每周一计第三计——排列组合问题的解法
解决排列组合问题要讲究策略，用顺口溜概括为：审明题意，排（组）分清；合理分类，用准加乘；周密思考，防漏防重；直接间接，思路可循；元素位置，特殊先行；一题多解，检验真伪。在操作时，针对实际问题，有时“元素优先”，有时“位置优先”。
例1?0、2、3、4、5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有几个？
解法一：(元素优先)分两类：第一类，含00在个位有种，0在十位有种；第二类，不含0有种。故共有＋）＋＝３０种。注：在考虑每一类时，又要优先考虑个位。
解法二：(位置优先)分两类：第一类，0在个位有种；第二类，0不在个位，先从两个偶数中选一个放个位，再选一个放百位，最后考虑十位，有种。???故共有练习：甲、乙、丙、丁、戊、己六位同学选四人组队参加4100m接力赛，其中甲、乙不跑最后一棒，共有多少种不同的安排方法？（此题可有元素优先和位置优先两个角度两种解法，但位置优先则更简单）
（二）．排除法对于含有否定词语的问题，还可以从总体中把不符合要求的除去.
例２=78种．
（三）.相邻问题“捆绑法”
对于某些元素要求相邻排列的问题，可先将相邻元素捆绑成整体并看作一个元素再与其它元素进行排列，同时对相邻元素自排。例3?5个男生3个女生排成一列，要求女生排一起，共有几种排法？解：先把3个女生捆绑为一个整体再与其他5个男生全排列。同时，3个女生自身也应全排列。由乘法原理共有种。例4?5个男生3个女生排成一列，要求女生不相邻且不可排两头，共有几种排法？解：先排无限制条件的男生，女生插在5个男生间的4个空隙，由乘法原理共有种。
注意：①分清“谁插入谁”的问题。要先排的元素，再插入的元素；②数清可插的位置数；③插入时是以组合形式插入还是以排列形式插入要把握准。
例5?马路上有编号为1、2、3、…、9的9盏路灯，现要关掉其中的三盏，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，也不能关两端的路灯，则满足要求的关灯方法有几种？
解：由于问题中有6盏亮3盏暗，又两端不可暗，故可在6盏亮的5个间隙中插入3个暗的即可，有种。
选位不排先在总位置中选出序元素的位置而不参加排列，然后对其它元素进行排列。
例6?5人参加百米跑，若无同时到达终点的情况，则甲比乙先到有几种情况？
解：先在5个位置中选2个位置放定序元素(甲、乙)有种，再排列其它3人有，由乘法原理得共有=60种。
“小团体”排列，先“团体”后整体
对于某些排列问题中的某些元素要求组成“小团体”时，可先按制约条件“组团”并视为一个元素再与其它元素排列。
四名男歌手与两名女歌手联合举行一场演唱会，演出的出场顺序要求两名女歌手之间有两名男歌手，则出场方案有几种？
解：先从四名男歌手中选2人排入两女歌手之间进行“组团”有种，把这个“女男男女”小团体视为1人再与其余2男进行排列有种，由乘法原理，共有例８：7个人坐两排座位，第一排坐3人，第二排坐4人，则有种排法．
解：可以在前后两排随意就座，故两排可以看成一排来处理，所以不同的坐法有．
(八)列举法
如果题中附加条件增多,直接解决困难,用列举法寻找规律有时也是行之有效的方法．
例9：从１到１００的自然数中，每次取出不同的两个数，使他们的和大于１００，则不同的取法有种。
解：此题的数字较多，情况也不一样，需要分析摸索其规律。为方便，两个加数中较小的为被加数，１＋１００＝１０１＞１００，１为被加数的有１种；同理，２为被加数的有２种；３为被加数的有３种；……；４９为被加数的有４９种；５０为被加数的有５０种；但５１为被加数的只有４９种；５２为被加数的只有４８种；……；９９为被加数的只有１种，故不同的区法有：（１＋２＋……５０）＋（４９＋４８＋……＋１）＝２５００种。
（九）元素可重复的排列求幂法。
解决“允许重复排列”的问题要注意区分两类元素：一类元素可重复，另一类元素不能重复。把不能重复的元素看成“客”，能重复的元素看成“店”，再利用分步计数原理直接求解的方法称为“住店法”。
例10：７名学生争夺五项冠军，获得冠军的可能种数是种。
解：应同一学生可同时夺得n项冠军，故学生可重复排列，将７名学生看成７家“店”，五项冠军看成５名“客”，每个客有７种住宿方法，由分步计数原理得Ｎ＝75种。
（十）特征分析法有约束条件的排数问题，必须紧扣题中所提供的数字和结构特征，进行推理，分析求解。
例11：由１、２、３、４、５、６六个数可组成多少个无重复且是６的倍数的五位数？
