直线、圆的方程

本讲教育信息】 一、教学内容： 直线、圆的方程 直线的倾斜角和斜率、直线方程的五种形式、两直线的位置关系、圆的标准方程和一般方程   二、课标要求： 1、直线与方程 （1）在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素； （2）理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式； （3）根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），体会斜截式与一次函数的关系； 2、圆与方程 回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程。   三、命题走向 直线方程考查的重点是直线方程的特征值（主要是直线的斜率、截距）有关问题，可与三角知识联系；圆的方程，从轨迹角度讲，可以成为解答题，尤其是参数问题，在对参数的讨论中确定圆的方程。 预测高考对本讲的考查是： （1）2道选择或填空，解答题多与其他知识联合考查，本讲对于数形结合思想的考查也会是一个出题方向；       （2）热点问题是直线的倾斜角和斜率、直线的几种方程形式和求圆的方程。   【教学过程】 基本知识要点回顾： 1、倾斜角：一条直线L向上的方向与X轴的正方向所成的最小正角，叫做直线的倾斜角，范围为。 2、斜率：当直线的倾斜角不是90°时，则称其正切值为该直线的斜率，即k=tAn;当直线的倾斜角等于90°时，直线的斜率不存在。 过两点p1(x1,y1),p2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式:k=tAn（若x1＝x2，则直线p1p2的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°）。 3、直线方程的五种形式确定直线方程需要有两个互相独立的条件。确定直线方程的形式很多，但必须注意各种形式的直线方程的适用范围。 名称 方程 说明 适用条件 斜截式 y=kx+b k——斜率 b——纵截距 倾斜角为90°的直线不能用此式 点斜式 y-y0=k(x-x0) (x0，y0)——直线上 已知点，k——斜率 倾斜角为90°的直线不能用此式 两点式 = (x1，y1)，(x2，y2)是直线上两个已知点 与两坐标轴平行的直线不能用此式 截距式 +=1 A——直线的横截距 b——直线的纵截距 过（0，0）及与两坐标轴平行的直线不能用此式 一般式 Ax+By+C=0 ，，分别为斜率、横截距和纵截距   A、B不能同时为零 直线的点斜式与斜截式不能表示斜率不存在（垂直于x 轴）的直线；两点式不能表示平行或重合两坐标轴的直线；截距式不能表示平行或重合两坐标轴的直线及过原点的直线。 4、圆的方程 圆心为，半径为r的圆的标准方程为：。特殊地，当时，圆心在原点的圆的方程为：。 圆的一般方程，圆心为点，半径，其中。 二元二次方程，表示圆的方程的充要条件是：①项项的系数相同且不为0，即；②没有xy项，即B=0；③。   【典型例题】   例1、（1995全国，5）图中的直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则（    ） A、k1＜k2＜k3                                                                     B、k3＜k1＜k2 C、k3＜k2＜k1                                                      D、k1＜k3＜k2 解：直线l1的倾斜角α1是钝角，故k1＜0，直线l2与l3的倾斜角α2、α3均为锐角，且α2＞α3，所以k2＞k3＞0，因此k2＞k3＞k1，故应选D。 点评：本题重点考查直线的倾斜角、斜率的关系，考查数形结合的能力。   例2、过点P（2，1）作直线分别交x轴、y轴的正半轴于A、B两点，求的值最小时直线的方程。 解：依题意作图，设∠BAO＝，     则，     当，即时的值最小，此时直线的倾斜角为135°， ∴斜率。 故直线的方程为，即。 点评：求直线方程是解析几何的基础，也是重要的题型。解这类题除用到有关概念和直线方程的五种形式外，还要用到一些技巧。   例3、（1）（05年江西高考）设实数x，y满足，则的最大值是___________。 （2）（1997全国文，24）已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A、B两点，分别过点A、B作y轴的平行线与函数y＝log2x的图象交于C、D两点。 ①证明点C、D和原点O在同一条直线上。 ②当BC平行于x轴时，求点A的坐标。 解：（1）如图，实数x，y满足的区域为图中阴影部分（包括边界），而表示点（x，y）与原点连线的斜率，则直线AO的斜率最大，其中A点坐标为，此时，所以的最大值是。     点评：本题还可以设，则，斜率k的最大值即为的最大值，但求解颇费周折。 （2）证明：设A、B的横坐标分别为x1，x2，由题设知x1＞1，x2＞1，点A（x1，log8x1），B（x2，log8x2）． 因为A、B在过点O的直线上，所以， 又点C、D的坐标分别为（x1，log2x1），（x2，log2x2） 由于log2x1＝＝3log8x1，log2x2＝＝3log8x2， 所以OC的斜率和OD的斜率分别为 。 由此得kOC＝kOD，即O、C、D在同一条直线上。 由BC平行于x轴，有log2x1＝log8x2，解得  x2＝x13 将其代入，得x13log8x1＝3x1log8x1． 由于x1＞1，知log8x1≠0，故x13＝3x1，x1＝，于是点A的坐标为（，log8）． 点评：本小题主要考查对数函数图象、对数换底公式、对数方程、指数方程等基础知识，考查运算能力和分析问题的能力。   例4、直线经过点P（-5，-4），且与两坐标轴围成的三角形面积为5，求直线的方程。解：设所求直线的方程为，     ∵直线过点P（-5，-4），，即。     又由已知有，即，     解方程组，得：或     故所求直线的方程为：，或。     即，或 点评：要求的方程，须先求截距A、b的值，而求截距的方法也有三种：     （1）从点的坐标或中直接观察出来； （2）由斜截式或截距式方程确定截距； （3）在其他形式的直线方程中，令得轴上的截距b；令得出x轴上的截距A。 总之，在求直线方程时，设计合理的运算途径比训练提高运算能力更为重要。解题时善于观察，勤于思考，常常能起到事半功倍的效果。   例5、（2003北京春理，12）在直角坐标系xOy中，已知△AOB三边所在直线的方程分别为x=0，y=0，2x+3y=30，则△AOB内部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是（    ） A、95                    B、91                C、88                         D、75 解一：由y=10－x（0≤x≤15，x∈N）转化为求满足不等式y≤10－x（0≤x≤15，x∈N）所有整数y的值．然后再求其总数．令x=0，y有11个整数，x=1，y有10个，x=2或x=3时，y分别有9个，x=4时，y有8个，x=5或6时，y分别有7个，类推：x=13时y有2个，x=14或15时，y分别有1个，共91个整点．故选B。 解二：将x=0，y=0和2x+3y=30所围成的三角形补成一个矩形．如图所示。 对角线上共有6个整点，矩形中（包括边界）共有16×11=176．因此所求△AOB内部和边上的整点共有=91（个） 点评：本题较好地考查了考生的数学素质，尤其是考查了思维的敏捷性与清晰的头脑，通过不等式解等知识探索解题途径。   例6、（2003京春理，22）已知动圆过定点P（1，0），且与定直线l：x=－1相切，点C在l上。 （Ⅰ）求动圆圆心的轨迹M的方程； （Ⅱ）设过点P，且斜率为－的直线与曲线M相交于A、B两点。 （i）问：△ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由； （ii）当△ABC为钝角三角形时，求这种点C的纵坐标的取值范围。 （Ⅰ）解一：依题意，曲线M是以点P为焦点，直线l为准线的抛物线，所以曲线M的方程为y2=4x． 解二：设M（x，y），依题意有|MP|=|MN|，所以|x+1|=。化简得：y2=4x。 （Ⅱ）（i）由题意得，直线AB的方程为y=－（x－1）． 由消y得3x2－10x+3=0， 解得x1=，x2=3。 所以A点坐标为（），B点坐标为（3，－2）， |AB|=x1+x2+2=。 假设存在点C（－1，y），使△ABC为正三角形，则|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，即 ① ②          由①－②得42+（y+2）2=（）2+（y－）2， 解得y=－。 但y=－不符合①， 所以由①，②组成的方程组无解。 因此，直线l上不存在点C，使得△ABC是正三角形。 （ii）解一：设C（－1，y）使△ABC成钝角三角形，由得y=2， 即当点C的坐标为（－1，2）时，A、B、C三点共线，故y≠2。 又|AC|2=（－1－）2+（y－）2=+y2， |BC|2=（3+1）2+（y+2）2=28+4y+y2， |AB|2=（）2=。 