数学概念、方法、题型、易误点技巧总结——排列、组合和二项式定理

数学概念、方法、题型、易误点技巧总结——排列、组合和二项式定理

湖南省常德市安乡县第五中学　龚光勇收集整理

1.排列数中、组合数中。

 

(1)排列数公式

 

；。

 

如（1）1！+2！+3！+…+n！（）的个位数字为     （答：3）；（2）满足的＝     （答：8）

 

(2)组合数公式

 

；规定，。

 

如已知，求 n，m的值（答：m＝n＝2）

 

(3)排列数、组合数的性质：

 

①；②；③；④；⑤；⑥。

 

2.解排列组合问题的依据是：分类相加（每类方法都能独立地完成这件事，它是相互独立的，一次的且每次得出的是最后的结果，只需一种方法就能完成这件事），分步相乘（一步得出的结果都不是最后的结果，任何一步都不能独立地完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事，各步是关联的），有序排列，无序组合。比如：

 

（1）将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有       种（答：）；

 

（2）从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有    种（答：70）；

 

（3）从集合和中各取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中能确定不同点的个数是___（答：23）；

 

（4）72的正约数（包括1和72）共有     个（答：12）；

 

（5）的一边AB上有4个点，另一边AC上有5个点，连同的顶点共10个点，以这些点为顶点，可以构成_____个三角形（答：90）；

 

（6）用六种不同颜色把右图中A、B、C、D四块区域分开，允许同一颜色涂不同区域，但相邻区域不能是同一种颜色，则共有      种不同涂法（答：480）；

 

 

（7）同室4人各写1张贺年卡，然后每人从中拿1张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方式有       种（答：9）；

 

（8）是集合到集合的映射，且，则不同的映射共有       个（答：7）

 

（9）满足的集合A、B、C共有       组（答：）

 

3.解排列组合问题的方法有：

 

（1）特殊元素、特殊位置优先法（元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置）。比如

 

①某单位准备用不同花色的装饰石材分别装饰办公楼中的办公室、走廊、大厅的地面及楼的外墙，现有编号为1到6的6种不同花色的石材可选择，其中1号石材有微量的放射性，不可用于办公室内，则不同的装饰效果有_____种（答：300）；

 

②某银行储蓄卡的密码是一个4位数码，某人采用千位、百位上的数字之积作为十位个位上的数字（如2816）的方法设计密码，当积为一位数时，十位上数字选0. 千位、百位上都能取0. 这样设计出来的密码共有_______种（答：100）；

 

③用0，1，2，3，4，5这六个数字，可以组成无重复数字的四位偶数_______个（答：156）；

 

④某班上午要上语、数、外和体育4门课，如体育不排在第一、四节；语文不排在第一、二节，则不同排课方案种数为_____（答：6）；

 

⑤四个不同的小球全部放入编号为1、2、3、4的四个盒中。①恰有两个空盒的放法有__________种；②甲球只能放入第2或3号盒，而乙球不能放入第4号盒的不同放法有_________种（答：84；96）；

 

⑥设有编号为1、2、3、4、5的五个茶杯和编号为1、2、3、4、5的5个杯盖，将五个杯盖盖在五个茶杯上，至少有两个杯盖和茶杯的编号相同的盖法有_________种（答：31）

 

（2）间接法（对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉）)。

 

如在平面直角坐标系中，由六个点(0,0)，(1,2)，(2,4)，(6,3)，(－1,－2)，(－2,－1)可以确定三角形的个数为_____（答：15）。

 

（3）相邻问题捆绑法（把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列）。比如：

 

①把4名男生和4名女生排成一排，女生要排在一起，不同的排法种数为_____（答：2880）；

 

②某人射击８枪，命中４枪，４枪命中中恰好有３枪连在一起的情况的不同种数为_____（答：20）；

 

③把一同排6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影票全部分给4个人，每人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是_____（答：144）

 

（4）不相邻(相间)问题插空法（某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制元条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间）。比如：

 

①3人坐在一排八个座位上,若每人的左右两边都有空位,则不同的坐法种数有_______种（答：24）；

 

②某班新年联欢晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目。如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同的插法种数为_____（答：42）。

 

（5）多排问题单排法。

 

如若2n个学生排成一排的排法数为x，这2 n个学生排成前后两排，每排各n个学生的排法数为y，则x,y的大小关系为_____（答：相等）；

（6）多元问题分类法。比如：

 

①某化工厂实验生产中需依次投入2种化工原料，现有5种原料可用，但甲、乙两种原料不能同时使用，且依次投料时，若使用甲原料，则甲必须先投放. 那么不同的实验方案共有_______种（答：15）；

 

②某公司新招聘进8名员工，平均分给下属的甲、乙两个部门.其中两名英语翻译人员不能同给一个部门；另三名电脑编程人员也不能同给一个部门，则不同的分配方案有______种（答：36）；

 

