2005年高考数学（广东卷）试题及答案
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择）题两部分，满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上用2B铅笔将答题卡试卷类型（A）填涂在答题卡上在答题卡右上角的“试室号”和“座位号”栏填写试室号、座位号，并用2B铅笔将相应的试室号、座位号信息点涂黑
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答的答案无效
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)
如果事件A、B相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B)
第Ⅰ卷（选择题，共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若集合，则M∩N= （）
A．{3} B．{0} C．{0，2} D．{0，3}
2．若，其中a、b∈R，i是虚数单位，则= （）
A．0 B．2 C． D．5
3．= （）
A． B．0 C． D．
4．已知高为3的直棱柱ABC—A′B′C′的底面是边长为1的正三
角形（如图1所示），则三棱锥B′—ABC的体积为（）
A． B．
C． D．
5．若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则m=（）
A． B． C． D．
6．函数是减函数的区间为 （）
A． B． C． D．（0，2）
7．给出下列关于互不相同的直线m、l、n和平面α、β的四个命题：
①若；
②若m、l是异面直线，；
③若；
④若
其中为假命题的是 （）
A．① B．② C．③ D．④
8．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6），骰子朝上的面的点数分别为X、Y，则的概率为（）
A． B． C． D．
9．在同一平面直角坐标系中，函数和的图象关于直线对称.现将的图象沿轴向左平移2个单位，再沿轴向上平移1个单位，所得的图象是由两条线段组成的折线（如图2所示），则函数的表达式为（）
A．
B．
C．
D．
10．已知数列（）
A． B．3 C．4 D．5
第Ⅱ卷（非选择题共100分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
11．函数的定义域是.
12．已知向量则x=.
13．已知的展开式中的系数与的展开式中x3的系数相等，则=
.
14．设平面内有n条直线（n≥3），其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点.若用表示这n条直线交点的个数，则=；当n>4时，
=.（用n表示）
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（本小题满分12分）
化简并求函数的值域和最小正周期.
16．（本小题满分14分）
如图3所示，在四面体P—ABC中，已知PA=BC=6，PC=AB=10，AC=8，PB=.F是线段PB上一点，，点E在线段AB上，且EF⊥PB.
（Ⅰ）证明：PB⊥平面CEF；
（Ⅱ）求二面角B—CE—F的大小.
17．（本小题满分14分）
在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足AO⊥BO（如图4所示）.
（Ⅰ）求△AOB的重心G（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；
（Ⅱ）△AOB的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.
18．（本小题满分12分）
箱中装有大小相同的黄、白两种颜色的乒乓球，黄、白乒乓球的数量比为s:t.现从箱中每次任意取出一个球，若取出的是黄球则结束，若取出的是白球，则将其放回箱中，并继续从箱中任意取出一个球，但取球的次数最多不超过n次，以ξ表示取球结束时已取到白球的次数.
（Ⅰ）求ξ的分布列；
（Ⅱ）求ξ的数学期望.
19．（本小题满分14分）
设函数，且在闭区间[0，7]上，只有
（Ⅰ）试判断函数的奇偶性；
（Ⅱ）试求方程在闭区间[－2005，2005]上的根的个数，并证明你的结论.
20．（本小题满分14分）
在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB、AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合（如图5所示）.将矩形折叠，使A点落在线段DC上.
（Ⅰ）若折痕所在直线的斜率为k，试写出折痕所在直线的方程；
（Ⅱ）求折痕的长的最大值.
