矩阵的基本运算 §3.1 加和减 如矩阵A和B的维数相同,则A+B与A-B表示矩阵A与B的和与差.对应位置相加减 A= B= 1 2 3 1 4 7 4 5 6 2 5 8 7 8 0 3 6 0 C =A+B返回: C = 2 6 10 6 10 14 10 14 0 如果运算对象是个标量(即1×1矩阵),可和其它矩阵进行加减运算.例如: x= -1 y=x-1= -2 0 -1 2 1 §3.2矩阵乘法 §3.2.1 矩阵的普通乘法矩阵乘法用“ * ”符号表示,当A矩阵列数与B矩阵的行数相等时,二者可以进行乘法运算,否则是错误的.计算方法和线性代数中所介绍的完全相同. i行与j列个数字依次相乘之和为结果的“Aij” 在Matlab中有两种矩阵除法符号:“\”即左除和“/”即右除.如果A矩阵是非奇异方阵,则A\B是A的逆矩阵乘B,即inv(A)*B;而B/A是B乘A的逆矩阵,即B*inv(A).具体计算时可不用逆矩阵而直接计算.通常:x=A\B就是A*x=B的解; x=B/A就是x*A=B的解. 当B与A矩阵行数相等可进行左除.如果A是方阵,用高斯消元法分解因数.解方程:A*x(:, j)=B(:, j),式中的(:, j)表示B矩阵的第j列,返回的结果x具有与B矩阵相同的阶数,如果A是奇异矩阵将给出警告信息. 如果A矩阵不是方阵,可由以列为基准的Householder正交分解法分解,这种分解法可以解决在最小二乘法中的欠定方程或超定方程,结果是m×n的x矩阵.m是A矩阵的列数,n是B矩阵的列数.每个矩阵的列向量最多有k个非零元素,k 是A的有效秩. 右除B/A可由B/A=(A'\B')'左除来实现. §3.4矩阵乘方 A^P意思是A的P次方.如果A是一个方阵,P是一个大于1的整数,则A^P表示A的P次幂,即A自乘P次.如果P不是整数,计算涉及到特征值和特征向量的问题,如已经求得:[V,D]=eig(A),则: A^P=V*D.^P/V(注:这里的.^表示数组乘方,或点乘方,参见后面的有关介绍) 如果B是方阵, a是标量,a^B就是一个按特征值与特征向量的升幂排列的B次方程阵. 如果a和B都是矩阵,则a^B是错误的 §3.5 矩阵的超越函数 在Matlab中解释exp(A)和sqrt(A)时曾涉及到级数运算,此运算定义在A的单个元素上. Matlab可以计算矩阵的超越函数,如矩阵指数、矩阵对数等. 一个超越函数可以作为矩阵函数来解释,例如将“m”加在函数名的后边而成expm(A)和sqrtm(A),当Matlab运行时,有下列三种函数定义: expm 矩阵指数 logm 矩阵对数 sqrtm 矩阵开方 所列各项可以加在多种m文件中或使用funm.请见应用库中sqrtm.m,1ogm.m,funm.m文件和命令手册. §3.6数组运算 数组运算由线性代数的矩阵运算符“*”、“/”、“\”、“^”前加一点来表示,即为“.*”、“./”、“.\”、“.^”.注意没有“.+”、“.-”运算 §3.6.1数组的加和减 对于数组的加和减运算与矩阵运算相同,所以“+”、“-”既可被矩阵接受又可被数组接受. §3.6.2数组的乘和除 数组的乘用符号.*表示,如果A与B矩阵具有相同阶数,则A.*B表示A和B单个元素之间的对应相乘.例如 x=[1 2 3]; y=[ 4 5 6]; 计算z=x.*y 结果z=4 10 18 数组的左除(.\)与数组的右除(./),由读者自行举例加以体会. §3.6.3 数组乘方 数组乘方用符号.^表示. 例如:键入: x=[ 1 2 3] y=[ 4 5 6] 则z=x.^y=[1^4 2^5 3^6]=[1 32 729] (1) 如指数是个标量,例如x.^2,x同上,则: z=x.^2=[1^2 2^2 3^2]=[ 1 4 9] (2) 如底是标量,例如2 .^[x y] ,x、y同上,则: z=2 .^[x y]=[2^1 2^2 2^3 2^4 2^5 2^6]=[2 4 8 16 32 64] 从此例可以看出Matlab算法的微妙特性,虽然看上去与其它乘方没什么不同,但在2和“.”之间的空格很重要,如果不这样做,解释程序会把“.”看成是2的小数点. Matlab看到符号“^”时,就会当做矩阵的幂来运算,这种情况就会出错,因为指数矩阵不是方阵. §3.7 矩阵函数 Matlab的数学能力大部分是从它的矩阵函数派生出来的,其中一部分装入Matlab本身处理中,它从外部的Matlab建立的M文件库中得到,还有一些由个别的用户为其自己的特殊的用途加进去的.其它功能函数在求助程序或命令手册中都可找到.手册中备有为Matlab提供数学基础的LINPACK和EISPACK软件包,提供了下面四种情况的分解函数或变换函数: (1)三角分解;(2)正交变换;(3) 特征值变换;(4)奇异值分解. §3.7.1三角分解 最基本的分解为“LU”分解,矩阵分解为两个基本三角矩阵形成的方阵,三角矩阵有上三角矩阵和下三角矩阵.计算算法用高斯变量消去法. 从lu函数中可以得到分解出的上三角与下三角矩阵,函数inv得到矩阵的逆矩阵,det得到矩阵的行列式.解线性方程组的结果由方阵的“\”和“/”矩阵除法来得到. 例如: 4 5 6 7 8 0] LU分解,用Matlab的多重赋值语句 得出 L =
