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曆術甲子曆法歷年大餘與小餘算出法之一
TheCalendarSystemof“LishuJiazhi”ofHan
DynastyandtheCalculationsofthe
AccumulatedLargeandSmallRemaindersby
Year(PartOne)
文檔上傳書齋：瀟湘館112Uploadedby:XiāoXiāngGuǎn112
何世強HoSaiKeung
Abstract:InHanDynastytherewasakindofCalendarSystemknownas“Lishu
Jiazi”﹝《曆術甲子》﹞createdbySimaQian﹝司馬遷﹞whowasa
scholarandanimperialofficialwhowasresponsibleforrecordinghistory.
Themainpointsofhis“LishuJiazi”calendarsystemwerethecalculations
oftheLargeandSmallRemainder﹝大餘與小餘﹞.Theresultsofthe
accumulatedfirstandsecondsmallremainderinthe76thyearwere0
respectively.
提要：《曆術甲子篇》之﹡大餘﹢與﹡小餘﹢乃古曆法之精髓，若依照《曆
術甲子篇》之法而計算每年之﹡大餘﹢與﹡小餘﹢，第七十六年則無
小餘﹝嚴格而言須說成第一至第七十六年累積無小餘﹞，兩大餘均為
39，此乃重要之結果。
關鍵詞：曆術甲子曆法、第一大餘、第一小餘、第二大餘、第二小餘。
第1節《曆術甲子》曆法之基礎
下表整理自《淮南子?天文》及《曆術甲子篇》﹝詳情可參閱下一節﹞。注
意表中之夏正與周正，《史記?天官書》亦用周正。二十八宿乃歲星所處之星宿
區：
2
歲星紀年與二十八宿表
歲名
赤
奮
若
攝
提
格
單
閼
執
徐
大
荒
落
敦
牂
協
洽
涒
灘
作
噩
閹
茂
大
淵
獻
困
敦
歲星所在
地支丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子
太歲十二
辰寅丑子亥戌酉申未午巳辰卯
月份《曆術
甲子》用周
正
十
二正二三四五六七八九十
十
一
月份《淮南
子》用夏正十
十
一
十
二正二三四五六七八九
十二次析木星紀玄枵諏訾降婁大梁實沈鶉首鶉火鶉尾壽星大火
晨出東方
之二十八
宿
尾
、箕
斗
、牛
女
、
虛
、危
室
、壁
奎
、婁
胃
、
昴
、畢
觜
、參
井
、鬼
柳
、
星
、張
翼
、軫
角
、亢
氐
、
房
、心
相對之星
宿
觜
、參
井
、鬼
柳
、
星
、張
翼
、軫
角
、亢
氐
、
房
、心
尾
、箕
斗
、牛
女
、
虛
、危
室
、壁
奎
、婁
胃
、
昴
、畢
《石氏星
經》
天
皓
監
德
降
入
青
章
跰
踵
開
明
長
列
大
音
長
王
天
睢
大
章
天
泉
最後一列乃《石氏星經》之說法﹝亦見下一節﹞。
《漢書?天文志》中所云?石氏?者，乃指戰國魏天文學家石申。據
《史記?天官書》張守節《正義》引南朝梁?阮孝緒之《七錄》云，石申，
戰國魏人，著《天文》八卷﹐西漢後尊稱為《石氏星經》，原書已亡佚。
《史記?天官書》、《漢書?天文志》等史籍中引該書之片言隻字。
《漢書?天文志》亦提及?甘氏?。?甘氏?者，即甘德，乃諸疇人
中之另一著名天文名家。《史記?天官書》張守節《正義》引南朝梁?阮
孝緒之《七錄》云，甘德，戰國時楚人，著有《天文星占》八卷。後世稱
之爲《甘氏星經》。
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唐宋時出現綜合二家之說之作稱爲《星經》或《通占大象曆星經》，
傳世有二卷﹝分上下﹞。南宋?晁公武著《郡齋讀書志》錄《甘石星經》
一卷，注曰：?漢甘公石申撰。?自此以後此書又稱為《甘石星經》，但
此書已非戰國、兩漢所流行之《石氏星經》或《甘氏星經》矣。故現傳世
之《星經》或《通占大象曆星經》可能乃唐宋人輯錄而成，並隨意書上?漢
甘公石申撰?以作招徠。
從《史記?天官書》所言者可知，其說多承襲《石氏星經》。
第2節《曆術甲子篇》曆法注釋及第一、第二餘數算式
《曆術甲子篇》之精髓乃?大餘?與?小餘?之計算。?大餘?與?小餘?
有兩種，筆者稱之為?第一大餘?與?第一小餘?及?第二大餘?與?第二小
餘?﹝亦有人稱之為?前?與?後?﹞。筆者算出《曆術甲子篇》之第七十六年
之?第一小餘?及?第二小餘?皆為0，此乃古人以76年為?一蔀?之原因。
?大餘?與?小餘?其實是一帶分數，?大餘?乃帶分數之整數，?小餘?