2005年高考数学（广东卷）试题及答案
参考答案
选择题
1B2D3A4D5B6D7C8C9A10B
填空题
11.{x|x<0}12.413.14.5,
解答题
15．解：
函数f(x)的值域为;
函数f(x)的周期；
16．（I）证明：∵
∴△PAC是以∠PAC为直角的直角三角形，同理可证
△PAB是以∠PAB为直角的直角三角形，△PCB是以∠PCB为直角的直角三角形
故PA⊥平面ABC
又∵
而
故CF⊥PB,又已知EF⊥PB
∴PB⊥平面CEF
（II）由（I）知PB⊥CE,PA⊥平面ABC
∴AB是PB在平面ABC上的射影，故AB⊥CE
在平面PAB内，过F作FF1垂直AB交AB于F1，则FF1⊥平面ABC，
EF1是EF在平面ABC上的射影，∴EF⊥EC
故∠FEB是二面角B—CE—F的平面角
二面角B—CE—F的大小为
17．解：（I）设△AOB的重心为G(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),则…（1）
∵OA⊥OB∴,即，……(2)
又点A，B在抛物线上，有，代入（2）化简得
∴
所以重心为G的轨迹方程为
（II）
由（I）得
当且仅当即时，等号成立
所以△AOB的面积存在最小值，存在时求最小值1；
18．解：(I)ξ的可能取值为：0,1,2,…,n
ξ的分布列为
ξ 0 1 2 … n-1 n p … (II)的数学希望为
…(1)
…(2)
－(2)得
19.解:由
,
又,
，
故函数是非奇非偶函数;
(II)由
又
故f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有有两个解,
从而可知函数在[0,2005]上有402个解,在[-2005.0]上有400个解,
所以函数在[-2005,2005]上有802个解
20.解(I)（1）当时,此时A点与D点重合,折痕所在的直线方程
（2）当时，将矩形折叠后A点落在线段CD上的点为G(a,1)
所以A与G关于折痕所在的直线对称，有
故G点坐标为
从而折痕所在的直线与OG的交点坐标（线段OG的中点）为
折痕所在的直线方程，即
由（1）（2）得折痕所在的直线方程为：
k=0时，；时
（II）(1)当时，折痕的长为2;
当时,折痕所在的直线与坐标轴的交点坐标为
令解得∴
所以折痕的长度的最大值2
2006年高考数学广东卷（理科）
第一部分选择题（共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1、函数的定义域是
A.B.C.D.
2、若复数满足方程，则
A.B.C.D.
3、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是
A.B.C.D.
4、如图1所示，是的边上的中点，则向量
A.B.
C.D.
5、给出以下四个命题：
①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行，
②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面
③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行，
④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.
其中真命题的个数是
A.4B.3C.2D.1
6、已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为
A.5B.4C.3D.2
7、函数的反函数的图像与轴交于点（如图2所示），则方程在上的根是
A.4B.3C.2D.1
8、已知双曲线，则双曲线右支上的点到右焦点的距离与点到右准线的距离之比等于
A.B.C.2D.4
9、在约束条件下，当时，目标函数的最大值的变化范围是
A.B.C.D.
10、对于任意的两个实数对和，规定：，
当且仅当；运算“”为：
；运算“”为：，设，若，则
A.B.C.D.
第二部分非选择题（共100分）
二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.
11、________.
12、棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______.
13、在的展开式中，的系数为________.
14、在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第堆第层就放一个乒乓球，以表示第堆的乒乓球总数，则；（答案用表示）.
三解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15、(本题14分)已知函数.
(I)求的最小正周期；
(II)求的的最大值和最小值；
(III)若，求的值.
16、(本题12分)某运动员射击一次所得环数的分布如下：
7 8 9 10 0 现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为.
(I)求该运动员两次都命中7环的概率
(II)求的分布列
(III)求的数学期望.
17、(本题14分)如图5所示，、分别世、的直径，与两圆所在的平面均垂直，.是的直径，,.
(I)求二面角的大小；
(II)求直线与所成的角.
18、(本题14分)设函数分别在处取得极小值、极大值.平面上点的坐标分别为、，该平面上动点满足,点是点关于直线的对称点.求
(I)求点的坐标；
(II)求动点的轨迹方程.
19、(本题14分)已知公比为的无穷等比数列各项的和为9，无穷等比数列各项的和为.
(I)求数列的首项和公比；
(II)对给定的，设是首项为，公差为的等差数列，求的前10项之和；
(III)设为数列的第项，，求，并求正整数，使得存在且不等于零.
（注：无穷等比数列各项的和即当时该无穷等比数列前项和的极限）
20、(本题12分)是定义在上且满足如下条件的函数组成的集合：①对任意的，都有；②存在常数，使得对任意的，都有.
(I)设，证明：
(II)设，如果存在，使得，那么这样的是唯一的；
(III)设，任取，令，，证明：给定正整数，对任意的正整数，成立不等式
参考答案
第一部分选择题（50分）
1、函数的定义域是
A.B.C.D.
1、解：由，故选B.
2、若复数满足方程，则
A.B.C.D.
2、由，故选D.
3、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是
A.B.C.D.
3、B在其定义域内是奇函数但不是减函数;C在其定义域内既是奇函数又是增函数;D在其定义域内不是奇函数,是减函数;故选A.
4、如图1所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量
A.B.
C.D.
4、，故选A.
5、给出以下四个命题
①如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的一个平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行;
②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面;
③如果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线互相平行;
④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么些两个平面互相垂直.
其中真命题的个数是
A.4B.3C.2D.1
5、①②④正确，故选B.
6、已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是
A.5B.4C.3D.2
6、，故选C.