U =
注:L是下三角矩阵的置换,U是上三角矩阵的正交变换,分解作如下运算,检测计算结果只需计算L*U即可. 求逆由下式给出: x=inv(A) x =
从LU分解得到的行列式的值是精确的,d=det(U)*det(L)的值可由下式给出: 27 直接由三角分解计算行列式:d=det(L)*det(U) 27.0000 为什么两种d的显示格式不一样呢? 当Matlab做det(A)运算时,所有A的元素都是整数,所以结果为整数.但是用LU分解计算d时,L、U的元素是实数,所以Matlab产生的d也是实数. 例如:线性联立方程取 b=[ 1 3 5] 解Ax=b方程,用Matlab矩阵除得到 结果x= 0.3333 0.0000 由于A=L*U,所以x也可以有以下两个式子计算:y=L\b,x=U\y.得到相同的x值,中间值y为: 5.0000 0.2857 0.0000 Matlab中与此相关的函数还有rcond、chol和rref.其基本算法与LU分解密切相关.chol函数对正定矩阵进行Cholesky分解,产生一个上三角矩阵,以使R'*R=X.rref用具有部分主元的高斯-约当消去法产生矩阵A的化简梯形形式.虽然计算量很少,但它是很有趣的理论线性代数.为了教学的要求,也包括在Matlab中. §3.7.2正交变换 “QR”分解用于矩阵的正交-三角分解.它将矩阵分解为实正交矩阵或复酉矩阵与上三角矩阵的积,对方阵和长方阵都很有用. 4 5 6 7 8 9 10 11 12] 是一个降秩矩阵,中间列是其它二列的平均,我们对它进行QR分解: Q =
R =
可以验证Q*R就是原来的A矩阵.由R的下三角都给出0,并且R(3,3)=0.0000,说明矩阵R与原来矩阵A都不是满秩的. 下面尝试利用QR分解来求超定和降秩的线性方程组的解. 例如: 3 5 7] 讨论线性方程组Ax=b,我们可以知道方程组是超定的,采用最小二乘法的最好结果是计算x=A\b. 结果为: Warning: Rank deficient, rank = 2 tol = 1.4594e-014 x = 0.5000 0 0.1667 我们得到了缺秩的警告.用QR分解法计算此方程组分二个步骤: x=R\y 求出的y值为 y =
x的结果为 Warning: Rank deficient, rank = 2 tol = 1.4594e-014 x = 0.5000 0 0.1667 用A*x来验证计算结果,我们会发现在允许的误差范围内结果等于b.这告诉我们虽然联立方程Ax=b是超定和降秩的,但两种求解方法的结果是一致的.显然x向量的解有无穷多个,而“QR”分解仅仅找出了其中之一. §3.7.3奇异值分解 在Matlab中三重赋值语句 [U,S,V]=svd(A) 在奇异值分解中产生三个因数: A=U*S*V ' U矩阵和V矩阵是正交矩阵,S矩阵是对角矩阵,svd(A)函数恰好返回S的对角元素,而且就是A的奇异值(其定义为:矩阵A'*A的特征值的算术平方根).注意到A矩阵可以不是方的矩阵. 奇异值分解可被其它几种函数使用,包括广义逆矩阵pinv(A)、秩rank(A)、欧几里德矩阵范数norm(A,2)和条件数cond(A). §3.7.4 特征值分解 如果A是n×n矩阵,若l满足Ax=lx,则称l为A的特征值,x为相应的特征向量. 函数eig(A)返回特征值列向量,如果A是实对称的,特征值为实数.特征值也可能为复数,例如: -1 0] 产生结果 0 + 1.0000i 0 - 1.0000i 如果还要求求出特征向量,则可以用eig(A)函数的第二个返回值得到: [x,D]=eig(A) D的对角元素是特征值.x的列是相应的特征向量,以使A*x=x*D. 计算特征值的中间结果有两种形式: Hessenberg形式为hess(A),Schur形式为schur(A). schur形式用来计算矩阵的超越函数,诸如sqrtm(A)和logm(A). 如果A和B是方阵,函数eig(A,B)返回一个包含一般特征值的向量来解方程 Ax=lBx 双赋值获得特征向量 [X,D]=eig(A,B) 产生特征值为对角矩阵D.满秩矩阵X的列相应于特征向量,使A*X=B*X*D,中间结果由qz(A,B)提供 §3.7.5秩 Matlab计算矩阵A的秩的函数为rank(A),与秩的计算相关的函数还有:rref(A)、orth(A)、null(A)和广义逆矩阵pinv(A)等. 利用rref(A),A的秩为非0行的个数.rref方法是几个定秩算法中最快的一个,但结果上并不可靠和完善.pinv(A)是基于奇异值的算法.该算法消耗时间多,但比较可靠.其它函数的详细用法可利用Help求助.
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