為帶分數之真分數部份。筆者有時將?第一大餘?與?第一小餘?合稱為?第一
餘數?；?第二大餘?與?第二小餘?合稱為?第二餘數?。
在以下之算式中在不混淆之情況下，?第一?與?第二?二字略去，只稱為
?大餘?與?小餘?。
依古曆法，因19年有7年含閏月，古人以19之4倍年數為一蔀，即76年。
而一蔀之總月數為4×(19×12+7)=4×235=940。
一蔀76年之總月數為940，因一年有36541日，故一蔀之總日數為76×36541
=27759。又因一蔀之總月數為940，故一蔀每月平均有94027759日，即29940499日。
此乃《曆術甲子》曆法所云之一月之日數。又一年有12月，故一蔀每年之平均
日數為：
29940499×12=94027759×12=940333108=354940348。此帶分數用於以下之第
一大小餘算法。
《曆術甲子篇》中之【索隱】乃出自唐?司馬貞；【正義】則出自唐?張守
節，今明引兩家之文並作簡單之注釋。
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【索隱】：
以十一月朔旦冬至得甲子，甲子是陽氣支幹之首，故以甲子命曆術爲篇首，
非謂此年歲在甲子也。
【索隱】：日得甲子。
甲子可能為冬至節之日。《曆術甲子篇》曆法並非始於甲子，乃始於甲寅，
而太初元年應屬丙子/丁丑。故《曆術甲子篇》曆法之紀年與傳統紀年﹝或漢之
紀年法﹞不合。因太初元年之歲為攝提格﹝地支別稱﹞，而當時之太陰所在為
寅，故取甲寅為歲首。
【索隱】：
太初曆法，一月之日，二十九日九百四十分日之四百九十九，每兩月合
成五十九日，餘五十八分。今十二月合餘六個五十八，得此數，故云﹡小
餘者月也﹢。
太初曆法一月之日數並非29940499，太初曆規定一年為3651539385日﹝即
365.25016日﹞，一月為298143日﹝即29.530864日﹞，故又稱“八十一分律曆”。
日數為29940499者乃顓頊曆或其他曆法。司馬貞之注有誤。
以上之解說，見筆者另文數學篇及大餘小餘計算法。若依一月之平均日數計
算，兩月之日數為5994058，小餘為94058，單位仍為日，故【索隱】所引曰?小餘
者月也?之說有誤。
一歲十二月，六大月及六小月，大月30日，小月29日，一大月與一小月合
成59日，其六倍之數即一年之日數，合三百五十四日也。如下式所示：
6×30+6×29=354。
354除以60，商為5，餘數為54，單位為日。所謂大餘，即餘數為整數。列
式為354÷6=50，餘54。此乃“大餘”之數。
【正義】：
未滿日之分數也。其分每滿九百四十則成一日，即歸上，成五十五日矣。
大餘五十四者，每歲除小月六日，則成三百五十四日，除五甲三百日，
猶餘五十四日，為未滿六十日，故稱﹡大餘五十四﹢也。小餘三百四十
八者，其大數五十四之外更餘分三百四十八，故稱﹡小餘三百四十八﹢
也。此大小餘是月朔甲子日法，以出閏月之數，一歲則有三百五十四日
三百四十八分，每六十日除之，餘為未滿六十日，故有大小餘也。此是
5
太初元年奇日奇分也。置大餘五十四算，每年加五十四日，滿六十日除
之，奇算留之；每至閏後一年加二十九算，亦滿六十日除之，奇算留之；
若才足六十日，明年云無大餘，無小餘也。又明年以置五十四算，如上
法，置小餘三百四十八算，每年加三百四十八分，滿九百四十分成一日，
歸上，餘算留之；若至閏後一年加八百四十七分，亦滿九百四十分成日，
歸大餘，奇留之；明年以加三百四十八算，如上法也。
【正義】曰?未滿日之分數?稱為?小餘?。所謂?小餘?，其實乃分數之
日數，分母為940，故當分子滿940則成一日，?歸上?即歸整數而成為大餘。
其實?大餘?與?小餘?合成現代所云之?帶分數?。若果明白現代之分數與帶
分數之加法，【正義】之說就非常明顯。故上文所謂?又明年以置五十四算，如
上法，置小餘三百四十八算，每年加三百四十八分，滿九百四十分成一日。?其
實指加54940348，當分子達或逾940時，則進成整數。又上引文之?若至閏後一
年加八百四十七分?疑誤，應作?若至閏後一年加四百九十九分?為是，蓋此句
應配合?每至閏後一年加二十九算?，即含閏月之年後一年多加29940499﹝見以
下之算法﹞。
【正義】云?一歲則有三百五十四日三百四十八分?其實指354940348﹝見以
上之算式﹞，單位為日，唯略去分母940，獨稱分子為?分?。
又若兩月有59日﹝即一大月與一小月之日數﹞，則一歲有59×6=354日
﹝見前式﹞，於是一歲之總日數為354+940348，即354940348。故顓頊曆法一年有
354940348日。
354940348÷60=5，餘54940348，其中整數為大餘，940348為小餘。【正義】曰：
?此是太初元年奇日奇分也。?所謂?奇日?乃指所餘之整數日，?奇分?，乃
指所餘之分數日。
至於八百四十七分之數來源如下：
940348+940499=940847，其分子即八百四十七，即含閏月之年份下一年﹝即所
謂閏後一年﹞所加之數。
以上之說明未必清楚，可參閱以下各年之第一、第二大小餘之算法。
《曆術甲子篇》曆法之元年共354940348日，此數除以60得5，餘數為54940348
6
日，整數54日稱為第一大餘，分數部分稱為第一小餘。因分數部份必定成為餘
數，故從第一小餘940348日即可知，?小餘三百四十八?乃略去分母及單位之說法
也﹝見上式﹞。354除以60，即除以甲子之數。五甲即五甲子之數﹝一甲子之數
為60﹞，五甲子之數即300，354日÷60得5日，餘數為54日，此相當於354
日減去300日後即得大餘54日﹝現時乃求除數之餘數，減法之說只適用於首
年﹞。在以下之算法單位?日?略去。第一小餘應連帶分母，其單位亦應為
“日”，唯《曆術甲子篇》只取其分子，稱之為“分”，在以下之運算中，“分”
之單位亦略去。
另外要注意者，能約簡之分數均不約簡，全部以940為分母。
以上述餘數54940348為例，當分子滿940時，則成1日，即進1，加上第一大
餘54日則歸成第一大餘55日。此說法其實是現代數學之假分數化成帶分數之步
驟。55日乃假設之說法，因本例根本無須?進1?，唯以下進1﹝或進其他數﹞
之例甚多，可參閱。54940348乃一重要第一餘數，因以下各年之第一餘數之運算，
皆以此數為基礎。
《曆術甲子篇》曰：焉逢攝提格，即太初元年。
《淮南子?天文》：
