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由“弦的中点”问题所引起的相关问题 一、教学背景分析 1. 教材的地位和作用 本节课选自人教B版选修2－1第二章《圆锥曲线与方程》的第五节《直线与圆锥曲线》．通过对圆锥曲线一章的学习，学生对解析几何的基本思想方法有初步了解，但是对于解决以“直线和圆锥曲线的位置关系”为载体的具体问题的能力还有待提高．以“直线与圆锥曲线的位置关系”为背景的弦的中点及相关问题(如定值、定点问题)，在解决过程中蕴含着丰富的数学思想，可以充分提升学生的运算求解能力, 抽象概括能力,理解能力，拓宽学生在解题方法上的选择空间. 2.学情分析 我所任教学校是北京市示范校，学生基础较好，思维活跃，通过校本课程的学习，学生已经熟练掌握了几何画板的使用． 学习过程中，对于本单元中的“坐标法”，学生只是一种模式的应用，学习方式倾向于模仿接受；同时，仅有一些思维敏捷的学生能够提出问题，可能是学生困惑的问题，也可能是他们自认为有意思的问题，有一些问题甚至超出教师预料之外． 二、教学目标设计 随着新一轮基础教育课程改革的实施，面对社会不断提出的知识创新要求，我国学校教育也开始关注学生的创新意识与潜能的开发，提出问题也已成为我国数学课程的重要组成部分．提出问题可以充分体现出学生对知识的理解与反思，是其终生学习和发展的基础．提出问题在我们的课堂上是如此的少，这些学生是如何提出问题的呢？我们如何处理学生提出问题的机会与时间，让学生能够提出一些有价值的问题呢？ 我国《全日制义务教育数学课程标准》要求学生能够“初步学会从数学的角度提出问题、了解问题，并能综合运用所学知识和技能解决问题，发展应用意识．” 《高中数学课程标准》在高中数学课程总目标中明确地提出：“提高数学地提出、分析和解决问题（包括简单的实际问题）的能力，数学表达和交流的能力，发展独立获取数学知识的能力．” 1．在领会“坐标法”的同时，引导学生发掘知识间的内在联系，明确理解几何对象的本质是实现代数化的基础；帮助学生选择恰当的代数形式（熟练掌握常见的“代数形式”），给出常见求定值、定点问题的方法，拓宽学生在解题方法上的选择空间. 2．通过熟练、合理和简捷的解决定值、定点问题，提高学生的运算求解能力；通过问题的提出与探究，提高学生的抽象概括能力，培养思维的深刻性、灵活性． 3．引导学生自已发现和提出问题，培养学生的问题意识，提高提出问题的能力，培养锲而不舍的求实精神. 教学重点： 1．“直线和圆锥曲线的位置关系”问题中，依据几何条件，选择适当的参变量，确立适当的代数形式，提高学生运算的合理性与简捷性； 2．通过简单圆锥曲线中有关动弦的定值及过定点问题，及对代数推理结果的几何含义的分析，加深学生对解析几何的基本思想方法的理解。 3．引导学生自已发现和提出问题，培养学生的问题意识，提高提出问题的能力． 教学难点： 1．运算的合理性与简捷性的培养． 2．引导学生自已发现和提出问题，培养学生的问题意识，提高提出问题的能力． 课 型：习题课 教学方法及手段：讲授式与启发式相结合，多媒体辅助教学平台． 三、教学过程设计 为了达到以上教学目标，在具体教学中，根据“循序渐进原则”，我计划把本节课分为以下五个阶段．下面我将对每一阶段教学中计划解决的主要问题和教学步骤作出说明． （一） 问题回顾，回归基础 1．本阶段主要任务 ⑴学生利用“坐标法”解决典型的中点弦问题，加深理解解析几何的基本思想方法； ⑵注意学生数学阅读能力的培养．基于培养理解能力之上的数学阅读，必须持之以恒的集中注意力，关注题目中的每一句话． 2．具体教学安排 引言：平面解析几何是一门用代数方法研究几何问题的学科，它主要有两大任务： （1）根据曲线的几何条件，写出它的代数形式；（2）通过曲线的方程讨论它的几何性质. 曲线的几何性质是解析几何研究的核心问题．我们已通过定义、曲线方程的结构及特征、某些特殊的条件、直线与曲线的位置关系进行了部分讨论，解决了如范围、对称性、切线、弦长等性质，今天我们继续来研究一些性质． 引例：定值问题（改编自人教 例1 如图1，不经过原点
⑴ 若点 ⑵ 若点 （二） 归纳、概括，类比，揭示本质 1．本阶段主要任务 ⑴ 由学生归纳出解决定值问题的数学方法，形成新的知识结构，加深学生对已学知识结构“直线与曲线的位置关系”的认识．解决定值问题的数学方法，即选取适当参数（坐标、斜率等基本量），分别表示题目之中的各量，进行一般计算推理，消去参数，求出其结果；或是通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，然后再进行一般性证明或计算，证明该式是恒定的. ⑵使学生充分感悟数学是归纳的，也是演绎的．归纳是演绎的基础，演绎是归纳的升华． 2．具体教学安排 问题⑴ 通过上题两问的处理，你有何想法呢？（感觉呢？） 对于任意地 问题⑵请把本题概括表示为椭圆的一个命题． 命题1 在椭圆
