出中间高、两边低的钟形曲线.

时,曲线上升;当时,曲线下降,并且当曲线向左、向右两边无限延伸时,以x轴为渐近线,向x轴无限的靠近.

一定时,曲线的形状由确定,越大,曲线越矮胖”.表示总体的分布越分散;越小,曲线越瘦高,表示总体的分布越集中.

3. 标准正态分布:如果随机变量ξ的概率函数为,则称ξ服从标准正态分布求出,而Pa≤b)的计算则是.

注意:当标准正态分布的X0时,有X取大于0的数时,有.比如必然小于0,如图.  

正态分布与标准正态分布间的关系:若ξ的分布函数通

常用表示,且有

4.“3原则.

假设检验是就正态总体而言的,进行假设检验可归结为如下三步:提出统计假设,统计假设里的变量服从正态分布.确定一次试验中的取值是否落入范围.做出判断:如果,接受统计假设. 如果,由于这是小概率事件,就拒绝统计假设.

“3原则的应用若随机变量ξ服从正态分布则 ξ落在内的概率为99.7% 亦即落在之外的概率为0.3%,此为小概率事件,如果此事件发生了,就说明此种产品不合格(即ξ不服从正态分布).

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