720815 / 平面解析几何 / 抛物线的几何性质

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抛物线的几何性质

2013-08-17  720815

课程信息

本讲教育信息

. 教学内容:

抛物线的几何性质

 

. 重点、难点:

1. 重点:

    抛物线的性质,焦半径,焦点弦的应用,数形结合。

2. 难点:

注意抛物线与椭圆、双曲线的联系。

 

【典型例题】

[1] 给定抛物线,设A)(),P是抛物线上的一点,且,试求的最小值。

解:)(      

∴(1)当时,,此时当时,

2)当时,,此时当时,

 

[2] 过抛物线的焦点作倾斜角为的直线,设交抛物线于AB两点,求

解:时,直线AB的方程为

A)、B 

时,直线AB的方程为

A)、B),则

 

[3] 过抛物线的准线与对称轴的交点作直线,交抛物线于MN两点,问直线的倾斜角多大时,以线段MN为直径的圆经过抛物线的焦点?

解:抛物线的准线与对称轴的交点为(),设直线MN的方程为

 

直线与抛物线交于MN两点   

M),N),抛物线焦点为F10

以线段MN为直径的圆经过抛物线的焦点

MFNF      

同号

   解得   

即直线的倾斜角为时,以线段MN为直径的圆经过抛物线的焦点。

 

[4] 过抛物线的焦点F的直线与抛物线交于AB两点,求的值。

解:如图所示,设A)、B),AB的方程为

   

    

       

 

[5] 如图,已知直线交抛物线AB两点,试在抛物线AOB这段曲线上求一点P,使的面积最大,并求这个最大面积。

解:解得A44)、B1),知,所以直线AB的方程为

P)为抛物线AOB这条曲线上一点,P点到直线AB的距离

   

     

从而当时,

因此,当点P坐标为时,

 

[6] 已知直线与曲线在第一象限有公共点,求的取值范围。

解:如图,易知抛物线与轴交于A01)、B03

直线恒过C),由图象及抛物线的延伸趋势可知

大于零且小于BC的斜率时满足题意

,故

 

[7] 设抛物线的焦点为F,经过点F的直径交抛物线于AB两点,点C在抛物线的准线上,且BC//轴,证明:直线AC经过原点O

证法一:因为抛物线的焦点坐标为F

所以经过点F的直线AB的方程为

代入抛物线方程得0

A)、B),则

BC//轴,且点C在准线    C的坐标为

故直线OC的斜率为

也是OA的斜率,所以直线AC经过原点O

证法二:如图所示,设轴与抛物线准线的交点为E,过点AADD为垂足

。连结AC,与EF相交于N,则

,根据抛物线的几何性质,得  

   

N是线段EF的中点,与抛物线的顶点O重合   直线AC经过点O

证法三:A)、B),由已知C

直线AC的方程为,把原点的坐标代入,得

   利用得上面等式恒成立

直线AC经过点O

证法四:A)、B),由已知得C),

  

O是公共点    AOC共线,即AC过点O

 

[8] 如果抛物线上总有关于直线对称的相异两点,试求的范围。

方法一:设抛物线上关于对称的相异两点坐标为A)、B

两点都在抛物线上   

1)-(2),得        3

3)代入(2),得

,且相异   

    的取值范围是(

方法二:设抛物线上关于直线对称的两点所在直线方程为,代入,得

,且两点为相异两点   

   1   设两对称点为A)、B

  

,即  2

2)代入(1),得   的取值范围是(

 

【模拟试题】(答题时间:60分钟)

. 选择题:

1. 等腰直角三角形AOB内接于抛物线O为抛物线的顶点,OAOB,则的面积是(   

    A.     B.     C.     D.

2. 已知点()在抛物线上,则的最小值是(   

    A. 2    B. 3    C. 4    D. 0

3. 已知AB是抛物线上两点,O为坐标原点,若的垂心恰是此抛物线的焦点F,则直线AB的方程是(   

    A.     B.     C.     D.

4. 已知点A),的焦点是FP上的点,为使取得最小值,P点的坐标是(   

    A.     B.     C.     D.

5. 抛物线与直线的一个交点是(12),则抛物线的焦点到直线的距离为(   

    A.     B.     C.     D.

6. 抛物线的焦点F,点P在抛物线上,若,则P点的坐标为(   

    A.     B.     C.     D.

7. 过抛物线的焦点作直线交抛物线于A)、B)两点,如果,那么   

    A. 10    B. 8    C. 6    D. 4

8. 过抛物线)的焦点F作一直线交抛物线于PQ两点,若线段PFFQ的长分别是,则的值为(   

A.     B.     C.     D.

 

. 填空:

1. 过抛物线的焦点,倾斜角为的直线被抛物线截得的弦长为       

2. 抛物线的焦点为F,准线轴于点R,过抛物线上一点P44)作PQ于点Q,则梯形PQRF的面积是     

3. 线段AB是抛物线的一条焦点弦,且,则线段AB的中点C到直线的距离是      

4. 抛物线顶点在原点,焦点在坐标轴上,抛物线上点A)到焦点的距离为5,则抛物线方程为       

 

. 解答题:

1. 已知抛物线上有三点A)、B)、C)且,若线段ABBC轴上射影之长相等,求证:ABC三点到焦点的距离顺次成等差数列。

2. 过抛物线的顶点作互相垂直的两条直线,交抛物线于AB两点,求线段AB中点的轨迹方程

3. 设抛物线的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于AB两点,点C在抛物线的准线上,且BC轴。证明:直线AC经过原点O

 


【试题答案】

.

1. B    2. B    3. D    4. A   5. B    6. C    7. B    8. C

 

.

1. 16   2. 14   3.    4.

 

.

1. 证明:根据题意,得,即成等差数列

又由抛物线的定义得

成等差数列

2. 解:设线段AB的中点为P),OA的斜率为,则直线的方程为

依题意得A点的坐标为A

OAOB  OB的斜率为,直线OB的方程为

    B点的坐标为

线段AB的中点P)满足

2)式平方后减去(1)×3,得为所求。

3. 证明:∵ 抛物线的焦点为F  

经过点F的直线AB的方程可设为

代入抛物线方程,得

,则是该方程的两根  

BC//轴,且点C在准线

C的坐标为(   直线OC的斜率为

也是直线OA的斜率     直线AC经过原点O

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