问题⑶ 该命题是否为真命题呢，我们如何解决． 问题⑷ 在前面的学习中是否学习过类似的结论？如图3． 如何把前面的结论从几何与解析的角度重新表述，使其更易揭示其本质？ （三）变式练习，建立联系，阐明内涵，审同辨异 1．本阶段主要任务 学生通过坐标法或性质解决变式练习，从不同的图示增强自身的直观感受，揭示“中点弦”的本质，充分感受到数学中不同的形式，而其本质是相同的． 通过对问题的不断引申，培养学生的问题意识，提高学生的抽象概括能力，提出问题的能力． 2．具体教学安排 练习1（改编自人教 已知 练习2 已知 练习3（改编自人教 已知 问题⑸ 对于练习3，把上面的结论从解析的角度重新表述，使其更易揭示其本质？（图4） 命题2 已知
问题⑹ 本题与椭圆定义的区别是什么？ 你想到了哪些内容？ （选自人教 问题⑺ 与前面引例的联系是什么？ （选自人教 ⑴如果 ⑵如果 问题⑻ 在前面的学习中是否学习过类似的结论？如图5． 把该结论从解析的角度重新表述，使其更易揭示其本质？ （四）类比推理，平台拓展 1．本阶段主要任务 学生深刻感悟前面两组习题，体会圆与椭圆（圆锥曲线）之间的相似性，提出圆锥曲线中的定点问题。学生通过坐标法解决定点问题，理解定点问题，归纳解决定点问题的方法：合理选取参数，求出相应的直线（或曲线），把两个独立参数的直线方程，化归为单参数的真线方程，利用点斜式化为标准形式，从而找出定点；或是通过特殊值法，找到定点，再加以证明，转化为定值问题．其难点在于选择适当的参数及代数形式，准确的将原问题转化，避免因选择的盲目性，造成计算过于复杂. 由学生感悟全称命题的处理方法，体会提出问题的方法及感受提出有效问题的成功感． 2．具体教学安排 问题⑼ 通过前面2组习题，圆与椭圆具有这么多的相似性，你们可以从圆出发，类比得出一些关于椭圆命题？试着写出你的猜想． 问题⑽ “圆周角所对的弦为直径”．在椭圆中是否也成立呢？在其余圆锥曲线中，类似的结论是否也成立呢？
例2（选自人教 过抛物线 求证：弦
问题⑾ 对于题目中的“两条相互垂直的弦 （五）巩固应用，反思提高，形成系统知识结构 1．本阶段主要任务 通过学生对本节的回顾，鼓励学生反思，促使个体认知结构的完善． 2．具体教学安排 ⑴ 板书设计 ⑵ 课堂小结 ①利用直线与曲线相交为载体，明确了三个性质，构建了一个有效的平台； ②解题过程中，坐标法的应用； ③思维能力上，回顾提出问题的能力的方法． ⑶ 作业布置 通过本节课的学习，在本节课的基础之上，试提出两个问题，并尝试解决． 四、教学设计的说明 ⑴ 课堂教学中明确的表示把引导学生自已发现和提出问题作为课堂教学重要而相对独立的环节，把培养学生的问题意识，提出问题的能力作为课堂教学目标． 本节课在解决解析几何中两个基本计算问题之上，先后生成了10个问题．本节课中问题的切入点：椭圆中心与弦中点连线的斜率与弦所在直线的斜率之积相等，通过试验、特殊化、逆向、分类、类比或归纳等多种思维方法提出了新问题．本节课学生提出问题的数量和种类以及问题的新颖性、原创性，可解性等都方面都是非常和谐的，提出的问题合乎要求，具有开放性、并有一定的深度或相当的价值．其中对于提出问题的文字表达简洁和流畅，符号表达准确无误，图形表示规范可以作为学生提出问题能力的评价标准．可以看到，基于提出问题的教学设计中，学生对于上述习题的认知、思考方式发生了变化，即认知空间发生了变化，学生的思维结构，解决问题选择空间也随之得到拓宽，形成了良好的知识结构．学生由开始习惯于教师命题，到最后的独立提出问题，学习观上也得到了改变． ⑵基于提出问题的教学，并不是常规教学之中的变式教学．反映在教学中，通过提出问题，为学生增加尽可能多的数学场景，让学生以类似数学家的活动方式进行数学的再创造，以便在积极参与中掌握探究技能、养成科学态度、形成创新意识．通过这种教学活动，使学生的数学活动回到了人类数学活动的本来面目，也成为培养学生问题意识和创新意识的一种有效途径． ⑶在数学教学中,提出问题有助于教师相关教学观念和行为的改变，提高了教师有关提出问题的教学知识和技能．不仅研究数学问题，教学生怎样解决问题, 而且还学怎么教学生提出问题的知识，促进了教师的反思．如在前面关于圆的教学之中，初中、高中阶段的教学应从哪些点去考虑呢？如何整体思考，才能最大化的给予学生思维提升的空间．
正是：奇思妙计，课堂起新意，提问有法骥可索，巨匠凡夫无异．有意聊胜无意，诱发哪抵自发．梅香苦寒常度，枝枝岁岁难重． 2012-10-22 人教网 |
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