期末复习：圆锥曲线与方程

本讲教育信息】

一. 教学内容：

       期末复习：圆锥曲线与方程

 

［学习目标］

圆锥曲线将几何与代数进行了结合，高考中是重点，主客观题必不可少，易、中、难题皆有。重点掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义和性质，重视求曲线的方程或曲线的轨迹，加强直线与圆锥曲线的位置关系问题的探究。这类问题常涉及到圆锥曲线的性质和直线的基本知识点、线段的中点、弦长、垂直问题，因此分析问题时利用数形结合思想和设而不求法与弦长公式及韦达定理联系去解决，这样加强了对数学各种能力的考查，重视对数学思想、方法进行归纳提炼，达到优化解题思维、简化解题过程。

 

［考点分析］

1、知识框图：

2、知识归纳：

名 称	椭圆	双曲线
图 象
定 义	平面内到两定点的距离的和为常数（大于）的动点的轨迹叫椭圆即   当2﹥2时，轨迹是椭圆，   当2＝2时，轨迹是一条线段   当2﹤2时，轨迹不存在	平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数（小于）的动点的轨迹叫双曲线即 当2﹤2时，轨迹是双曲线 当2＝2时，轨迹是两条射线 当2﹥2时，轨迹不存在
标准方 程	焦点在轴上时：    焦点在轴上时： 注：根据分母的大小来判断焦点在哪一坐标轴上	焦点在轴上时：  焦点在轴上时：
常数的关 系	，，   最大，	， 最大，可以
渐近线		焦点在轴上时： 焦点在轴上时：

抛物线：

图形
方程
焦点
准线

3、椭圆的性质：由椭圆方程

    （1）范围：，椭圆落在组成的矩形中。

    （2）对称性：图象关于y轴对称，图象关于x轴对称。图象关于原点对称。

    （3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点

    椭圆共有四个顶点：，。

叫椭圆的长轴，长为2 a，叫椭圆的短轴，长为2b。

    （4）离心率：椭圆焦距与长轴长之比。。（）

    （5）椭圆的第二定义：一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个内常数，那么这个点的轨迹叫做椭圆。

椭圆的第二定义与第一定义是等价的，它是椭圆两种不同的定义方式

    （6）椭圆的准线方程

    对于，左准线；右准线

对于，下准线；上准线

焦点到准线的距离（焦参数）

4、双曲线的几何性质：

    （1）顶点

    顶点：，特殊点：

    实轴：长为2a，a叫做实半轴长。虚轴：长为2b，b叫做虚半轴长。

    双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异。

    （2）渐近线

    双曲线的渐近线（）

    （3）离心率

    双曲线的焦距与实轴长的比，叫做双曲线的离心率范围：e>1

    （4）等轴双曲线

    定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。

    等轴双曲线的性质：a、渐近线方程为：；

b、渐近线互相垂直；

c、离心率。

    （5）共渐近线的双曲线系：如果已知一双曲线的渐近线方程为，那么此双曲线方程写成。

    （6）共轭双曲线

    以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线。

    （7）双曲线的第二定义：到定点F的距离与到定直线的距离之比为常数的点的轨迹是双曲线。

    （8）双曲线的准线方程：

    对于来说，左准线，右准线；

    对于来说，下准线；上准线。

    焦点到准线的距离（也叫焦参数）。

5、抛物线的几何性质

    （1）顶点：抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点. 在方程中，当y＝0时，x＝0，因此抛物线的顶点就是坐标原点。

    （2）离心率： 抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示。由抛物线的定义可知，e＝1。

 

【典型例题】

例1、已知一曲线是与两个定点O（0，0），A（3，0）距离的比为的点的轨迹，求此曲线的方程，并说明轨迹是什么图形。

解：设点M（x，y）是曲线上的任意一点，由两点间的距离公式，点M所适合的条件可以表示为。

将上式两边平方，得

化简得x²＋y²＋2x－3=0，

这就是所求的曲线方程.

把x²＋y²＋2x－3=0的左边配方，得（x＋1）²＋y²=4.

所以此轨迹是以C（－1，0）为圆心，2为半径的圆。

 

例2、已知双曲线的中心在原点，焦点、在坐标轴上，一条渐近线方程为，且过点（4，）。

（1）求双曲线方程；

（2）若点M（3，）在此双曲线上，求；

（3）求的面积。

解：

（1）由题意知，双曲线的方程是标准方程

∵ 双曲线的一条渐近线方程为  

∴ 设双曲线方程为

把点（4，）代入双曲线方程得，

∴ 所求双曲线方程为

（2）由（1）知双曲线方程为

∴ 双曲线的焦点为、  

∵ M点在双曲线上

∴ ，

∴

            

（3）∵    

∴    

∴ 为直角三角形

∵

∴

 

例3、如图，F₁、F₂为椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右两个焦点，直线l：y =2x ＋5与椭圆C交于两点P₁、P₂，已知椭圆中心O点关于l的对称点恰好落在C的左准线l'上。

    （1）求准线l′的方程；

（2）已知·、－a²、·成等差数列，求椭圆C的方程。

解：（1）设中心O关于l的对称点为Q（x₀，y₀），

则                       

解得又点Q在左准线l′上，

∴l′的方程为x=－4.

（2）设P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂）、F₁（－c，0）、F₂（c，0）.

∵·，－a²， ·成等差数列，

∴·＋·=－a²，

即（＋）·=－a².

（x₁＋x₂，y₁＋y₂）·（c，0）=－a²，c（x₁＋x₂）=－a².

∴x₁＋x₂=.

由得（4a²＋b²）x²＋20a²x＋25a²－a²b²=0.

∴x₁＋x₂=－，∴=－，18c=4a²＋b².