7、函数的反函数的图象与y轴交于点(如图2所示)，则方程的根是
A.4B.3C.2D.1
7、的根是2，故选C
8、已知双曲线,则双曲线右支上的点P到右焦点的距离与点P到右准线的距离之比等于
A.B.C.2D.4
8、依题意可知，，故选C.
9、在约束条件下，当时，
目标函数的最大值的变化范围是
A.B.C.D.
9、由交点为，
当时可行域是四边形OABC，此时，
当时可行域是△OA此时，
故选D.
10、对于任意的两个实数对（a,b）和(c,d),规定（a,b）＝(c,d)当且仅当a＝c,b＝d;运算“”为：，运算“”为：，设，若
则
A.B.C.D.
10、由得,
所以,故选B.
第二部分非选择题（100分）
二、填空题
11、
11、
12、若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为
12、
13、在的展开式中，的系数为
13、
所以的系数为
14、在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干准“正三棱锥”形的展品，其中第一堆只有一层，就一个乒乓球；第2、3、4、…堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放.从第一层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以表示第n堆的乒乓球总数，则；（答案用n表示）.
14、10，
三、解答题
15、（本小题满分14分）
已知函数
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）求的最大值和最小值；
（Ⅲ）若，求的值.
15解：
（Ⅰ）的最小正周期为;
（Ⅱ）的最大值为和最小值；
（Ⅲ）因为，即,即
16、（本小题满分12分）
某运动员射击一次所得环数X的分布列如下：
X 0-6 7 8 9 10 Y 0 0.2 0.3 0.3 0.2 现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为.
(Ⅰ)求该运动员两次都命中7环的概率；
(Ⅱ)求分布列；
(Ⅲ)求的数学希望.
16解：(Ⅰ)求该运动员两次都命中7环的概率为；
(Ⅱ)的可能取值为7、8、9、10
分布列为
7 8 9 10 P 0.04 0.21 0.39 0.36 (Ⅲ)的数学希望为.
17、（本小题满分14分）
如图5所示，AF、DE分别是⊙O、⊙O1的直径.AD与两圆所在的平面均垂直，AD＝8,BC是⊙O的直径，AB＝AC＝6，OE//AD.
(Ⅰ)求二面角B—AD—F的大小；
(Ⅱ)求直线BD与EF所成的角.
17、解：(Ⅰ)∵AD与两圆所在的平面均垂直,
∴AD⊥AB,AD⊥AF,故∠BAD是二面角B—AD—F的平面角，
依题意可知，ABCD是正方形，所以∠BAD＝450.
即二面角B—AD—F的大小为450；
(Ⅱ)以O为原点，BC、AF、OE所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系（如图所示），则O（0，0，0），A（0，，0），B（，0，0）,D（0，，8），E（0，0，8），F（0，，0）
所以，
设异面直线BD与EF所成角为，则
直线BD与EF所成的角为
18、（本小题满分14分）
设函数分别在、处取得极小值、极大值.平面上点A、B的坐标分别为、,该平面上动点P满足,点Q是点P关于直线的对称点.求(Ⅰ)点A、B的坐标；
(Ⅱ)动点Q的轨迹方程
18解:(Ⅰ)令解得
当时,,当时,,当时,
所以,函数在处取得极小值,在取得极大值,故,
所以,点A、B的坐标为.
(Ⅱ)设，，
，所以，又PQ的中点在上，所以
消去得
19、（本小题满分14分）
已知公比为的无穷等比数列各项的和为9，无穷等比数列各项的和为.
(Ⅰ)求数列的首项和公比；
(Ⅱ)对给定的,设是首项为，公差为的等差数列.求数列的前10项之和；
(Ⅲ)设为数列的第项，，求，并求正整数，使得
存在且不等于零.
(注：无穷等比数列各项的和即当时该无穷数列前n项和的极限)
19解:(Ⅰ)依题意可知,
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,所以数列的的首项为,公差,
,即数列的前10项之和为155.
(Ⅲ)===，
，=
当m=2时，=－，当m>2时，=0，所以m=2
20、（本小题满分12分）
A是由定义在上且满足如下条件的函数组成的集合：①对任意，都有；②存在常数，使得对任意的，都有
（Ⅰ）设，证明：
(Ⅱ)设,如果存在,使得,那么这样的是唯一的;
(Ⅲ)设,任取,令证明:给定正整数k,对任意的正整数p,成立不等式
解：对任意,,,,所以
对任意的，，
，所以0<
,令=，，
所以
反证法:设存在两个使得,则
由，得，所以，矛盾，故结论成立。
，所以
+…
2007年广东卷数学（理科）
参考公式：锥体的体积公式，其中是锥体的底面积，是锥体的高．
如果事件互斥，那么．
如果事件相互独立，那么．
用最小二乘法求线性回归方程系数公式，，.
