第21届全国中学生物理竞赛复赛题参考解答
一、开始时U形管右管中空气的体积和压强分别为
V2=HA （1）
p2=p1
经过2小时，U形管右管中空气的体积和压强分别为
（2）
（3）
渗透室下部连同U形管左管水面以上部分气体的总体积和压强分别为
（4）
（5）
式中??为水的密度，可知，经过2小时，薄膜下部增加的空气的摩尔数
（6）
在2个小时内，通过薄膜渗透过去的分子数
（7）
式中NA为阿伏伽德罗常量．
渗透室上部空气的摩尔数减少，压强下降．下降了?p
（8）
经过2小时渗透室上部分中空气的压强为
（9）
测试过程的平均压强差
（10）
根据定义，由以上各式和有关数据，可求得该薄膜材料在0℃时对空气的透气系数
（11）
评分标准：
本题20分．(1)、(2)、(3)、(4)、(5)式各1分，(6)式3分，(7)、(8)、(9)、(10)式各2分，(11)式4分．
二、如图，卫星绕地球运动的轨道为一椭圆，地心位于轨道椭圆的一个焦点O处，设待测量星体位于C处．根据题意，当一个卫星运动到轨道的近地点A时，另一个卫星恰好到达远地点B处，只要位于A点的卫星用角度测量仪测出AO和AC的夹角?1，位于B点的卫星用角度测量仪测出BO和BC的夹角?2，就可以计算出此时星体C与地心的距离OC．
因卫星椭圆轨道长轴的长度
(1)
式中r近、与r远分别表示轨道近地点和远地点到地心的距离．由角动量守恒
(2)
式中m为卫星的质量．由机械能守恒
(3)
已知
，
得 (4)
所以 (5)
在△ABC中用正弦定理
(6)
所以 (7)
地心与星体之间的距离为，在△BOC中用余弦定理
(8)
由式(4)、(5)、(7)得
(9)
评分标准：
本题20分．(1)式2分，(2)、(3)式各3分，(6)、(8)式各3分，(9)式6分．
三、因?子在相对自身静止的惯性系中的平均寿命
根据时间膨胀效应，在地球上观测到的?子平均寿命为?， (1)
代入数据得
?=1.4×10－5s (2)
相对地面，若?子到达地面所需时间为t，则在t时刻剩余的?子数为
(3)
根据题意有
(4)
对上式等号两边取e为底的对数得
(5)
代入数据得
(6)
根据题意，可以把?子的运动看作匀速直线运动，有
(7)
代入数据得
(8)
评分标准：
本题15分．(1)式或(2)式6分，(4)式或(5)式4分，(7)式2分，(8)式3分．
四、1．考虑到使3个点光源的3束光分别通过3个透镜都成实像于P点的要求，组合透镜所在的平面应垂直于z轴，三个光心O1、O2、O3的连线平行于3个光源的连线，O2位于z轴上，如图1所示．图中表示组合透镜的平面，、、为三个光束中心光线与该平面的交点．＝u就是物距．根据透镜成像公式
(1)
可解得
因为要保证经透镜折射后的光线都能全部会聚于P点，来自各光源的光线在投射到透镜之前不能交叉，必须有2utan?≤h即u≤2h．在上式中取“－”号，代入f和L的值，算得
≈1.757h (2)
此解满足上面的条件．
分别作3个点光源与P点的连线．为使3个点光源都能同时成像于P点，3个透镜的光心O1、O2、O3应分别位于这3条连线上（如图1）．由几何关系知，有
(3)
即光心O1的位置应在之下与的距离为
(4)
同理，O3的位置应在之上与的距离为0.146h处．由(3)式可知组合透镜中相邻薄透镜中心之间距离必须等于0.854h，才能使S1、S2、S3都能成像于P点．
2．现在讨论如何把三个透镜L1、L2、L3加工组装成组合透镜．
因为三个透镜的半径r=0.75h，将它们的光心分别放置到O1、O2、O3处时，由于＝＝0.854h<2r，透镜必然发生相互重叠，必须对透镜进行加工，各切去一部分，然后再将它们粘起来，才能满足(3)式的要求．由于对称关系，我们只需讨论上半部分的情况．