③9名翻译中，6个懂英语，4个懂日语，从中选拨5人参加外事活动，要求其中3人担任英语翻译，选拨的方法有____________种（答：90）；

 

（7）有序问题组合法。比如：

 

①书架上有3本不同的书，如果保持这些书的相对顺序不便，再放上2本不同的书，有     种不同的放法（答：20）；

 

②百米决赛有6名运动A、B、C、D、E、F参赛，每个运动员的速度都不同，则运动员A比运动员F先到终点的比赛结果共有_____种（答：360）；

 

③学号为1，2，3，4的四名学生的考试成绩且满足，则这四位同学考试成绩的所有可能情况有_____种（答：15）；

 

④设集合，对任意，有，则映射的个数是_____（答：）；

 

⑤如果一个三位正整数形如“”满足，则称这样的三位数为凸数（如120、363、374等），那么所有凸数个数为_____（答：240）；

 

⑥离心率等于(其中且)的不同形状的的双曲线的个数为_____（答：26）。

 

（8）选取问题先选后排法。

 

如某种产品有4只次品和6只正品，每只产品均不相同且可区分，今每次取出一只测试，直到4只次品全测出为止，则最后一只次品恰好在第五次测试时，被发现的不同情况种数是_____（答：576）。

 

（9）至多至少问题间接法。

 

如从7名男同学和5名女同学中选出5人，至少有2名女同学当选的选法有_______种（答：596）

 

（10）相同元素分组可采用隔板法。比如：

 

①10个相同的球各分给3个人，每人至少一个，有多少种分发？每人至少两个呢？（答：36；15）；

 

②某运输公司有7个车队，每个车队的车都多于4辆且型号相同，要从这7个车队中抽出10辆车组成一运输车队，每个车队至少抽1辆车，则不同的抽法有多少种？（答：84）

 

4、分组问题：要注意区分是平均分组还是非平均分组，平均分成n组问题别忘除以n！。

 

如4名医生和6名护士组成一个医疗小组，若把他们分配到4所学校去为学生体检，每所学校需要一名医生和至少一名护士的不同选派方法有_______种（答：37440）；

 

5.二项式定理：，其中组合数叫做第r+1项的二项式系数；展开式共有n+1项，其中第r+l项

称为二项展开式的通项，二项展开式通项的主要用途是求指定的项.特别提醒：

 

（1）项的系数与二项式系数是不同的两个概念，但当二项式的两个项的系数都为1时，系数就是二项式系数。如在的展开式中，第ｒ＋１项的二项式系数为，第ｒ＋１项的系数为；而的展开式中的系数就是二项式系数；

 

（2）当n的数值不大时往往借助杨辉三角直接写出各项的二项式系数；

 

（3）审题时要注意区分所求的是项还是第几项？求的是系数还是二项式系数？比如：

 

①的展开式中常数项是____（答：14）；

 

②的展开式中的的系数为______        （答：330）；

 

③数的末尾连续出现零的个数是____（答：3）；

 

④展开后所得的的多项式中，系数为有理数的项共有____项（答：7）；

 

⑤若的值能被5整除，则的可取值的个数有____个（答：5）；

 

⑥若二项式按降幂展开后，其第二项不大于第三项，则 的取值范围是        （答：）；

 

⑦函数的最大值是_______（答：1024）。

 

6、二项式系数的性质：

 

（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即；

 

（2）增减性与最大值：当时，二项式系数C的值逐渐增大，当时,C的值逐渐减小，且在中间取得最大值。当n为偶数时，中间一项（第＋1项）的二项式系数取得最大值。当n为奇数时，中间两项（第和＋1项）的二项式系数相等并同时取最大值。比如：

 

①在二项式的展开式中，系数最小的项的系数为______（答：－426）；

 

②在的展开式中，第十项是二项式系数最大的项，则＝____（答：17,18或19）。

 

（3）二项式系数的和：；

。比如：

 

①如果，则      （答：128）；

 

②化简（答：）

 

7、赋值法：应用“赋值法”可求得二项展开式中各项系数和为、“奇数 (偶次)项”系数和为，以及“偶数 (奇次)项”系数和为。比如：

 

①已知，则等于_____（答：）；

 

②，则＋＝_____（答：2004）；

 

③设,则_____（答：）。

 

8、系数最大项的求法：设第项的系数最大，由不等式组确定。

 

如求的展开式中，系数的绝对值最大的项和系数最大的项。（答：系数绝对值最大的项为，系数最大的项为）

 

9、二项式定理的应用：二项式定理的主要应用有近似计算、证明整除性问题或求余数、应用其首尾几项进行放缩证明不等式。比如：

 

（1）(0.998)⁵精确到0.001近似值为________（答：0.990）；

 

（2）被4除所得的余数为_____（答：0）；

 

（3）今天是星期一，100⁴⁵天后是星期_____（答：二）；

 

（4）求证：能被64整除；

 

（5）求证：

2007-12-18  人教网