太陰元始建於甲寅，一終而建甲戌，二終而建甲午，三終而復得甲寅之元。
太陰指太歲。夏正以建寅之月為正月為歲首，時十一月也。曆術甲子曆法亦
以甲寅為歲首，?一終?為二十年，即第二十一年為甲戌；?二終?為四十年，
即第四十一年為甲午；?三終?為六十年，即第六十一年重返甲寅之年。
《史記?天官書》：
以攝提格歲：歲陰左行在寅，歲星右轉居丑1。正月，與斗、牽牛晨出
東方，名曰監德，色蒼蒼有光。其失次，有應見柳。歲早水，晚旱。
《淮南子?天文》：
太陰在寅，歲名攝提格，其雄為歲星，舍斗、牽牛，以十一月與之晨出
東方，東井、輿鬼為對。
《淮南子?天文》又曰：
攝提格之歲，歲早水，晚旱，稻疾，蠶不登，菽、麥昌，民食四升。寅。
在甲曰閼蓬。
《漢書?天文志》：
太歲在寅曰攝提格。歲星正月晨出東方，石氏曰名監德，在斗、牽牛。
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失次，杓，早水，晚旱。甘氏在建星、婺女。太初曆在營室、東壁。
焉逢《爾雅》作?閼逢?，《淮南子》作?閼蓬?，甲也，名略異實一。若
以《爾雅》為準，餘皆音同而字異。漢曆法家將十天干之代名配以十二地支之代
名，即焉逢、端蒙、游兆、強梧、徒維、祝犁、商橫、昭陽、橫艾、尚章配以攝
提格、單閼、執徐、大荒落、敦牂、協洽、涒灘、作鄂、閹茂、大淵獻、困敦、
赤奮若，成六十歲名，以作紀年，例如?焉逢攝提格?，即指甲寅也，餘可類推。
唯此名稱繁複，不易記憶，與天象實況亦有差異，故此組合之名稱遂漸廢。
太陰為雌，即歲陰；歲星為雄。當太陰﹝即太歲﹞左行在寅﹝左右者，面向
大圓圓心之左與右﹞，則歲星右行居丑。故談古曆法者，不妨以此為始，即太陰
在寅則歲星在丑，前者左行，後者右。夏曆十一月，即用“夏正”，以建寅之月
為正月為歲首﹝《史記?天官書》稱之為正月，即用“周正”，以建子之月十一
月為歲首﹞也。夏正十一月即周正正月。歲星十一月時處於斗、牽牛之間，同現
於晨之東方；與東井、輿鬼二宿相對。
《淮南子?天文》與《漢書?天文志》均曰?失次?則歲初現水災，歲晚則
旱災，禾稻有疾而不登，蠶繭歉收。但該歲菽、麥茂盛，相信此乃逢攝提格之歲
之一般狀況。菽，大豆也。民得食，日食四升。一升，約今之200毫升，四升，
為該年一人一日之食量﹝包括稻、菽、麥、菜等﹞。
所謂?次?，應指十二次，?失次?，指歲失其序也。又例如廿四節氣不依
時而至，亦算失次。
《淮南子?天文》曰：
以日冬至數來歲正月朔日，五十日者，民食足；不滿五十日，日減一升；有
餘日，日益一升。其為歲司也。
其意指從冬至日數至翌年正月初一，若剛好五十日，則翌年民之食足﹝依最
後一頁之表之量或各歲所述之量﹞；若不滿五十日，則翌年民之食日減一升﹝即
比食足之數每日少一升﹞；若其數比五十日多，則翌年民之食日增一升﹝即比食
足之數每日增一升﹞。故冬至日至翌年正月初一之日數，可預測來歲民生之所食
之增減。
《淮南子?天文》及《漢書?天文志》簡述該年之一般狀況及運數，其他年
份皆如是。
《曆術甲子篇》曰：大餘五。
【索隱】曰：
周天三百六十五度四分度之一，日行一度，去歲十一月朔在牽牛初為冬
至，今歲十一月十二日又至牽牛初為一周，以六甲除之，六六三十六，
除三百六十餘五，故云大餘五也。
8
此段之解說見下文。
【正義】：冬至甲子日法也。
《曆術甲子篇》曰：小餘八之數。
【索隱】曰：
即四分之一，小餘滿三十二從大餘一，四八三十二，故云小餘八。明年
又加八得十六，故下云小餘十六。次明年又加八得二十四，故下云小餘
二十四。又明年加八得三十二為滿，故下云無小餘。此並依太初法行之
也。
【正義】：
未滿日之分數也。其分每滿三十二則成一日，即歸上成六日矣。大餘五
者，每歲三百六十五日，除六甲三百六十日，猶餘五日，故稱大餘五也。
小餘八者，每歲三百六十五日四分日之一，則一日三十二分，是一歲三
百六十五日八分，故稱小餘八也。此大小餘是冬至甲子日法，未出閏月
之數，每六十日除之，為未滿六十日，故有大小餘也。此是太初元年奇
日奇分也。置大餘五算，每年加五算，滿六十日則除之；後年更置五算，
如上法。置小餘八算，每年加八算，滿三十二分為一日，歸大餘；後年
更置八算，如上法。大餘者，日也。小餘者，日之奇分也。
【正義】稱之為?冬至甲子日法?，相信只屬名稱，無實際意義。古人將黃
道附近之一周天分成36541度﹝上述【索隱】所云之單位為?度?，【正義】引
文仍稱之為?日?﹞，日行一度，則一年行畢一周天。注意此一周天與歲星十二
年行畢之一周天定義不同。筆者認為以度之說法為是。若一“度?為32分，則
36541度可說成365度8分。為避免與第一大小餘之日單位混淆，故本文之第二
之大小餘以“度?與“分?為單位。
36541度÷60，得商6度，餘541度。此相當於365減去六甲之數，即減去
360﹝減法之說亦只適用於首年﹞。餘數為541度，其中5度為第二大餘，此乃
“大餘五”之由來。41度為第二小餘。因一度32分，故41度為8分，故小餘8
也，此乃“小餘八之數”之由來。以下之運算倣此。第二大餘單位?度?略去，
第二小餘單位?分?亦略去。因為每年加541度，即加5度8分，故【正義】曰：
置大餘五算，每年加五算，滿六十日則除之；後年更置五算，如上法。置小
9
餘八算，每年加八算，滿三十二分為一日，歸大餘。
以上引文之大餘乃指第二大餘與第二小餘。從以下各年之第二餘數之運算即
可知上文之意義。
(2)《曆術甲子篇》曰：端蒙單閼，二年。
【集解】：徐廣曰：﹡單閼，一作﹟亶安﹠。﹢
【索隱】：端蒙，乙也。《爾雅》作﹡旃蒙﹢。單閼，卯也，丹遏二音，又
音蟬焉。二年，歲在乙卯也。
【正義】：單音丹，又音時連反。閼音烏葛反，又於連反。
《史記?天官書》：
單閼歲：歲陰在卯，星居子。以二月與婺女、虛、危晨出，曰降入。大
有光。其失次，有應見張。其歲大水。
《淮南子?天文》：
太陰在卯，歲名單閼，歲星舍須女、虛、危，以十二月與之晨東方；柳、
七星、張為對。
《淮南子?天文》又曰：
單閼之歲，歲和，稻、菽、麥、蠶昌，民食五升。卯。在乙曰﹡旃蒙﹢。
《漢書?天文志》：
在卯曰單閼。二月出，石氏曰名降入，在婺女、虛、危。甘氏在虛、危。
失次，杓，有水災。太初在奎、婁。
端蒙《爾雅》作?旃蒙?，《淮南子》亦作?旃蒙?，乙也。端與旃，字音
皆異，然【索隱】接受端蒙為乙之說，非獨《爾雅》為準。單閼，卯也。故端蒙