解：分析数字的特征：６的倍数的数既是２的倍数，又是３的倍数。其中３的倍数又满足“各个数位上的数字之和是３的倍数”的特征。而且１＋２＋……＋６＝２１是３的倍数，从６个数字中取５个，使之和还是３的倍数，则所去掉的数字只能是３或６。因而可以分两类讨论：第一类，所排的五位数不含３，即由１、２、４、５、６作数码；首先从２、４、６三个中任选一个作个位数字有种，然后其余４个数字在其他数位上的全排列有，所以
；第二类，所排的五位数不含6，即由1、2、3、4、5作数码，依上法有
，故种。
（十一）名额分配问题用隔板
例1?10张参观公园的门票分给5个班，每班至少1张，有几种选法？解：这里只是票数而已，与顺序无关，故可把10张票看成10个相同的小球放入5个不同的盒内，每盒至少1球，可先把10球排成一列，再在其中9个间隔中选4个位置插入4块“档板”分成5格(构成5个盒子)有种方法。
注：档板分隔模型专门用来解答同种元素的分配问题。个数不少于盒子编号数，先填满再分隔例13?15个相同的球放入编号为1、2、3的盒子内，盒内球数不少于编号数，有几种不同的放法？
解：先用6个球按编号数“填满”各盒(符合起码要求),再把9个球放入3个盒内即可,可用2块档板与9个球一起排列(即为两类元素的排列问题),有种。不同元素进盒，先分堆再排列
对于不同的元素放入几个不同的盒内，当有的盒内有不小于2个元素时，不可分批进入，必须先分堆再排入。
例?5个老师分配到3个班搞活动，每班至少一个，有几种不同的分法？?解：先把5位老师分3堆，有两类：3、1、1分布有种和1、2、2分布有种，再排列到3个班里有种，故共有。
注意：不同的老师不可分批进入同一个班，须一次到位(否则有重复计数)。即“同一盒内的元素必须一次进入”。
两类元素的排列，用组合选位法例15?10级楼梯，要求7步走完，每步可跨一级，也可跨两级，问有几种不同的跨法？
解：由题意知，有4步跨单级，3步跨两级，所以只要在7步中任意选3步跨两级即可。故有种跨法。
注意：两类元素的排列问题涉及面很广，应予重视。
例16?沿图中的网格线从顶点A到顶点B，最短的路线有几条？解：每一种最短走法，都要走三段“|”线和四段“—”线，这是两类元素不分顺序的排列问题。故有或种走法。例17?从5个班中选10人组成校篮球队(无任何要求)，有几种选法？
解：这个问题与例12有区别，虽仍可看成4块“档板”将10个球分成5格(构成5个盒子)，是球与档板两类元素不分顺序的排列问题。但某些盒子中可能没有球，故4块“档板”与10个球一样也要参与排成一列而占位置，故有种选法。注意：怎样把问题等价转化为“两类元素的排列”问题是解题的关键。
例19：如图，∠AOB的两边分别有异于O的4个点A1、A2、A3、A4i=1,2,3,4，j=1,2,3,4,5∠AOB内？
分析：在∠AOB内相交的两条线段对应一个四边形的两对角线，所以求交点个数问题转化为求四边形个数问题。解：=60
（十六）取鞋问题先双后支
例20：从五双鞋中任取四支，恰有一双的取法有多少种？
解：先从五双中取一双，有种，再从余下4双中选两
双，从每双的两只中选择1支，有。共有种。
（十七）涂色问题抓住关键分类讨论
例21：如图，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有4种不同的花供选择，要求在每块里种一种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为种。
分析：A、C种花是否相同将会影响B、D的可选择种数，因此按照
C种花是否相同进行分类。
解：若A、C种花同，则B、D各自可从余下三种花中选择一种，有
种；若A、C种花不同，则B、D只能从余下两种花中选择，
有。共有+=84种。
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A
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A2
A3
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B2
B3
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B5
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B
C
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