导数思想在高考试题中的体现

导数思想在高考试题中的体现

浙江省嵊州市第一中学 毛 冲

　　导数的思想方法和基本理论有着广泛的应用，除对中学数学有重要的指导作用外，也能在中学数学的许多问题上起到居高临下和以简化繁的作用。本文对2007年数学高考试题中有关运用导数解决问题的试题进行分析，看如何运用导数解决中学数学中相关问题：如函数单调性、最值等函数问题；在掌握导数的相关概念的基础上应用导数作出特殊函数的图象；应用导数解题的一般方法证明某些不等式的成立和解决数列的有关问题，再根据导数所具有的几何意义对切线相关问题及平行问题等几何问题进行了一些探讨，并最终运用导数解决实际问题中的最值。

 

　　在我国现在中学数学新教材中，导数处于一种特殊的地位，是高中数学知识的一个重要交汇点，是联系多个章节内容以及解决相关问题的重要工具。在2007年各省高考试题中，我们不难发现导数的应用在中学数学中是非常广泛的，涉及到了中学数学的各个方面，具体如下：

 

　　（一）在函数方面的应用

 

　　1．1 函数单调性的讨论

 

　　函数的单调性是函数最基本的性质之一，是研究函数所要掌握的最基本的知识。通常用定义来判断，但当函数表达式较复杂时判断正负有困难时选用导数就会很方便。运用导数知识来讨论函数单调性时，只需求出，再考虑的正负即可。此方法简单快捷而且适用面广。

 

　　江西卷12．设在内单调递增，，则是的（　B　）

 

　　Ａ．充分不必要条件  Ｂ．必要不充分条件    Ｃ．充分必要条件      Ｄ．既不充分也不必要条件

 

　　安徽卷18．设，．令，讨论在内的单调性。

 

　　解：根据求导法则有，故，

 

　　于是，    当时，，当时，

 

　　故知在内是减函数，在内是增函数。．

 

　　陕西卷20．设函数，其中为实数．（II）当的定义域为时，求的单调减区间．

 

　　解：，令，得．由，得或，

 

　　又， 时， 由得；        当时，；

 

　　 当时，由得，

 

　　即当时，的单调减区间为； 当时，的单调减区间为．

 

　　浙江卷22设，对任意实数，记．（I）求函数的单调区间；

 

　　解：．由，得．

 

　　因为当时，，当时，，当时，，

 

　　故所求函数的单调递增区间是，，单调递减区间是．

 

　　分析：这类求函数单调区间的问题要比给出某个区间判断函数的单调性复杂一些.在这类题型中，首先对求导；再令或，通过解关于的不等式，即可得到的单调递增（减）区间.

 

　　1．2 函数的最值（极值）的求法

 

最值（极值）问题是高中数学的一个重点，也是一个难点.它涉及到了中学数学知识的各个方面，用导数解决这类问题可以使解题过程简化，步骤清晰，也好掌握。

 

　　一般地，函数闭区间[a，b]上可导，则在[a，b]上的最值求法：

 

　　①求函数在（a，b）上的驻点；

 

　　②计算在驻点和端点的函数值，比较而知，最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。

 

　　江苏卷13．已知函数在区间上的最大值与最小值分别为，，则_32__．

 

　　辽宁卷12．已知与是定义在上的连续函数，如果与仅当时的函数值为0，且，那么下列情形不可能出现的是（ C  ）

 

　　A．0是的极大值，也是的极大值     B．0是的极小值，也是的极小值

 

　　C．0是的极大值，但不是的极值     D．0是的极小值，但不是的极值

 

　　天津卷20．已知函数，其中．当时，求函数的单调区间与极值．

 

　　解：．由于，以下分两种情况讨论．

 

　　（1）当时，令，得到，．当变化时，的变化情况如下表：

 

		0		0
	递减	极小值	递增	极大值	递减

 　　

　　所以在区间，内为减函数，在区间内为增函数．

 

　　函数在处取得极小值，且，

 