單閼即乙卯也。【集解】云單閼作?亶安?，此說未知出自何經典。?單?，粵
音?丹?，又音?善?；?閼?，粵音?煙?。?亶?粵音?妲?，?安?可
能為?閼?之音轉字。
太陰在卯，則歲星夏正十二月﹝《史記?天官書》為周正二月﹞處於須女、
虛、危三宿間，該星與三宿同現於晨之東方，與柳、七星、張三宿相對。
單閼年稻、大豆、麥、蠶繭皆昌盛豐登，民得食，該年日食五升。
歲若失其序則有災，有水災。
《曆術甲子篇》曰：閏十三。
大餘四十八，小餘六百九十六；大餘十，小餘十六。
因54+54=108，108÷60=1，餘數即為第一大餘，即48。第一小餘為940348
10
+940348=940696。注意696為940696之分子。
又541+541=1021，除以60後，即得餘數為1021，第二大餘十指整數10，
第二小餘十六指21×32=16。第一個541乃上年之第二餘數，第二個541乃
今年之第二餘數。
是年曆術甲子歲為乙卯，亦為太初二年。上年餘數54940348日加本年餘
數54940348得108940696日，此數除以60，得商1，餘數為48940696，整數為大
餘，分數之分子為小餘。本年為?閏十三?，即含閏月之年，共13月。秦
以前，閏月置於年末，稱之為?閏十三?，相信曆術甲子曆法亦依此制。《史
記?天官書》則簡述單閼歲之一般狀況及運程，換言之，大凡遇單閼之歲如
失次則多水災。
(3)《曆術甲子篇》曰：游兆執徐，三年。
【索隱】：游兆，景也，《爾雅》作﹡柔兆﹢。執徐，辰也。三年。
【正義】：三年，丙辰歲也。
《史記?天官書》：
執徐歲：歲陰在辰，星居亥。以三月與營室、東壁晨出，曰青章。青青
甚章。其失次；有應見軫。歲早，旱；晚，水。
《淮南子?天文》：
太陰在辰，歲名曰執除，歲星舍營室、東壁，以正月與之晨出東方，翼、
軫為對。
《淮南子?天文》又曰：
執徐之歲，歲早旱，晚水，小饑，蠶閉，麥熟，民食三升。辰，在丙曰
柔兆。
《漢書?天文志》：
在辰曰執徐。三月出，石氏曰名青章，在營室、東壁。失次，杓，早旱，
晚水。甘氏同。太初在胃、昴。
游兆，《爾雅》與《淮南子》均作?柔兆?，丙也。【索隱】依游兆為丙之
說。【集解】引徐廣作‘遊桃’，見(13)。
執徐，《爾雅》與《淮南子》均作?執徐?，《淮南子》又作?執除?，辰
11
也。游兆執徐即丙辰也。游與柔、徐與除，音同而字異。
太陰在辰，則歲星夏正正月﹝《史記?天官書》為周正三月﹞處於營室、東
壁二宿間，該星與二宿同現於晨之東方，與翼、軫二宿相對。
是歲有饑，穀不熟為饑，見《說文》。歲初有旱災，歲晚有水災。蠶繭閉則
可抽絲，麥能熟。民日食三升。
《曆術甲子篇》曰：十二。
大餘十二，小餘六百三；大餘十五，小餘二十四。
因48+54+29=131，131÷60=2，餘數為11。
分數和為940696+940348+940499=9401543=1940603。整數為1，故進1，即11+
1=12，故第一大餘為12。第一小餘為940603，只取分子六百零三。
是年曆術甲子歲為丙辰，亦為太初三年。以上之算法其實為48940696+54940348
+29940499=1319401543=132940603。132940603除以60，商為2，餘數為12940603，
此帶分數之整數部分為“第一大餘?，分數部分之分子為“第一小餘?。以
後之算法皆依此。因上年含閏月，故此年須加29940499。
度數之“大餘?及“小餘?情況亦相似，稱為“第二大餘?及“第二小
餘?：
1021+541=1543，除以60後，即得餘數為1543，第二大餘指整數15，第
二小餘二十四指43×32=24。前分數乃上年之第二餘數，後分數乃是年之
第二餘數，此數年年皆為541。求兩者之和再除以60即得是年之第二大餘
及小餘。其餘類推。
(4)《曆術甲子篇》曰：彊梧大荒落，四年。
【索隱】：強梧，丁也。大芒駱，巳也。四年。
【正義】：梧音語。四年，丁巳歲也。
《史記?天官書》：
大荒駱歲：歲陰在巳，星居戌。以四月與奎、婁晨出，曰跰踵。熊熊赤
色，有光。其失次，有應見亢。
《淮南子?天文》：
12
太陰在巳，歲名曰大荒落，歲星舍奎、婁，以二月與之晨出東方，角、
亢為對。
《淮南子?天文》又曰：
大荒落之歲，歲有小兵，蠶小登，麥昌，菽疾，民食二升。巳。在丁曰
強圉。
《漢書?天文志》：
在巳曰大荒落。四月出，石氏曰名路踵，在奎、婁。甘氏同。太初在參、
罰。
彊梧《爾雅》作?強圉?，?彊?即?強?。【索隱】依強梧為丁之說。依
【正義】若?梧?音?語?，則梧與圉同音。丁也。大荒落，《淮南子》與《爾
雅》均作此名。巳也。【索隱】作?大芒駱?，音近而字異。巳也。
太陰在巳，則歲星夏正二月﹝《史記?天官書》為周正四月﹞處於奎、婁二
宿間，該星與二宿同現於晨之東方，與角、亢二宿相對。
此歲?有小兵?指有小戰爭。蠶繭有收成但非豐登。麥茂盛，唯大豆有蟲害
而歉收。是歲民日食只二升。
《曆術甲子篇》曰：十二。
大餘七，小餘十一；大餘二十一，無小餘。
因12+54=66，66÷60=1，餘數為6。
分數和為940603+940348=940951=194011。進1，6+1=7，故第一大餘為7。
第一小餘為94011，只取分子十一。
以上之算法其實為12940603+54940348=66940951=6794011。6794011除以60，商
為1，餘數為794011。第一個帶分數乃上年之第一餘數。
又1543+541=21，除以60後，即得第二大餘為21，無第二小餘。前分
數乃上年之第二餘數。
是年為太初四年，合曆術甲子曆丁巳歲。無閏月。
(5)《曆術甲子篇》曰：徒維敦牂，天漢元年。
【索隱】：徒維，戊也。敦牂，午也。天漢元年。
【正義】：牂音作郎反。天漢元年，戊午歲也。
13
《史記?天官書》：
敦牂歲：歲陰在午，星居酉。以五月與胃、昴、畢晨出，曰開明。炎炎
有光。偃兵；唯利公王，不利治兵。其失次，有應見房。歲早，旱；晚，
水。
《淮南子?天文》：
太陰在午，歲名曰敦牂，歲星舍胃、昴、畢，以三月與之晨出東方氐、
房、心為對。
《淮南子?天文》又曰：
敦牂之歲，歲大旱，蠶登，稻疾，菽麥昌，禾不為，民食二升。午。在
戊曰著雝。
《漢書?天文志》：
在午曰敦牂。五月出，石氏曰名啟明，在胃、昴、畢。失次，杓，早旱，
晚水。甘氏同。太初在東井、輿鬼。
《爾雅》以?著雍?為戊，非徒維。【索隱】依徒維為戊之說。《淮南子?