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分
1．已知函数的定义域，的定义域为，则=（）A． B． C． D．
2．若复数是纯虚数（是虚数单位，是实数），则（）
A．2 B． C． D．
3．若函数，则是（）
A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的奇函数
C．最小正周期为的偶函数 D．最小正周期为的偶函数
4．客车从甲地以60km/h的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km/h的速度匀速行驶1小时到达内地．下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路程与时间之间关系的图象中，正确的是（）
5．已知数列的前项和，第项满足，则（）
A．9 B．8 C．7 D．6
6．图1是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为（如表示身高（单位：cm）在内的学生人数）．
图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160～180cm（含160cm，不含180cm）的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是（）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
7．图3是某汽车维修公司的维修点环形分布图．公司在年初分配给四个维修点某种配件各50件．在使用前发现需将四个维修点的这批配件分别调整为，，，件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么要完成上述调整，最少的调动件次（件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为）为（）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
8．设是至少含有两个元素的集合，在上定义了一个二元运算“”（即对任意的，对于有序元素对（），在中有唯一确定的元素与之对应）．若对任意的，有，则对任意的，下列等式中不恒成立的是（）
A． B．
C． D．
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中13~15题是选做题，考生只能选做二题，三题全答的，只计算前两题得分．
9．甲、乙两个袋中装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其中甲袋装有4个红球，2个白球，乙袋装有1个红球，5个白球．现分别从甲、乙两袋中各随机取出一个球，则取出的两球是红球的概率为．（答案用分数表示）
10．若向量满足，与的夹角为，则．
11．在平面直角坐标系中，有一定点，若线段的垂直平分线过抛物线的焦点，则该抛物线的准线方程是．
12．如果一个凸多面体是棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有条，这些直线中共有对异面直线，则；．（答案用数字或的解析式表示）
13．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（参数），圆的参数方程为（参数），则圆的圆心坐标为，圆心到直线的距离为．
14．（不等式选讲选做题）设函数，则；若，则的取值范围是．
15．（几何证明选讲选做题）如图5所示，圆的直径，为圆周上一点，．过作圆的切线，过作的垂线，分别与直线、圆交于点，则，线段的长为．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．
16．（12分）已知顶点的直角坐标分别为，，．
（1）若，求的值；
（2）若是钝角，求的取值范围．
17．（12分）下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨标准煤）的几组对照数据．
3 4 5 6 2.5 3 4 4.5 （1）请画出上表数据的散点图；
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；
（3）已知该厂技改前吨甲产品的生产能耗为吨标准煤．试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？
（参考数值：）
18．（14分）在平面直角坐标系，已知圆心在第二象限、半径为的圆与直线相切于坐标原点．椭圆与圆的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为．
（1）求圆的方程；
（2）试探究圆上是否存在异于原点的点，使到椭圆右焦点的距离等于线段的长，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
19．（14分）如图6所示，等腰的底边，高，点是线段上异于点的动点，点在边上，且，现沿将折起到的位置，使，记，表示四棱锥的体积．
（1）求的表达式；（2）当为何值时，取得最大值？
（3）当取得最大值时，求异面直线与所成角的余弦值．
20．（14分）已知是实数，函数，如果函数在区间上有零点，求取值范围．
21．（14分）
已知函数，是方程的两个根（），是的导数，设，．
（1）求的值；（2）证明：对任意的正整数，都有；
（3）记，求数列的前项和．
2007年（广东卷）数学（理科B）参考答案
一．选择题CDDCBBCA
1．故选（C）
2．为纯虚数，故选（D）
3．故选（D）
4．，故选（C）
5．，k=8，（或5＜2k－10＜8）故选（B）
6．计算，由算法框图知，故选（B）
7．11件，4件，1件，共16件，故选（C）
8．当时，又；
，故选（A）
二．填空题
9．
10．
11．线段的垂直平分线方程为准线方程
12．；12；
13．参数方程化普通方程得直线方程为，圆的方程为
因此圆心为，圆心到直线的距离为
14．；
三．解答题
16．（1）当时，
（2）,为钝角
17．（1）（略）
（2），，，
，故现线性回归方程为
（3）当时，，，故预测生产吨甲产品的生产能耗比技改前降低吨标准煤。
18．（1）显然圆心的坐标为，故圆的方程为
（2）由题意知，椭圆的长轴长为，椭圆的右焦点，若圆上存在点,使得，则点圆与圆的交点，由
或，所以，此时满足题意，故圆上存在点符合题目要求。
19．（1）又，平面且，，四棱锥的底面积为
，