　　函数在处取得极大值，且．

 

（2）当时，令，得到，当变化时，的变化情况如下表：

 

		0		0
	递增	极大值	递减	极小值	递增

 

　　所以在区间，内为增函数，在区间内为减函数．

 

　　函数在处取得极大值，且．

 

　　函数在处取得极小值，且．

 

　　分析：本小题考查两个函数的和、差、积、商的导数，利用导数研究函数的单调性和极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。

 

　　湖北卷20．已知定义在正实数集上的函数，，其中．设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同．

 

　　（I）用表示，并求的最大值；

 

　　解：（Ⅰ）设与在公共点处的切线相同．

 

　　，，由题意，．

 

　　即由得：，或（舍去）．

 

　　即有．令，则．

 

　　于是当，即时，；当，即时，．

 

　　故在为增函数，在为减函数，于是在的最大值为．

 

　　分析：这类题目解决的关键在于深刻理解并灵活运用导数的知识，实质是确定新构造函数的最大值。

 

　　（二）在不等式证明方面的应用

 

　　利用导数证明不等式，就是利用不等式与函数之间的联系，将不等式的部分或者全部投射到函数上。直接或等价变形后，结合不等式的结构特征，构造相应的函数。通过导数运算判断出函数的单调性或利用导数运算来求出函数的最值，将不等式的证明转化为函数问题，即转化为比较函数值的大小，或者函数值在给定的区间上恒成立等。

 

　　江苏卷9．已知二次函数的导数为，，对于任意实数，有，

 

　　则的最小值为（ C　）       Ａ．      Ｂ．      Ｃ．      Ｄ．

 

　　安徽卷18．设，．（Ⅱ）求证：当时，恒有．

 

　　证明：由知，的极小值．

 

　　于是由（Ⅰ）知，对一切，恒有．

 

　　从而当时，恒有，故在内单调递增．

 

　　所以当时，，即．

 

　　故当时，恒有．

 

　　湖北卷20．已知定义在正实数集上的函数，，其中．设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同．（II）求证：（）．

 

　　证明：设，

 

　　则．故在为减函数，在为增函数，

 

　　于是函数在上的最小值是．

 

　　故当时，有，即当时，

 

　　全国卷20.设函数．

 

　　（Ⅰ）证明：的导数； （Ⅱ）若对所有都有，求的取值范围．

 

　　解：（Ⅰ）的导数．

 

　　由于，故．（当且仅当时，等号成立）．

 

　　（Ⅱ）令，则，

 

　　（ⅰ）若，当时，，故在上为增函数，

 

　　所以，时，，即．

 

　　（ⅱ）若，方程的正根为，

 

　　此时，若，则，故在该区间为减函数．

 

　　所以，时，，即，与题设相矛盾．

 

　　综上，满足条件的的取值范围是．

 

　　浙江卷22.设，对任意实数，记．

 

　　（II）求证：（ⅰ）当时，对任意正实数成立；

 

　　证明：（i）方法一：令，则，

 

　　当时，由，得，当时，，

 

　　所以在内的最小值是．故当时，对任意正实数成立．

 

　　方法二：对任意固定的，令，则，

 

　　由，得．当时，．当时，，

 

　　所以当时，取得最大值．

 

　　因此当时，对任意正实数成立．

 

　　分析：这类题型主要考查函数的基本性质、导数在不等式的证明中的应用、以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力。当不等式直接证明比较困难时可对不等式一边作一变形，再构造函数利用求导分析。

 

　　（三）在数列方面的应用

 

　　数列是高中数学中一个重要的部分，也是个难点。事实上数列可看作是自变量为正整数的特殊的函数，所以可以利用数列和函数的关系，运用导数来解决数列的有关问题。

 

　　广东卷21.已知函数，是方程的两个根（），是的导数，设，．（1）求的值；  （2）证明：对任意的正整数，都有；

 

　　解析：（1）∵，是方程f(x)=0的两个根，∴；

 

　　 （2），

 

　　=，∵，∴有基本不等式可知（当且仅当时取等号），∴同，样，……，（n=1,2,……），

 

　　（四）在解析几何方面的应用

 

　　导数在解析几何中应用主要体现在求曲线的切线上。

 

　　江西卷11．设函数是上以5为周期的可导偶函数，则曲线在处的切线的斜率为（ B　）

 

　　Ａ．        Ｂ．          Ｃ．          Ｄ．

 

　　分析：这道题可以根据导数的几何意义来求，导数的几何意义是函数在点的导数是曲线在点处的切线斜率.