天文》則作?著雝?。各家均以敦牂為午。?牂?，粵音?裝?。
此歲有大旱災，稻有蟲害，禾不熟；可幸大豆與麥豐收，蠶繭亦豐登。是年
民日食只二升。
太陰在午，則歲星夏正三月﹝《史記?天官書》為周正五月﹞處於胃、昴、
畢三間，該星與三宿同現於晨之東方，與氐、房、心三宿相對。
《曆術甲子篇》曰：閏十三。
大餘一，小餘三百五十九；大餘二十六，小餘八。
因7+54=61，61÷60=1，餘數為1，即第一大餘為1。
分數和為94011+940348=940359。即第一小餘為940359，只取分子三百五十九。
以上之算法其實為794011+54940348=7940359。7940359除以60，商為1，餘數為
1940359。第一個帶分數乃上年之第一餘數。
又21+541=2641，除以60後，即得餘數為2641，即第二大餘為26，第
二小餘為41，即8分。前數乃上年之第二餘數。
是年為天漢元年，戊午歲，有閏月。
14
(6)《曆術甲子篇》曰：祝犁協洽，二年。
【索隱】：祝犁，己也，《爾雅》作﹡著雍﹢。汁洽，未也。二年。
【正義】：二年，己未歲也。
《史記?天官書》：
協洽歲：歲陰在未，星居申。以六月與觜觿、參晨出，曰長列。昭昭有
光。利行兵。其失次，有應見箕。
《淮南子?天文》：
太陰在未，歲名曰協洽，歲星舍觜嶲、參，以四月與之晨出東方，尾、
箕為對。
《淮南子?天文》又曰：
協洽之歲，歲有小兵，蠶登，稻昌，菽、麥不為，民食三升。未。在己
曰屠維。
《漢書?天文志》：
在未曰協洽。六月出，石氏曰名長烈，在觜觿、參。甘氏在參、罰。太
初在注、張、七星。
《爾雅》以?屠維?為己，非?著雍?。《淮南子》亦以屠維為己，非祝犁。
但【索隱】仍依祝犁為己之說，可能曆術更改之故。協洽，未也。協洽亦作汁洽，
如【索隱】所云。
太陰在未，則歲星夏正四月﹝《史記?天官書》為周正六月﹞處於觜嶲、參
二宿間，該星與二宿同現於晨之東方，與尾、箕二宿相對。觜嶲同觜觿。觜，同
嘴，粵音嘴。嶲，粵音緒。觿，粵音攜。嶲與觿，今之粵音相異。
是歲有小規模之戰爭。蠶繭豐登，稻生長茂盛，唯大豆與麥因不熟而歉收。
是年人日食三升。
《曆術甲子篇》曰：十二。
大餘二十五，小餘二百六十六；大餘三十一，小餘十
六。
因1+54+29=84，84÷60=1，餘數為24。
分數和為940359+940348+940499=9401206=1940266。進1，故第一大餘為25。
第一小餘為940266，只取分子二百六十六。
以上之算法其實為1940359+54940348+29940499=849401206=85940266。85940266除
15
以60，商為1，餘數為25940266。第一個帶分數乃上年之第一餘數，第三分
數乃上年有閏月所加之分數。
又2641+541=3142，除以60後，即得餘數為3142，即第二大餘為31，
第二小餘為41，即16。前分數乃上年之第二餘數。
是年為天漢二年，己未歲。無閏月。
(7)《曆術甲子篇》曰：商橫涒灘，三年。
【索隱】：商橫，庚也，《爾雅》作﹡上章﹢。赤奮若，丑也。天官書及《爾
雅》申為汭漢，丑為赤奮若。今自太初已來計歲次與天官書不同
者有四，蓋後曆術改故也。三年也。
【正義】：涒音吐魂反。灘音吐丹反。又作﹡涒漢﹢，字音與上同。三年，
庚申歲也。
《史記?天官書》：
涒灘歲：歲陰在申，星居未。以七月與東井、輿鬼晨出，曰大音。昭昭
白。其失次，有應見牽牛。
《淮南子?天文》：
太陰在申，歲名曰涒灘，歲星舍東井、輿鬼，以五月與之晨出東方，斗、
牽牛為對。
《淮南子?天文》又曰：
涒灘之歲，歲和，小雨行，蠶登，菽、麥昌，民食三升。申。在庚曰上
章。
《漢書?天文志》：
在申曰涒灘。七月出。石氏曰名天晉，在東井、輿鬼。甘氏在弧。太初
在翼、軫。
《爾雅》以?上章?為庚，如【索隱】所云，非商橫也。但【索隱】亦接受
以商橫為庚之說。《爾雅》又以申曰涒灘。【正義】曰涒灘又作?涒漢?，若?漢?
音?灘?﹝據【正義】所云﹞，則?漢?可能?灘?之訛字。【索隱】曰天官書
及《爾雅》云?申?為?汭漢?，但《爾雅》未見有此說。?涒?，粵音為?吞?，
與?灘?成雙聲字。
太陰在申，則歲星夏正五月﹝《史記?天官書》為周正七月﹞處於東井、輿
鬼二宿間，該星與二宿同現於晨之東方，與斗、牽牛二宿相對。
16
《淮南子》所謂?歲和?，指相安諧和之年也。是歲有小雨，蠶繭豐登，大
豆與麥生長茂盛。是年人日食三升。
《曆術甲子篇》曰：十二。
大餘十九，小餘六百一十四；大餘三十六，小餘二十四。
因25+54=79，79÷60=1，餘數為19，故第一大餘為19。
分數和為940266+940348=940614，故第一小餘為940614，只取分子六百一十四。
以上之算法其實為25940266+54940348=79940614。79940614除以60，商為1，餘
數為19940614。第一個帶分數乃上年之第一餘數。
又3142+541=3643，除以60後，即得數為3643，即第二大餘為36，第
二小餘為43，即24分。前分數乃上年之第二餘數。
是年為天漢三年，庚申歲。無閏月。
(8)《曆術甲子篇》曰：昭陽作鄂，四年。
【索隱】：昭陽，辛也，《爾雅》作﹡重光﹢。作鄂，酉也。四年。
【正義】：四年，辛酉歲也。
《史記?天官書》：
作鄂歲：歲陰在酉，星居午。以八月與柳、七星、張晨出，曰長王。作
作有芒。國其昌，熟穀。其失次，有應見危。有旱而昌，有女喪，民疾。
《淮南子?天文》：
太陰在酉，歲名作鄂，歲星舍柳、七星、張，以六月與之晨出東方，須
女、虛、危為對。
《淮南子?天文》又曰：
作鄂之歲，歲有大兵，民疾，蠶不登，菽、麥不為，禾蟲，民食五升。
酉。在辛曰重光。
《漢書?天文志》：
在酉曰﹡作詻﹢。《爾雅》作﹡作噩﹢。八月出，石氏曰名長壬，在柳、
七星、張。失次，杓，有女喪、民疾。甘氏在注、張。失次，杓，有火。
太初在角、亢。
17
《爾雅》以?重光?為辛，《淮南子》亦云在?辛曰重光?，非昭陽。《曆
術甲子篇》則以昭陽為辛，【索隱】亦接受以昭陽為辛之說。作鄂，《爾雅》作
?作噩?，酉也。噩，古通鄂。下文亦有年份作噩。
太陰在酉，則歲星夏正六月﹝《史記?天官書》為周正八月﹞處於柳、七星、
張三宿間，該星與三宿同現於晨之東方，與女、虛、危三宿相對。
是歲有大規模戰事，民生疾苦，蠶繭歉收，大豆與麥亦歉收，禾有蟲害。民
得食日五升。
《曆術甲子篇》曰：閏十三。
大餘十四，小餘二十二；大餘四十二，無小餘。
因19+54=73，73÷60=1，餘數為13。