（2），时，时，在上增，在上减，故在时，取最大值为
（3）过作交于，则是直线与所成角且是等腰三角形，由（2）知
在，所以异面直线与所成角的余弦值为
20．（1）当时，
（2）当时，
①在上有惟一解，则
②在上有两解，则或，
综上，所求的取值范围为
21．（1），
（2），，，
，易证
①当时，
②假设时命题成立，即，则当时
所以时命题也成立
由①②可知
（3）由（2）知，是公比为2，首项为的等比数列，其前项的和为
绝密★启用前试卷类型B
2008年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）
数学（理科）
本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号（或题组号）对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．
5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
参考公式：如果事件互斥，那么．
已知是正整数，则．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知，复数的实部为，虚部为1，则的取值范围是（）
A． B． C． D．
2．记等差数列的前项和为，若，，则（）
A．16 B．24 C．36 D．48
一年级 二年级 三年级 女生 373 男生 377 370 3．某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表1．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（C）
A．24 B．18 C．16 D．12 表1
4．若变量满足则的最大值是（）
A．90 B．80 C．70 D．40
5．将正三棱柱截去三个角（如图1所示分别是三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（）
6．已知命题所有有理数都是实数，命题正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（）
A． B． C． D．
7．设，若函数，有大于零的极值点，则（）
A． B． C． D．
8．在平行四边形中，与交于点是线段的中点，的延长线与交于点．若，，则（）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．
（一）必做题（9~12题）
9．阅读图3的程序框图，若输入，，则输出
，．
（注：框图中的赋值符号“”也可以写成“”或“”）
10．已知（是正整数）的展开式中，的系数小于
120，则．
11．经过圆的圆心，且与直线垂直的直线方程是．
12．已知函数，，则的最小正周期是．
二、选做题（13—15题，考生只能从中选做两题）
13．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线的极坐标方程分别为，，则曲线与交点的极坐标为．
14．（不等式选讲选做题）已知，若关于的方程有实根，则的取值范围是．
15．（几何证明选讲选做题）已知是圆的切线，切点为，．是圆的直径，与圆交于点，，则圆的半径．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分13分）
已知函数，的最大值是1，其图像经过点．
（1）求的解析式；
（2）已知，且，，求的值．
17．（本小题满分13分）
随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润（单位：万元）为．
（1）求的分布列；
（2）求1件产品的平均利润（即的数学期望）；
（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为，一等品率提高为．如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？
18．（本小题满分14分）
设，椭圆方程为，抛物线方程为．如图4所示，过点作轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为，已知抛物线在点的切线经过椭圆的右焦点．
（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；
（2）设分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点，使得为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．
19．（本小题满分14分）
设，函数，，，试讨论函数的单调性．
20．（本小题满分14分）
如图5所示，四棱锥的底面是半径为的圆的内接四边形，其中是圆的直径，，，垂直底面，，分别是上的点，且，过点作的平行线交于．
（1）求与平面所成角的正弦值；
（2）证明：是直角三角形；
（3）当时，求的面积．
21．（本小题满分12分）
设为实数，是方程的两个实根，数列满足，，（…）．
（1）证明：，；
（2）求数列的通项公式；
（3）若，，求的前项和．
绝密★启用前试卷类型B
2008年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)
数学(理科)参考答案
一、选择题：CDCCADBB
1．C【解析】，而，即，
2．D【解析】，，故
3．C【解析】依题意我们知道二年级的女生有380人，那么三年级的学生的人数应该是，即总体中各个年级的人数比例为，故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为
4．C5．A
6．D【解析】不难判断命题为真命题，命题为假命题，从而上述叙述中只有为真命题
7．B【解析】，若函数在上有大于零的极值点，即有正根。当有成立时，显然有，此时，由我们马上就能得到参数的范围为。
8．B
二、填空题：
9．【解析】要结束程序的运算，就必须通过整除的条件运算，而同时也整除，那么的最小值应为和的最小公倍数12，即此时有。
10．【解析】按二项式定理展开的通项为，我们知道的系数为，即，也即，而是正整数，故只能取1。
11．【解析】易知点C为，而直线与垂直，我们设待求的直线的方程为，将点C的坐标代入马上就能求出参数的值为，故待求的直线的方程为。
12．【解析】，故函数的最小正周期。
二、选做题（13—15题，考生只能从中选做两题）
13．【解析】由解得，即两曲线的交点为。
14．