当∠CAB为钝角时，cosA=<0。 即|BC|2 >|AC|2+|AB|2，即， 即y>时，∠CAB为钝角。 当|AC|2>|BC|2+|AB|2，即， 即y<－时，∠CBA为钝角。 又|AB|2>|AC|2+|BC|2，即， 即。 该不等式无解，所以∠ACB不可能为钝角。 因此，当△ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是。 解二：以AB为直径的圆的方程为（x－）2+（y+）2=（）2。 圆心（）到直线l：x=－1的距离为， 所以，以AB为直径的圆与直线l相切于点G（－1，－）。 当直线l上的C点与G重合时，∠ACB为直角，当C与G点不重合，且A、B、C三点不共线时，∠ACB为锐角，即△ABC中，∠ACB不可能是钝角。 因此，要使△ABC为钝角三角形，只可能是∠CAB或∠CBA为钝角。 过点A且与AB垂直的直线方程为。 令x=－1得y=。 过点B且与AB垂直的直线方程为y+2（x－3）。 令x=－1得y=－。 又由解得y=2， 所以，当点C的坐标为（－1，2）时，A、B、C三点共线，不构成三角形。 因此，当△ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是y<－或y>（y≠2）。 点评：该题全面综合了解析几何、平面几何、代数的相关知识，充分体现了“注重学科知识的内在联系”．题目的设计新颖脱俗，能较好地考查考生综合运用数学知识解决问题的能力。比较深刻地考查了解析法的原理和应用，以及分类讨论的思想、方程的思想．该题对思维的目的性、逻辑性、周密性、灵活性都进行了不同程度的考查．对运算、化简能力要求也较高，有较好的区分度。   例7、（1）已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（4，1），B（6，－3），C（－3，0），求△ABC外接圆的方程。 分析：如果设圆的标准方程，将三个顶点坐标分别代入，即可确定出三个独立参数A，b，r，写出圆的标准方程；如果注意到△ABC外接圆的圆心是△ABC三边垂直平分线的交点，由此可求圆心坐标和半径，也可以写出圆的标准方程。 解一：设所求圆的方程是               ① 因为A（4，1），B（6，－3），C（－3，0）都在圆上，        所以它们的坐标都满足方程①，于是   可解得 所以△ABC的外接圆的方程是。 解二：因为△ABC外接圆的圆心既在AB的垂直平分线上，也在BC的垂直平分线上，所以先求AB、BC的垂直平分线方程，求得的交点坐标就是圆心坐标。 ∵，，线段AB的中点为（5，－1），线段BC的中点为， ∴AB的垂直平分线方程为，    ①        BC的垂直平分线方程为          ②        解由①②联立的方程组可得        ∴△ABC外接圆的圆心为Ｅ（1，－3），        半径。        故△ABC外接圆的方程是．        解三：设圆的方程为                      ①        因为三点A（4，1），B（6，－3），C（－3，0）都在圆上，所以它们的坐标都是方程①的解，将它们的坐标分别代入方程①，得到关于D，E，F的一个三元一次方程组：     ，解得。        所以，圆的方程是。        圆心是坐标（1，－3），半径为。 点评：解法一和解法三用的是“待定系数法”，解法二利用了圆的几何性质。“待定系数法”是求圆的方程的常用方法．一般地，在选用圆的方程形式时，若问题涉及圆心和半径，则选用标准方程比较方便，否则选用一般方程方便些。   例8、若方程。     （1）当且仅当在什么范围内，该方程表示一个圆。     （2）当在以上范围内变化时，求圆心的轨迹方程。     解：（1）由，     ，     当且仅当时，     即时，给定的方程表示一个圆。     （2）设圆心坐标为，则（为参数）。 消去参数，为所求圆心轨迹方程。 点评：圆的一般方程为，圆心为点，半径，其中。   例9、如图，在平面直角坐标系中，给定y轴正半轴上两点A（0，A），B（0，b）（），试在x轴正半轴上求一点C，使∠ACB取得最大值。 解：设C是x轴正半轴上一点，在△ABC中由正弦定理，有      。 其中R是△ABC的外接圆的半径。 可见，当R取得最小值时，∠ACB取得最大值。 在过A、B两定点且与x轴正向有交点C的诸圆中，当且仅当点C是圆与x轴的切点时，半径最小。故切点C即为所求。 由切割线定理，得： 所以，即点C的坐标为时，∠ACB取得最大值。 点评：圆是最简单的二次曲线，它在解析几何及其它数学分支中都有广泛的应用。对一些数学问题，若能作一个辅助圆，可以沟通题设与结论之间的关系，从而使问题得解，起到铺路搭桥的作用。   