分數和為940614+940348=940962=194022。進1，故第一大餘為14。第一小餘
為94022，只取分子二十二。
以上之算法其實為19940614+54940348=73940962=7494022。7494022除以60，
商為1，餘數為1494022。第一個帶分數乃上年之第一餘數。
又3643+541=42，除以60後，即得第二大餘為42，無第二小餘。前分數
乃上年之第二餘數。
是年為辛酉年，天漢四年，有閏月。
(9)《曆術甲子篇》曰：橫艾淹茂，太始元年。
【索隱】：橫艾，壬也，《爾雅》作﹡玄黓﹢。淹茂，戌也。太始元年。
【正義】：太始元年，壬戌歲也。
《史記?天官書》：
閹茂歲：歲陰在戌，星居巳。以九月與翼、軫晨出，曰天睢。白色大明。
其失次，有應見東壁。歲水，女喪。
《淮南子?天文》：
太陰在戌，歲名曰閹茂，歲星舍翼、軫，以七月與之晨出東方，營室、
東壁為對。
《淮南子?天文》又曰：
掩茂之歲，歲小饑，有兵，蠶不登，麥不為，菽昌，民食七升。戌。在
18
壬曰玄黓。
《漢書?天文志》：
在戌曰掩茂。九月出，石氏曰名天睢，在翼、軫。失次，杓，水。甘氏
在七星、翼。太初在氐、房、心。
《爾雅》云在壬為?玄黓?，《淮南子》依此說，非?橫艾?。【索隱】亦
云《爾雅》作?玄黓?，唯【索隱】亦接受以昭陽為辛之說。淹茂，戌也。《爾
雅》與《史記?天官書》均作“閹茂?。?淹?與“閹?音同而字異。?黓?粵
音?亦?。
太陰在戌，則歲星夏正七月﹝《史記?天官書》為周正九月﹞處於翼、軫二
宿間，該星與二宿同現於晨之東方，與營室、東壁二宿相對。
是歲有穀不熟，有戰爭，蠶繭歉收，麥因不熟而歉收，唯大豆茂盛，民得食，
日食七升。
《曆術甲子篇》曰：十二。
大餘三十七，小餘八百六十九；大餘四十七，小餘八。
因14+54+29=97，97÷60=1，餘數為37，即第一大餘為37。
分數和為94022+940348+940499=940869。故第一小餘為940869，只取分子八百
六十九。
以上之算法其實為1494022+54940348+29940499=97940869。97940869除以60，
商為1，餘數為37940869。第一個帶分數乃上年之第一餘數，第三分數乃上年
有閏月所加之分數。
又42+541=4741，即第二大餘為47，第二小餘為41度，即8﹝分﹞。前
數乃上年之第二餘數。
是年為壬戌年，即太始元年。無閏月。
(10)《曆術甲子篇》曰：尚章大淵獻，二年。
【索隱】：尚章，癸也，《爾雅》作﹡昭陽﹢也。困敦，亥也。天官書子為
困敦，《爾雅》同。二年。
【正義】：二年，癸亥歲也。
《史記?天官書》：
大淵獻歲：歲陰在亥，星居辰。以十月與角、亢晨出，曰大章。蒼蒼然，
19
星若躍而陰出旦，是謂﹡正平﹢。起師旅，其率必武；其國有德，將有
四海。其失次，有應見婁。
《淮南子?天文》：
太陰在亥，歲名大淵獻，歲星舍角、亢，以八月與之晨出東方，奎、婁
為對。
《淮南子?天文》又曰：
大淵獻之歲，歲有大兵，大饑，蠶開，菽、麥不為，禾蟲，民食三升。
亥，在癸曰昭陽。
《漢書?天文志》：
在亥曰大淵獻。十月出，石氏曰名天皇，在角、亢始。甘氏在軫、角、
亢。太初在尾、箕。
《爾雅》云在癸為?昭陽?，《淮南子》依此說，非?尚章?。【索隱】亦
云《爾雅》作?昭陽?，唯【索隱】亦接受以尚章為癸之說。【索隱】以困敦為
亥，可能乃當時流行之說法。他家均以大淵獻為亥。
太陰在亥，則歲星夏正八月﹝《史記?天官書》為周正十月﹞處於角、亢二
宿間，該星與二宿同現於晨之東方，與奎、婁二宿相對。
是歲有大規模戰事，有饑荒，大豆與麥因不熟歉收，禾有蟲害，蠶繭開口而
不能成繭。民日食只有三升。
《曆術甲子篇》曰：閏十三。
大餘三十二，小餘二百七十七；大餘五十二，小餘一
十六。
因37+54=91，91÷60=1，餘數為31。
分數和為940869+940348=9401217=1940277。進1，故第一大餘為32。第一小餘
為940277，只取分子二百七十七。
以上之算法其實為37940869+54940348=919401217=92940277。92940277除以60，
商為1，餘數為32940277。第一個帶分數乃上年之第一餘數。
又4741+541=5242，除以60後，即得第二大餘為52，第二小餘為42度，
即16﹝分﹞。前分數乃上年之第二餘數。
是年為癸亥年，太始二年，有閏月。
20
(11)《曆術甲子篇》曰：焉逢困敦，三年。
【索隱】：焉逢，甲也。大淵獻，子也。天官書亥為大淵獻，與《爾雅》同。
三年也。
【正義】：敦音頓。三年，甲子歲也。
《史記?天官書》：
困敦歲：歲陰在子，星居卯。以十一月與氐、房、心晨出，曰天泉。玄
色甚明。江池其昌，不利起兵。其失次，有應見昴。
《淮南子?天文》：
太陰在子，歲名困敦，歲星舍氐、房、心，以九月與之晨出東方，胃、
昴、畢為對。
《淮南子?天文》又曰：
困敦之歲，歲大霧起，大水出，蠶登、稻疾、菽、麥昌，民食三升。
在子曰困敦。十一月出，石氏曰名天宗，在氐、房始。甘氏同。太初在
建星、牽牛。
十天干排列完畢，重回至甲之焉逢。【索隱】以大淵獻為子，非困敦，此亦
可能為當時流行之說法。依《爾雅》所云?在子曰困敦?，而《淮南子?天文》
亦以困敦為子。《曆術甲子篇》依《爾雅》以子為困敦。
太陰在子，則歲星夏正九月﹝《史記?天官書》為周正十一月﹞處於氐、房、
心三宿間，該星與三宿同現於晨之東方，與胃、昴、畢三宿相對。
是歲有大霧，有水災，蠶繭豐登，稻有蟲害。大豆、麥茂盛。民得食，日可
食三升。
《曆術甲子篇》曰：十二。
大餘五十六，小餘一百八十四；大餘五十七，小餘二十
四。
因32+54+29=115，115÷60=1，餘數為55。
分數和為940277+940348+940499=9401124=1940184。進1，故第一大餘為56。
第一小餘為940184，只取分子一百八十四。
以上之算法其實為32940277+54940348+29940499=1159401124=116940184。
21
116940184除以60，商為1，餘數為56940184。第一個帶分數乃上年之第一餘數，
第三分數乃上年有閏月所加之分數。
又5242+541=5743，除以60後，即得餘數為5743，即第二大餘為57，
第二小餘為43度，即24﹝分﹞。前分數乃上年之第二餘數。
是年為甲子年，太始三年，無閏月。
(12)《曆術甲子篇》曰：端蒙赤奮若，四年。
【索隱】：端蒙，乙也。汭漢，丑也。天官書作﹡赤奮若﹢，與《爾雅》同。