 

全国卷二22．已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；

 

　　（2）设，如果过点可作曲线的三条切线，证明：．

 

　　解：（1）求函数的导数；．

 

　　    曲线在点处的切线方程为：，  即．

 

　　（2）如果有一条切线过点，则存在，使 ．

 

　　于是，若过点可作曲线的三条切线，则方程有三个相异的实数根．

 

　　记  ，  则．

 

当变化时，变化情况如下表：

 

		0
		0		0
	递增	极大值	递减	极小值	递增

 

　　由的单调性，当极大值或极小值时，方程最多有一个实数根；

 

　　当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根；

 

　　当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根．

 

　　综上，如果过可作曲线三条切线，即有三个相异的实数根，则

 

　　即  ．

 

　　（五）在实际问题中的应用

 

　　北京卷19．如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为，短半轴长为，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底是半椭圆的短轴，上底的端点在椭圆上，记，梯形面积为．

 

　　（I）求面积以为自变量的函数式，并写出其定义域；

 

　　（II）求面积的最大值．

 

 

　　I）依题意，以的中点为原点建立直角坐标系（如图），则点的横坐标为．点的纵坐标满足方程，

 

 

　　解得

 

　　则，其定义域为．

 

　　（II）记，则．令，得．

 

　　因为当时，；当时，，所以是的最大值．

 

　　因此，当时，也取得最大值，最大值为．即梯形面积的最大值为．

 

　　福建卷19．某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交元（）的管理费，预计当每件产品的售价为元（）时，一年的销售量为万件．

 

　　（Ⅰ）求分公司一年的利润（万元）与每件产品的售价的函数关系式；

 

　　（Ⅱ）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润最大，并求出的最大值．

 

　　解：（Ⅰ）分公司一年的利润（万元）与售价的函数关系式为：

 

　　    ．

 

　　（Ⅱ）．

 

　　    令得或（不合题意，舍去）．

 

　　    ，．

 

　　    在两侧的值由正变负．

 

　　    所以（1）当即时，   ．

 

　　（2）当即时，

 

　　，

 

　　所以

 

　　答：若，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润最大，最大值（万元）；若，则当每件售价为元时，分公司一年的利润最大，最大值（万元）．

 

　　分析：在求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先求出自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域。如果定义域是一个开区间，函数在定义域内可导（一般初等函数在自己的定义域内必可导），且此函数在这一开区间内有最大（小）值，那么只要对函数求导，当发现定义域内只有一个极值点时，立即可以断定在这个极值点处的函数值就是最大（小）值。如果定义域是闭区间，则必须对该点处的函数值与端点处的函数值进行比较才能确定。

 

　　从2007年高考试题中我们看到导数在中学数学中的重要作用和地位。不仅如此从近几年新课程高考试题中也反映出导数及其应用已成为高考的新热点，特别是利用导数求函数的单调区间、求函数的极大（小）值、求函数在连续区间上的最大值和最小值、利用求导解决一些实际应用问题等考查点。

 

　　总之，在高三新课程复习中，我们应关注高考的动向，从实际出发，既重视基础，又注重对学生数学能力与综合素质的提高。而将新课程内容与传统的内容结合是近几年高考试题的一个重要特点，也可以说是以后新课程试题的明显标志，应引起教学中的关注。通过对导数这一块内容的复习归纳能够提高学生的悟性，启发引导学生自己去感悟、去应用知识，从而争取最好的教学效果。

2007-11-23  人教网