15．【解析】依题意，我们知道,由相似三角形的性质我们有,即。
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．解：（1）依题意有，则，将点代入得，而，，，故；
（2）依题意有，而，
，
。
17．解：（1）的所有可能取值有6，2，1，-2；，
，
故的分布列为：
6 2 1 -2 0.63 0.25 0.1 0.02 （2）
（3）设技术革新后的三等品率为，则此时1件产品的平均利润为
依题意，，即，解得
所以三等品率最多为
18．解：（1）由得，
当得，G点的坐标为，
，，
过点G的切线方程为即，
令得，点的坐标为，
由椭圆方程得点的坐标为，即，
即椭圆和抛物线的方程分别为和；
（2）过作轴的垂线与抛物线只有一个交点,
以为直角的只有一个，同理以为直角的只有一个。
若以为直角，设点坐标为，、两点的坐标分别为和，
。
关于的二次方程有一大于零的解，有两解，即以为直角的有两个，
因此抛物线上存在四个点使得为直角三角形。
19．解：，
对于，
当时，函数在上是增函数；
当时，函数在上是减函数，在上是增函数；
对于，
当时，函数在上是减函数；
当时，函数在上是减函数，在上是增函数。
20．解：（1）在中，
，
而PD垂直底面ABCD，
,
在中，,即为以为直角的直角三角形。
设点到面的距离为,
由有,
即，
;
(2),而,
即,，,是直角三角形；
（3）时,,
即,
的面积
21．解：（1）由求根公式，不妨设，得
，
（2）设，则，由
得，，消去，得，是方程的根，
由题意可知，
①当时，此时方程组的解记为
即、分别是公比为、的等比数列，
由等比数列性质可得,,
两式相减，得
，，
，
，即，
②当时，即方程有重根，，
即，得，不妨设，由①可知
，，
即，等式两边同时除以，得，即
数列是以1为公差的等差数列，
综上所述，
（3）把，代入，得，解得
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一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。学科网
1.巳知全集，集合和的关系的韦恩（）图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有学科网学科网
2.设是复数，表示满足的最小正整数，则对虚数单位，学科网学科网
3.若函数是函数（且）的反函数，其图像经过点，则学科网学科网
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4.已知等比数列满足，且，则当时，学科网学科网
5.给定下列四个命题：学科网学科网
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；学科网学科网
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；学科网学科网
③垂直于同一直线的两条直线相互平行；学科网学科网
科网6.一质点受到平面上的三个力，，（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知成角，且，的大小分别为２和４，则的大小为学科网学科网
7.2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有学科网学科网
36种12种18种48种学科网
2
8.已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线〈假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为和（如图2所示）．那么对于图中给定的和，下列判断中一定正确的是学科网学科网
在时刻，甲车在乙车前面学科网学科网
时刻后，甲车在乙车后面学科网学科网
在时刻，两车的位置相同学科网学科网
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。学科网
（一）必做题（９～１２题）学科网学科网
9.随机抽取某产品件，测得其长度分别为，则图3所示的程序框图输出的，表示的样本的数字特征是。（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”“=”）学科网
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10.若平面向量，满足，平行于轴，，则。学科网
学
11.已知椭圆的中心在坐标原点，长轴在轴上，离心率为，且上一点到的两个焦点的距离之和为12，则椭圆的方程为。学科网
12.已知离散型随机变量的分布列如右表．若，，则，。学科网
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（二）选做题（13~15题，考生只能从中选做两题）学科网
13.（坐标系与参数方程选做题）若直线（为参数）与直线（为参数）垂直，则。学科网
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14.（不等式选讲选做题）不等式的实数解为。学科网
15.(几何证明选讲选做题）如图4，点是圆上的点，且，则圆的面积等于。
三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。
16.已知向量互相垂直，其中。
（1）求的值；
（2）若，求的值。
17.根据空气质量指数API（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表:
对某城市一年（365天）的空气质量进行监测，获得API数据按照区间进行分组，得到频率分布直方图如图5
（1）求直方图中的值；
（2）计算一年屮空气质量分别为良和轻微污染的天数；
（3）求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的概率。(结果用分数表示．已知
故一年屮空气质量分别为良和轻微污染的天数（天）
【考点描述】概率与统计。
18.如图６，已知正方体的棱长为２，点Ｅ是正方形的中心，点Ｆ、Ｇ分别是棱的中点。设点分别是点Ｅ、Ｇ在平面内的正投影。
（１）求以Ｅ为顶点，以四边形在平面内的正投影为底面边界的棱锥的体积；
（２）证明：直线；
（３）求异面直线所成角的正弦值。
19.已知曲线与直线交于两点和，且．记曲线在点和点之间那一段与线段所围成的平面区域（含边界）为。设点是上的任一点，且点与点和点均不重合。
（１）若点是线段的中点，试求线段的中点的轨迹方程；