又=4，∴a²=8，b²=4.

∴椭圆C的方程为=1.

 

例4、求渐近线为  ，且与直线5x－6y－8=0相切的双曲线方程.

解析：方法一：设双曲线（t≠0），和直线相切，联立方程组消去x，得，则有：

，解得t=1，故所求双曲线方程为

方法二：由双曲线方程x±2y=0，故可设双曲线方程为x²－4y²=λ，（λ≠0），它和直线5x－6y－8=0切于点P（x₁，y₁），

∴切线方程为x₁x－4y₁y=λ，

∵x₁x－4y₁y=λ与5x－6y－8=0重合，

      ∴

    解得，，代入，得λ=4

故所求双曲线方程为x²－4y²=4

 

例5、在双曲线 的一支上不同的三点与焦点的距离成等差数列。

    （1）试求y₁＋y₂，

（2）证明线段AC的垂直平分线经过某一定点，并求该定点坐标。

解析：

则A、B、C三点的焦半径

∵2|FB|=|FC|＋|FA|

∴y₁＋y₂=12。

（2）∵A、C均在双曲线上，

 

【模拟试题】

一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

1. 若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为（   ）

A.            B.              C.                  D.

2. 已知双曲线，则双曲线右支上的点到右焦点的距离与点到右准线的距离之比等于（   ）

A.                 B.           C. 2                      D. 4

3. 已知两点M（－2，0）、N（2，0），点P为坐标平面内的动点，满足＝0，则动点P（x，y）的轨迹方程为（   ）

A.            B.          C.                   D.

4. 设O为坐标原点，F为抛物线y²＝4x的焦点，A是抛物线上一点，若＝－4，则点A的坐标是（   ）

A. （2，±2）                         B. （1，±2）       

C.（1，2）                                D.（2，2）

5. P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆（x＋5）²＋y²＝4和（x－5）²＋y²＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为（   ）

A. 6            B. 7              C. 8                  D. 9

6. 已知A、B、C三点在曲线y=上，其横坐标依次为1，m，4（1＜m＜4），当△ABC的面积最大时，m等于（    ）

A. 3                      B.                     C.                           D.

 

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

7. 已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（－2，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是                              。

8. 已知△ABC的顶点B、C在椭圆＋y²＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是                             。

9. 抛物线上的点到直线距离的最小值是                       。

10. 已知双曲线=1（a＞0，b＞0）上一点P到两焦点F₁、F₂的距离分别是6和2，点M（，0）到直线PF₁和PF₂的距离相等，则此双曲线的方程为___________。

 

三、解答题（本大题共4题，共50分）

11. 已知直线y=kx－1与双曲线x²－y²=1的左支交于A、B两点，若另一条直线l经过点P（－2，0）及线段AB的中点Q，求直线l在y轴上的截距b的取值范围。

12. 已知、 是双曲线的两个焦点，点 在双曲线上且满足 ，求 的面积。

13. 已知一曲线是与两个定点O（0，0），A（3，0）距离的比为的点的轨迹，求此曲线的方程，并说明轨迹是什么图形。

14. 过抛物线y²=4x的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点。

（1）求AB的中点C到抛物线准线的距离；

（2）求线段AB的长。

 

【试题答案】

1. 解：椭圆的右焦点为（2，0），所以抛物线的焦点为（2，0），则，故选D。

2. 解析：依题意可知 ，，故选C。

3. 解：设，，，

则由，

则，化简整理得所以选B。

4. 解：F（1，0）设A（，y₀）则＝（ ，y₀），＝（1－，－y₀），由· ＝－4Ty₀＝±2，故选B。

5. 解：设双曲线的两个焦点分别是F₁（－5，0）与F₂（5，0），则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P与M、F₁三点共线以及P与N、F₂三点共线时所求的值最大，此时|PM|－|PN|＝（|PF₁|－2）－（|PF₂|－1）＝10－1＝9。故选D。

6. 解析：由题意知A（1，1），B（m，），C（4，2）.

直线AC所在方程为x－3y＋2=0，

点B到该直线的距离为d=.

∵m∈（1，4），∴当时，S_△ABC有最大值，此时m=.

答案：B

7. 解：已知为所求；

8. 解析（数形结合）由椭圆的定义：椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a，可得的周长为4a=

9. 解：设抛物线上一点为（m，－m²），该点到直线的距离为，当m=时，取得最小值为

10. 解析：由三角形内角平分线性质定理得

.

∴c=3.而2a=6－2，∴a=2.∴b²=5.

∴双曲线方程为=1.

11. 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）.

由，得（1－k²）x²＋2kx－2=0，

又∵直线AB与双曲线左支交于A、B两点，

故有

解得－＜k＜－1

12. 解：∵ 为双曲线 上的一个点且 、 为焦点.

　　∴　∵

　　∴在 中，

　　∵

　　∴ 　∴

　　∴

13. 解：设点M（x，y）是曲线上的任意一点，由两点间的距离公式，点M所适合的条件可以表示为

将上式两边平方，得

化简得x²＋y²＋2x－3=0，

这就是所求的曲线方程.

把x²＋y²＋2x－3=0的左边配方，得（x＋1）²＋y²=4.

所以此轨迹是以C（－1，0）为圆心，2为半径的圆.

14. 解：（1）抛物线y²=4x的焦点坐标为（1，0），准线方程为x=－1，

直线AB的方程为y=x－1，

设点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）.

将y=x－1代入y²=4x得x²－6x＋1=0.

则x₁＋x₂=6，x₁·x₂=1.

故中点C的横坐标为3.

所以中点C到准线的距离为3＋1=4.

（2）|AB|=

=

=

=

==8，

即线段AB的长为8或记住类似这样条件的弦长|AB|==8.