四年。已後自太始、征和已下訖篇末，其年次甲乙皆准此。並褚
先生所續。
【正義】：四年，乙丑歲也。
《史記?天官書》：
赤奮若歲：歲陰在丑，星居寅，以十二月與尾、箕晨出，曰天皓。黫然
黑色甚明。其失次，有應見參。
《淮南子?天文》：
太陰在丑，歲名曰赤奮若，歲星舍尾、箕，以十月與之晨出東方，觜嶲、
參為對。
《淮南子?天文》又曰：
赤奮若之歲，歲有小兵，早水，蠶不出，稻疾，菽不為，麥昌，民食一
升。
在丑曰赤奮若。十二月出，石氏曰名天昊，在尾、箕。甘氏在心、尾。
太初在婺女、虛、危。
《爾雅》云在?丑曰赤奮若?，【索隱】則以?汭漢?為丑，此可能乃當時
之流行說法，但【索隱】又不能抹殺《爾雅》及天官書之說法，故一併提及。
太陰在丑，則歲星夏正十月﹝《史記?天官書》為周正十二月﹞處於尾、箕
二宿間，該星與二宿同現於晨之東方，與觜嶲、參二宿相對。
此歲有規模戰爭，歲初有水災，蠶卵不能孵出小蠶，稻有蟲害，大豆因不熟
而歉收，唯麥昌盛，民只能日食一升。
【索隱】並提及?褚先生所續?之說法。?褚先生?者褚少孫也，但【索隱】
無言明。又《史記?漢興以來將相名臣年表》?太始元年?條下，【索隱】注曰:
?裴駰以爲自天漢已後，後人所續，即褚先生所補也。?裴駰此處無說明續者為
22
褚先生，但可斷為褚先生。
褚少孫，西漢元、成間博士。潁川（今河南禹縣）人。唐書法家褚遂良為其
後人。從大儒王式游。漢成帝時受業博士，治《春秋》，爲侍郎，後爲博士。
約卒於漢元帝初四、五年﹝前45年至前44年﹞間。
司馬遷撰《史記》，歿後，有十篇散失，褚少孫補之。據裴駰引三國?張晏
曰：
遷沒之後，亡《景紀》、《武紀》、《禮書》、《樂書》、《律書》、《漢
興以來將相年表》、《日者列傳》、《三王世家》、《龜策列傳》、《傅靳
蒯成列傳》。褚先生補闕，…。
引文之《景紀》與《武紀》乃指《景帝本紀》與《武帝本紀》。其實褚
少孫於《史記》中之續文頗多，今本《史記》中凡褚少孫所補者多標以?褚
先生曰?，與張晏所言十篇不合。
《曆術甲子篇》曰：十二。
大餘五十，小餘五百三十二；大餘三，無小餘。
因56+54=110，110÷60=1，餘數為50。
分數和為940184+940348=940532。故第一小餘為940532，只取分子五百三十二。
以上之算法其實為56940184+54940348=110940532。110940532除以60，商為1，
餘數為50940532。第一個帶分數乃上年之第一餘數。
又5743+541=63，63÷60=1，餘數為3，即第二大餘為3，無第二小餘。
前分數乃上年之第二餘數。
是年為乙丑年，太始四年，無閏月。
(13)《曆術甲子篇》曰：游兆攝提格，征和元年。
【集解】：徐廣曰：﹡作﹟遊桃﹠。﹢
【正義】：李巡注《爾雅》云：﹡萬物承陽而起，故曰攝提格。格，起也。﹢
孔文祥云：﹡以歲在寅正月出東方，為眾星之紀，以攝提宿，故
曰攝提；以其為歲月之首，起於孟陬，故云格，正也。﹢
【集解】引徐廣之說作﹡遊桃﹢，﹡桃﹢可能乃﹡兆﹢之訛。
《曆術甲子篇》曰：閏十三。
大餘四十四，小餘八百八十；大餘八，小餘八。
23
因50+54=104，104÷60=1，餘數為44。
分數和為940532+940348=940880。故第一小餘為940880，只取分子八百八十。
以上之算法其實為50940532+54940348=104940880。104940880除以60，商為1，
餘數為44940880。第一個帶分數乃上年之第一餘數。
又3+541=841，除以60後，即得大第二餘為8，第二小餘為41，即8﹝分﹞。
前分數乃上年之第二餘數。
是年為丙寅年，征和元年，有閏月。
(14)《曆術甲子篇》曰：彊梧單閼，二年。
【正義】：李巡云；﹡言陽氣推萬物而起，故曰單閼。﹢單，盡；閼，止也。
《曆術甲子篇》曰：十二。
大餘八，小餘七百八十七；大餘十三，小餘十六。
因44+54+29=127，127÷60=2，餘數為7。
分數和為940880+940348+940499=9401727=1940787。進1，故第一大餘為8；小
餘為940787，只取分子七百八十七。
以上之算法其實為44940880+54940348+29940499=1279401727=128940787。
128940787除以60，商為2，餘數為8940787。第一個帶分數乃上年之第一餘數，
第三分數乃上年有閏月所加之分數。
又841+541=1342，除以60後，即得餘數為1342，即第二大餘為13，第
二小餘為42度，即16﹝分﹞。前分數乃上年之第二餘數。
是年為丁卯年，征和二年，無閏月。
(15)《曆術甲子篇》曰：徒維執徐，三年。
【正義】：李巡云：﹡伏蟄之物皆敷舒而出，故云執徐也。﹢
《曆術甲子篇》曰：十二。
24
大餘三，小餘一百九十五；大餘十八，小餘二十四。
因8+54=62，62÷60=1，餘數為2。
分數和為940787+940348=9401135=1940195。進1，故第一大餘為3；小餘為
940195，只取分子一百九十五。
以上之算法其實為8940787+54940348=629401135=63940195。63940195除以60，商
為1，餘數為3940195。第一個帶分數乃上年之第一餘數。
又1342+541=1843，除以60後，即得餘數為1843，即第二大餘為18，
第二小餘為43度，即24﹝分﹞。前分數乃上年之第二餘數。
是年為戊辰年，征和三年，無閏月。
(16)《曆術甲子篇》曰：祝犁大芒落，四年。
【集解】：芒，一作﹡荒﹢。
【正義】：姚察云：﹡言萬物皆熾盛而大出，霍然落之，故云荒落也。﹢
《曆術甲子篇》曰：閏十三。
大餘五十七，小餘五百四十三；大餘二十四，無小餘。
大芒落即大荒落。
因3+54=57，57÷60=0，餘數為57。
分數和為940195+940348=940543。故第一小餘為940543，只取分子五百四十三。
以上之算法其實為3940195+54940348=57940543。57940543除以60，商為0，餘數
為57940543。第一個帶分數乃上年之第一餘數。
又1843+541=24，除以60後，即得餘數為24，即第二大餘為24，無第
二小餘。前分數乃上年之第二餘數。
是年為己巳年，征和四年，有閏月。
(17)《曆術甲子篇》曰：商橫敦牂，後元元年。
25
【正義】：孫炎注《爾雅》云：﹡敦，盛也。牂，壯也。言萬物盛壯也。﹢
《曆術甲子篇》曰：十二。
大餘二十一，小餘四百五十；大餘二十九，小餘八。