（２）若曲线与有公共点，试求的最小值。
得极小值。设。
（１）若曲线上的点到点的距离的最小值为，求的值；
（２）如何取值时，函数存在零点，并求出零点。
21.已知曲线。从点向曲线引斜率为的切线，切点为。
（１）求数列的通项公式；
（２）证明：。
绝密★启用前
2010年普通高等学校招生全国统一考试（广东A卷）
数学（理科）
一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合A={-2＜＜1}，B={0＜＜2}则集合A?∩??B=
A.{-1＜＜1}B.{-2＜＜1}
C.{-2＜＜2}D.{0＜＜1}
2.若复数z1=1+i，z2=3-i，则z1·z2=
A．4B.2+iC.2+2iD.3
3．若函数f（x）=3x+3-x与g（x）=3x-3-x的定义域均为R，则
A．f（x）与g（x）均为偶函数B.f（x）为偶函数，g（x）为奇函数
A．f（x）与g（x）均为奇函数B.f（x）为奇函数，g（x）为偶函数
4.4.已知为等比数列，Sn是它的前n项和。若，且与2的等差中项为，则=w_ww.ks_5u.co_m
A．35B.33C.31D.29
5.“”是“一元二次方程”有实数解“的
A．充分非必要条件B.充分必要条件
C．必要非充分条件D.非充分必要条件
6.如图1，△ABC为三角形，//?//?,?⊥平面ABC?且3===AB,则多面体△ABC-的正视图（也称主视图）是
ABCDw_ww.ks_5u.co_m
7已知随机变量X服从正态分布N(3.1)，且p(2?≤X?≤4)=0.6826，则p（X>4）=
A、0.1588B、0.1587C、0.1586D0.1585
8.为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定，每个彩灯彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯商量的颜色各不相同
。记这这5个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁，在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5妙。如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是
A、1205秒B.1200秒C.1195秒D.1190秒
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。
（一）必做题（9-13题）w_ww.ks_5u.co_m
9.函数=lg(-2)的定义域是.
10.若向量=（1,1,x）,=(1,2,1),=(1,1,1),满足条件=-2,则=.
11.已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边，若a=1,b=,A+C=2B,则sinC=.
12.已知圆心在x轴上，半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x+y=0相切，则圆O的方程是w_ww.ks_5u.co_m
13.某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查，其中n位居民的月均用水量分别为x1…xn(单位：吨)，根据图2所示的程序框图，若n=2,且x1，x2分别为1,2，则输出地结果s为.w_ww.ks_5u.co_m
14、（几何证明选讲选做题）如图3，AB，CD是半径为a的圆O的两条弦，它们相交于AB的中点P，PD=，∠OAP=30°，则CP＝______.w_ww.ks_5u.co_m
?
15、（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系（ρ，θ）（0?≤?θ<2π）中，曲线ρ=?与?的交点的极坐标为______。?
三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。
16、（本小题满分14分）
已知函数在时取得最大值4
(1)???求f(x)的最小正周期；
(2)???求f(x)的解析式；
(3)???若f(α?+)=,求sinα???w_ww.ks_5u.co_m
17.(本小题满分12分)
某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随即抽取该流水线上40件产品作为样本算出他们的重量（单位：克）重量的分组区间为（490,，（495,，……（510,，由此得到样本的频率分布直方图，如图4所示。
（1） 根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量。
（2） 在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为重量超过505克的产品数量，求Y的分布列。
（3） 从流水线上任取5件产品，求恰有2件产品合格的重量超过505克的概率。
18.（本小题满分14分）w_ww.ks_5u.co_m
如图5，是半径为a的半圆，AC为直径，点E为的中点，点B和点C为线段AD的三等分点。平面AEC外一点F满足FB=FD=a，FE=a
图5
（1） 证明：EB⊥FD；
（2）已知点Q,R分别为线段FE,FB上的点，使得BQ=FE,FR=FB,求平面BED与平面RQD所成二面角的正弦值。
19.（本小题满分12分）
某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐。已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物6个单位蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.
如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐？
w_ww.ks_5u.co_m
20．（本小题满分为14分）
一直双曲线的左、右顶点分别为A1,A2，点，是双曲线上不同的两个动点
（1） 求直线A与A2Q交点的轨迹E的方程式；
（2） 若点H(O,h)（h>1）的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点，且,求h的值。
21．（本小题满分14分）
设A(),B()是平面直角坐标系xOy上的两点，先定义由点A到点B的一种折线距离p(A,B)为w_ww.ks_5u.co_m
P(A,B)=+.