图2画出了L1、L2放在平面内时相互交叠的情况（纸面为平面）．图中C1、C2表示L1、L2的边缘，、为光束中心光线与透镜的交点，W1、W2分别为C1、C2与O1O2的交点．
为圆心的圆1和以（与O2重合）为圆心的圆2分别是光源S1和S2投射到L1和L2时产生的光斑的边缘，其半径均为
(5)
根据题意，圆1和圆2内的光线必须能全部进入透镜．首先，圆1的K点（见图2）是否落在L1上？由几何关系可知
(6)
故从S1发出的光束能全部进入L1．为了保证全部光束能进入透镜组合，对L1和L2进行加工时必须保留圆1和圆2内的透镜部分．
下面举出一种对透镜进行加工、组装的方法．在O1和O2之间作垂直于O1O2且分别与圆1和圆2相切的切线和．若沿位于和之间且与它们平行的任意直线对透镜L1和L2进行切割，去掉两透镜的弓形部分，然后把它们沿此线粘合就得到符合所需组合透镜的上半部．同理，对L2的下半部和L3进行切割，然后将L2的下半部和L3粘合起来，就得到符合需要的整个组合透镜．这个组合透镜可以将S1、S2、S3发出的全部光线都会聚到P点．
现在计算和的位置以及对各个透镜切去部分的大小应符合的条件．设透镜L1被切去部分沿O1O2方向的长度为x1，透镜L2被切去部分沿O1O2方向的长度为x2，如图2所示，则对任意一条切割线，x1、x2之和为
（7）
由于必须在和之间，从图2可看出，沿切割时，x1达最大值(x1M)，x2达最小值(x2m)，
代入r，??和的值，得
(8)
代入(7)式，得
(9)
由图2可看出，沿切割时，x2达最大值(x2M)，x1达最小值(x1m)，
代入r和??的值，得
(10)
（11）
由对称性，对L3的加工与对L1相同，对L2下半部的加工与对上半部的加工相同．
评分标准：
本题20分．第1问10分，其中（2）式5分，（3）式5分，
第2问10分，其中(5)式3分，(6)式3分，(7)式2分，(8)式、(9)式共1分，(10)式、(11)式共1分．
如果学生解答中没有(7)—(11)式，但说了“将图2中三个圆锥光束照射到透镜部分全部保留，透镜其它部分可根据需要磨去（或切割掉）”给3分，再说明将加工后的透镜组装成透镜组合时必须保证O1O2=O1O2=0.854h，再给1分，即给(7)—(11)式的全分（4分）．
五、1．解法Ⅰ：
如图1所示，S为原空腔内表面所在位置，的位置应位于的延长线上的某点B1处，的位置应位于的延长线上的某点B2处．设A1为S面上的任意一点，根据题意有
(1)
(2)
怎样才能使(1)式成立呢？下面分析图1中与的关系．
若等效电荷的位置B1使下式成立，即
(3)
即 (4)
则
有 (5)
由(1)式和(5)式便可求得等效电荷
(6)
由(3)式知，等效电荷的位置B1到原球壳中心位置O的距离
(7)
同理，B2的位置应使，用类似的方法可求得等效电荷
(8)
等效电荷的位置B2到原球壳中心O位置的距离
(9)
解法Ⅱ：
在图1中，设，，．根据题意，和两者在A1点产生的电势和为零．有
（1＇）
式中
（2＇）
（3＇）
由（1＇）、（2＇）、（3＇）式得
（4＇）
（4＇）式是以为变量的一次多项式，要使（4＇）式对任意均成立，等号两边的相应系数应相等，即
（5＇）
（6＇）
由（5＇）、（6＇）式得
（7＇）
解得 （8＇）
由于等效电荷位于空腔外部，由（8＇）式求得 （9＇）
由（6＇）、（9＇）式有 （10＇）
考虑到（1＇）式，有 （11＇）
同理可求得 （12＇）
（13＇）
2．A点的位置如图2所示．A的电势由q1、、q2、共同产生，即
(10)
因
代入(10)式得
(11)
评分标准：