因57+54+29=140，140÷60=2，餘數為20。
分數和為940543+940348+940499=9401390=1940450。進1，故第一大餘為21。第
一小餘為940450，只取分子四百五十。
以上之算法其實為57940543+54940348+29940499=1409401390=141940450。
141940450除以60，商為2，餘數為21940450。第一個帶分數乃上年之第一餘數，
第三分數乃上年有閏月所加之分數。
又24+541=2941，除以60後，即得餘數為2941，即第二大餘為29，第
二小餘為41，即8﹝分﹞。前數乃上年之第二餘數。
是年為庚午年，即後元元年，無閏月。
(18)《曆術甲子篇》曰：昭陽汁洽，二年。
【集解】：汁，一作﹡協﹢。
【正義】：李巡云：﹡言陰陽化生，萬物和合，故曰協治也。﹢
《曆術甲子篇》曰：閏十三。
大餘十五，小餘七百九十八；大餘三十四，小餘十六。
因21+54=75，75÷60=1，餘數為15。
分數和為940450+940348=940798。故第一小餘為940798，只取分子七百九十八。
以上之算法其實為21940450+54940348=75940798。75940798除以60，商為1，餘
數為15940798。第一個帶分數乃上年之第一餘數。
又2941+541=3442，除以60後，即得餘數為3442，即第二大餘為34，
第二小餘為42度，即16﹝分﹞。前分數乃上年之第二餘數。
26
是年為辛未年，即後元二年，有閏月。
(19)《曆術甲子篇》曰：橫艾涒灘，始元元年。
【集解】：涒灘，一作﹡芮漢﹢。
【正義】：孫炎注爾雅云：﹡涒灘，萬物吐秀傾垂之貌也。﹢
《曆術甲子篇》曰：正西。十二。
大餘三十九，小餘七百五；大餘三十九，小餘二十四。
因15+54+29=98，98÷60=1，餘數為38。
分數和為940798+940348+940499=9401645=1940705。進1，故第一大餘為39。第
一小餘為940705，只取分子七百零五。
以上之算法其實為15940798+54940348+29940499=989401645=99940705。99940705除
以60，商為1，餘數為39940705。第一個帶分數乃上年之第一餘數，第三分
數乃上年有閏月所加之分數。
又3442+541=3943，除以60後，即得餘數為3943，即第二大餘為39，
第二小餘為43度，即24﹝分﹞。前分數乃上年之第二餘數。
是年為壬申年，即始元元年，無閏月。
(20)《曆術甲子篇》曰：尚章作噩，二年。
【集解】：噩，一作﹡鄂﹢。
【正義】：李巡云：﹡作鄂，萬物皆落枝起之貌也。?
《曆術甲子篇》曰：十二。
大餘三十四，小餘一百一十三；大餘四十五，無小餘。
因39+54=93，93÷60=1，餘數為33。
分數和為940705+940348=9401053=1940113。進1，故第一大餘為34。第一小餘
為940113，只取分子一百一十三。
以上之算法其實為39940705+54940348=939401053=94940113。94940113除以60，
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商為1，餘數為34940113。第一個帶分數乃上年之第一餘數。
又3943+541=45，除以60後，即得餘數為45，即第二大餘為45，無第
二小餘。前分數乃上年之第二餘數。
是年為癸酉年，即始元二年，無閏月。
(21)《曆術甲子篇》曰：焉逢淹茂，三年。
【集解】：淹，一作﹡閹﹢。
【正義】：李巡云：﹡言萬物皆蔽冒，故曰閹茂。閹，蔽也。茂，冒也。?
《曆術甲子篇》曰：閏十三。
大餘二十八，小餘四百六十一；大餘五十，小餘八。
因34+54=88，88÷60=1，餘數為28。
分數和為940113+940348=940461。第一小餘為940461，只取分子四百六十一。
以上之算法其實為34940113+54940348=88940461。88940461除以60，商為1，餘
數為28940461。第一個帶分數乃上年之第一餘數。
又45+541=5041，除以60後，即得餘數為5041，即第二大餘為50，第
二小餘為41，即8﹝分﹞。前分數乃上年之第二餘數。
是年為甲戌年，即始元三年，有閏月。
(22)《曆術甲子篇》曰：端蒙大淵獻，四年。
【正義】：孫炎云：﹡淵獻，深也。獻萬物於天，深于藏蓋也。﹢
《曆術甲子篇》曰：十二。
大餘五十二，小餘三百六十八；大餘五十五，小餘十六。
因28+54+29=111，111÷60=1，餘數為51。
分數和為940461+940348+940499=9401308=1940368。進1，故第一大餘為52。小
餘為940368，只取分子三百六十八。
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以上之算法其實為28940461+54940348+29940499=1119401308=112940368。
112940368除以60，商為1，餘數為52940368。第一個帶分數乃上年之第一餘數，
第三分數乃上年有閏月所加之分數。
又5041+541=5542，除以60後，即得餘數為5542，即第二大餘為55，
第二小餘為42，即16﹝分﹞。前分數乃上年之第二餘數。
是年為乙亥年，即始元四年，無閏月。
(23)《曆術甲子篇》曰：遊兆困敦，五年。
【正義】：孫炎云：﹡困敦，混沌也。言萬物初萌，混沌於黃泉之下也。?
《曆術甲子篇》曰：十二。
大餘四十六，小餘七百一十六；無大餘，小餘二十四。
因52+54=106，106÷60=1，餘數為46，即第一大餘為46。
分數和為940368+940348=940716。即第一小餘為940716，只取分子七百一十六。
以上之算法其實為112940368+54940348=106940716。106940716除以60，商為1，
餘數為46940716。第一個帶分數乃上年之第一餘數。
又5542+541=6043，6043÷60=1，餘數為43，即第二大餘為0，第二小
餘為43，即24﹝分﹞。前分數乃上年之第二餘數。
是年為丙子年，即始元五年，無閏月。
﹝本文尚有第二部分﹞
1見前節﹝第2頁﹞之表。歲陰左行在寅，則歲星右轉居丑，其餘可類推。
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