对于平面上给定的不同的两点A(),B()
(1) 若点C（x,y）是平面上的点，试证明P+PP;
(2) 在平面上是否存在点C(x,y),同时满足
1. ①P+P=P②P=P
若存在，请求所给出所有符合条件的点；若不存在，请予以证明。
2011年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）
数学（理科）A
本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．
参考公式：柱体体积公式V=Sh,其中S为柱体的底面积，h为柱体的高．
线性回归方程中系数计算公式，其中表示样本均值．
是正整数，则
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．
A．B．C．D．
2．，
A．B．C．D．
3．
A．B．C．D．
4．
A．B．
C．D．
5．
A．B．C．D．
6．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要
再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．
若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为
A．B．C．D．
7．如图1-3，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，
侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为
A．B．C．D．
8．设是整数集的非空子集，如果，有，则称关于数的乘法是封闭的．若是的两个不相交的非空子集,,且,有；,有,则下列结论恒成立的是
A．中至少有一个关于乘法是封闭的B．中至多有一个关于乘法是封闭的
C．中有且只有一个关于乘法是封闭的D．中每一个关于乘法都是封闭的
二、填空题：本大题共小题．考生作答小题．每小题5分，满分0分．
（一）必做题（～13题）
的解集是．
10．的展开式中的系数是．（用数字作答）
11．等差数列的前9项和等于前4项和，若，则．
12．函数在处取得极小值．
13．某数学老师身高176cm，他爷爷，父亲，儿子的身高分别是173cm,170cm和182cm，因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高是cm．
（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）
（0≤?＜??）和
（t∈R），它们的交点坐标为 ．
15．（几何证明选讲选做题）如图4，过圆外一点P分别做
圆的切线和割线交圆于A,B两点，且PB=7，C是圆上一点使
得BC=5，则AB=．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
．
（1）求的值；
（2）设，，，求的值．
（纯word版2011年高考数学广东卷首发于数学驿站：www．maths168．com）
17．（本小题满分13分）
为了解甲，乙两厂的产品质量，采取分层抽样的方法从甲，乙两厂的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素的含量（单位：毫克）．下表是乙厂的5件产品的测量数据：
编号 1 2 3 4 5 169 178 166 175 180 75 80 77 70 81 已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；
当产品中微量元素满足且时，该产品为优等品．用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；
从乙厂抽出的上述5件产品中，随即抽取2件，求抽出的2件产品中优等品数的分布列及其均值（即数学期望）．
18．（本小题满分13分）
如图5，在锥体P-ABCD中，ABCD是边长为1的菱形，且，，PB=2，E，F分别是BC，PC的中点．
证明：AD⊥平面DEF；
求二面角P-AD-B．
，中的一个内切，另一个外切．
求C的圆心轨迹L的方程；
已知点M（，），F（，0），且P为L上的动点，求的最大值及此时点P的坐标．
20．（本小题满分14分）
设b>0,数列满足,．
求数列的通项公式；
证明：对于一切正整数,．
21．（本小题满分14分）
在平面直角坐标系上，给定抛物线，实数满足，是方程的两根，记．
过点作L的切线交轴于点B．证明：对线段AB上的任一点，有；
设是定点，其中满足．过作L的两条切线，切点分别为，与轴分别交于．线段EF上异于两端点的点集记为X，
证明：；
设，当点取遍D时，求的最小值（记为）和最大值（记为）．
第1页（共69页）
如图1
如图2
如图3
如图4
如图5
图1
图2
图3
图4
…
图5
s(km)
s(km)
s(km)
s(km)
160
160
160
160
140
120
140
120
140
120
140
120
100
100
100
100
80
80
80
80
60
60
60
60
0
0
0
0
0
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
D．
C．
B．
A．
t(h)
t(h)
t(h)
t(h)
图1
图2
开始
输入
结束
否
是
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
550
600
145
150
155
160
165
170
175
180
185
190
195
人数/人
身高/cm
图3
图4
图5
E
F
D
I
A
H
G
B
C
E
F
D
A
B
C
侧视
图1
图2
B
E
A．
B
E
B．
B
E
C．
B
E
D．
开始
n整除a?
是
输入
结束
输出
图3
否
A
y
x
O
B
G
F
F1
图4
F
C
P
G
E
A
B
图5
D
A
y
x
O
B
G
F
F1
图4
F
C
P
G
E
A
B
图5
D
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