本题20分．第1问18分，解法Ⅰ中(1)、(2)、(6)、(7)、(8)、(9)式各3分．解法Ⅱ的评分可参考解法Ⅰ．
第2问2分，即(11)式2分．
六、令I表示题述极短时间?t内挡板对C冲量的大小，因为挡板对C无摩擦力作用，可知冲量的方向垂直于DE，如图所示；表示B、C间的杆对B或C冲量的大小，其方向沿杆方向，对B和C皆为推力；表示?t末了时刻C沿平行于DE方向速度的大小，表示?t末了时刻B沿平行于DE方向速度的大小，表示?t末了时刻B沿垂直于DE方向速度的大小．由动量定理，
对C有
(1)
(2)
对B有
(3)
对AB有
(4)
因为B、C之间的杆不能伸、缩，因此B、C沿杆的方向的分速度必相等．故有
(5)
由以上五式，可解得
(6)
评分标准：
本题20分．(1)、(2)、(3)、(4)式各2分．(5)式7分，(6)式5分．
七、解法Ⅰ：
当金属杆ab获得沿x轴正方向的初速v0时，因切割磁力线而产生感应电动势，由两金属杆与导轨构成的回路中会出现感应电流．由于回路具有自感系数，感应电流的出现，又会在回路中产生自感电动势，自感电动势将阻碍电流的增大，所以，虽然回路的电阻为零，但回路的电流并不会趋向无限大，当回路中一旦有了电流，磁场作用于杆ab的安培力将使ab杆减速，作用于cd杆的安培力使cd杆运动．
设在任意时刻t，ab杆和cd杆的速度分别为v1和v2（相对地面参考系S），当v1、v2为正时，表示速度沿x轴正方向；若规定逆时针方向为回路中电流和电动势的正方向，则因两杆作切割磁力线的运动而产生的感应电动势
(1)
当回路中的电流i随时间的变化率为时，回路中的自感电动势
(2)
根据欧姆定律，注意到回路没有电阻，有
(3)
金属杆在导轨上运动过程中，两杆构成的系统受到的水平方向的合外力为零，系统的质心作匀速直线运动．设系统质心的速度为VC，有
(4)
得
(5)
VC方向与v0相同，沿x轴的正方向．
现取一新的参考系，它与质心固连在一起，并把质心作为坐标原点，取坐标轴与x轴平行．设相对系，金属杆ab的速度为u，cd杆的速度为，则有
(6)
(7)
因相对系，两杆的总动量为零，即有
(8)
由(1)、(2)、(3)、(5)、(6)、(7)、(8)各式，得
(9)
在系中，在t时刻，金属杆ab坐标为，在t＋?t时刻，它的坐标为，则由速度的定义
(10)
代入(9)式得
(11)
若将视为i的函数，由（11）式知为常数，所以与i的关系可用一直线方程表示
(12)
式中b为常数，其值待定．现已知在t＝?时刻，金属杆系中的坐标＝，这时i=0，故得
(13)
或 (14)
表示t＝?时刻金属杆表示在任意时刻t，杆ab的位置，故就是杆 (15)
当X>0时，ab杆位于其初始位置的右侧；当X<0时，ab杆位于其初始位置的左侧．代入(14)式，得
(16)
这时作用于ab杆的安培力
(17)
ab杆在初始位置右侧时，安培力的方向指向左侧；ab杆在初始位置左侧时，安培力的方向指向右侧，可知该安培力具有弹性力的性质．金属杆ab的运动是简谐振动，振动的周期
(18)
在任意时刻t，ab杆离开其初始位置的位移
(19)
A为简谐振动的振幅，??为初相位，都是待定的常量．通过参考圆可求得 (20)
(19)、(20)式分别表示任意时刻ab杆离开初始位置的位移和运动速度．现已知在t＝0时刻，ab杆位于初始位置，即
X=0
速度
故有
解这两式，并注意到(18)式得
(21)
(22)
由此得ab杆的位移
（23）
由(15)式可求得ab杆在系中的位置
(24)
因相对质心，任意时刻ab杆和cd杆都在质心两侧，到质心的距离相等，故在系中，cd杆的位置
(25)
相对地面参考系S，质心以的速度向右运动，并注意到（18）式，得ab杆在地面参考系中的位置
(26)
cd杆在S系中的位置
（27）
