|
【本讲教育信息】 一. 教学内容： 抛物线
1. 定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫抛物线。点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线。
2. 标准方程 坐标系：使坐标轴经过点F且垂直于直线l于K，并使原点与线段KF的中点重合。 设|KF|=p（p>0），则抛物线的标准方程及焦点坐标、准线方程如下表：
3. 几何性质 以抛物线y2=2px（p>0）为例。 （1）范围。x≥0，|y|随x增大而增大，但无渐近线。 （2）对称性。关于x轴对称。（对称轴与准线垂直） （3）顶点。对称轴与抛物线的交点。 （4）离心率。同椭圆、双曲线离心率定义。e=1（注e与抛物线开口大小无关，开口大小由p值确定，画特征草图时，先画出通径（2p）过焦点且与对称轴垂直的弦）。
4. 几个重要的解析结果： （1）平行抛物线对称轴的直线和抛物线只有一个交点。 （2）焦点弦两端点的纵坐标乘积为常数即y1y2=－p2（p>0） （4）焦点弦长公式：|AB|=x1+x2+p（x1、x2分别为A、B的横坐标）或
【典型例题】 例1. 设抛物线的顶点为（2，0），准线方程为x=-1，求焦点坐标。
解：由题知，对称轴为x轴，又根据定义知，顶点（2，0）是点K（-1，0）与焦点F的中点，设F（a，0）
例2. 点P到点（1，0）的距离比P到直线x+2=0的距离少1，求P点的轨迹方程。 解：如图所示，由题设知：P到点F（1，0）与它到直线l：x=-1的距离相等。 于是P的轨迹是抛物线，且方程为标准方程y2=2px（p>0） ∵p=2 ∴P点的轨迹方程为：y2=4x。
例3. 点A、B在抛物线y2=2px上，若|OA|=|OB|，且△AOB的垂心是焦点F，求直线AB的方程。
解：
例4. 抛物线y2=4x的焦点弦AB长为6，求AB中点M的坐标。
解：
例5. 抛物线C的焦点F在y轴的正半轴，C上点M到F与到C内部点A（4，3）距离和的最小值为5，求C的标准方程。
解：
例6. 设抛物线y2=2px（p>0）的焦点为F，经过F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC//x轴，证明直线AC经过原点O。
证： 只证：kCO=kOA ∴AC经过原点O。
【模拟试题】 一. 选择题 1. 顶点在原点，对称轴是坐标轴，且经过点（1，-1）的抛物线方程是（ ） A. C. 2. 已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点（m，-2）到焦点的距离为4，则m等于（ ） A. 4 B. -2 C. 4或-4 D. 2或-2 3. 抛物线 A. C. 4. 过抛物线 A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 5. 已知A（3，2），F为抛物线 A. （0，0） B. C.
二. 填空题 6. 一个酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的方程为 7. 抛物线 8. 抛物线
三. 解答题 9. 顶点在原点，对称轴是坐标轴，且焦点在直线
【试题答案】 一. 选择题 1. C 2. C 3. A 4. C 5. D
二. 填空题 6. 7. 2 8.
三. 解答题 9. 10. 解：（1）设 由题设知 （2）
|
|
|