回路中的电流由(16)式得
(28)
解法Ⅱ：
当金属杆在磁场中运动时，因切割磁力线而产生感应电动势，回路中出现电流时，两金属杆都要受到安培力的作用，安培力使ab杆的速度改变，使cd杆运动．设任意时刻t，两杆的速度分别为v1和v2（相对地面参考系S），若规定逆时针方向为回路电动势和电流的正方向，则由两金属杆与导轨构成的回路中，因杆在磁场中运动而出现的感应电动势为
(1’)
令u表示ab杆相对于cd杆的速度，有
(2’)
当回路中的电流i变化时，回路中有自感电动势EL，其大小与电流的变化率成正比，即有
(3’)
根据欧姆定律，注意到回路没有电阻，有
由式(2’)、(3’)两式得
(4’)
设在t时刻，金属杆ab相对于cd杆的距离为，在t＋?t时刻，ab相对于cd杆的距离为＋，则由速度的定义，有
(5’)
代入()式得
(6’)
若将视为i的函数，由(6’)式可知，为常量，所以与i的关系可以用一直线方程表示，即
(7’)
式中b为常数，其值待定．现已知在t＝?时刻，金属杆，这时i=0，故得
(8’)
或 (9’)
表示t＝?时刻金属杆表示在任意时刻t时ab杆就是杆?时刻的相对位置的位移，即从t＝?到杆 (10'')
于是有
(11’)
任意时刻t，ab杆和cd杆因受安培力作用而分别有加速度aab和acd，由牛顿定律有
(12’)
(13’)
两式相减并注意到()式得
(14’)
式中为金属杆ab相对于cd杆的加速度，而X是ab杆相对cd杆相对位置的位移．是常数，表明这个相对运动是简谐振动，它的振动的周期
(15’)
在任意时刻t，ab杆相对cd杆相对位置相对它们初始位置的位移
(16’)
A为简谐振动的振幅，??为初相位，都是待定的常量．通过参考圆可求得随时间的变化率即速度 (17’)
现已知在t＝0时刻，杆位于初始位置，即X=0，速度
故有
解这两式，并注意到(15’)式得
由此得
(18’)
因t=0时刻，cd杆位于x=0处，ab杆位于x=x0处，两者的相对位置由x0表示；设t时刻，cd杆位于x=xcd处，ab杆位于x=xab处，两者的相对位置由xab－xcd表示，故两杆的相对位置的位移又可表示为
X=xab－xcd－x0 (19’)
所以
(20’)
(12’)和(13’)式相加,
得
由此可知，两杆速度之和为一常数即v0，所以两杆的位置xab和xcd之和应为
xab＋xcd=x0＋v0t (21’)
由(20’)和(21’)式相加和相减，注意到(15’)式，得
（22’）
（23’）
由(11’)、（19’）(22’)、(23’)式得回路中电流
（24’）
评分标准：本题25分．
解法Ⅰ求得(16)式8分，(17)、(18)、(19)三式各2分．(23)式4分，(24)、(25)二式各2分，(26)、(27)、(28)三式各1分．
解法Ⅱ的评分可参照解法Ⅰ评分标准中的相应式子给分．
12
C
?1
O
B
A
A1
M
M’
图1
O3
O2(S2’)
O1
S3’
h
h
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N’
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Q’
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W2
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O2(S2’)
S1’
h
0.439h
0.439h
0.854h
0.146h
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