例10、已知⊙O′过定点A(0，p)(p>0)，圆心O′在抛物线x2=2py上运动，MN为圆O′截x轴所得的弦，令|AM|=d1，|AN|=d2，∠MAN=θ。 （1）当O′点运动时，|MN|是否有变化？并证明你的结论； （2）求+的最大值，并求取得最大值的θ值。 解：设O′(x0，y0)，则x02=2py0 (y0≥0)，⊙O′的半径|O′A|=，⊙O′的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=x02+(y0-p)2。令y=0，并把x02=2py0代入得x2－2x0x+x02－p2=0，解得xM=x0 – p，xN=x0+p，∴|MN|=| xN – xM|=2p为定值。 （2）∵M(x0-p，0) ，N(x0+p，0)  ∴d1=，d2=，则d12+d22=4p2+2x02，d1d2=， ∴+===2=2≤2=2。 当且仅当x02=2p2，即x0=±p，y0=p时等号成立，∴+的最大值为2。 此时|O′B|=|MB|=|NB|（B为MN中点），又O′M=O′N， ∴△O′MN为等腰直角三角形，∠MO′N=90°，则θ=∠MO′N=45°。 点评：数形结合既是数学学科的重要思想，又是数学研究的常用方法。   例11、（2007山东文19）本公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？ 解：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为分钟和分钟，总收益为元，由题意得 目标函数为． 二元一次不等式组等价于 作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域． 如图： 作直线， 即． 平移直线，从图中可知，当直线过点时，目标函数取得最大值．    联立解得． 点的坐标为． （元） 答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元． 点评：线性规划问题是对直线和不等式的考查，数形结合的思想和学生的应用意识渗透其中．   思维小结： 抓好“三基”，把握重点，重视低、中档题的复习，确保选择题的成功率。 本讲所涉及到的知识都是平面解析几何中最基础的内容．它们渗透到平面解析几何的各个部分，正是它们构成了解析几何问题的基础，又是解决这些问题的重要工具之一．这就要求我们必须重视对“三基”的学习和掌握，重视基础知识之间的内在联系，注意基本方法的相互配合，注意平面几何知识在解析几何中的应用，注重挖掘基础知识的能力因素，提高通性通法的熟练程度，着眼于低、中档题的顺利解决。 在解答有关直线的问题时，应特别注意的几个方面： （1）在确定直线的斜率、倾斜角时，首先要注意斜率存在的条件，其次要注意倾角的范围； （2）在利用直线的截距式解题时，要注意防止由于“零截距”造成丢解的情况．如题目条件中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”“截距互为相反数”“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上的截距的m倍（m＞0）”等时，采用截距式就会出现“零截距”，从而丢解．此时最好采用点斜式或斜截式求解； （3）在利用直线的点斜式、斜截式解题时，要注意防止由于“无斜率”，从而造成丢解．如在求过圆外一点的圆的切线方程时或讨论直线与圆锥曲线的位置关系时，或讨论两直线的平行、垂直的位置关系时，一般要分直线有无斜率两种情况进行讨论； （4）首先将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题；处理代数问题；分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题。这种思想应贯穿平面解析几何教学的始终。   【模拟试题】 一、选择题 １、圆关于原点对称的圆的方程为 (    )     A、                               B、 C、                      D、 2、若为圆的弦的中点，则直线的方程是（    ） A、                             B、  C、                              D、 3、圆上的点到直线的距离最大值是（    ） A、         B、         C、       D、 4、将直线，沿轴向左平移个单位，所得直线与圆相切，则实数的值为（　　） A、    　    B、    　           C、　       D、 5、在坐标平面内，与点距离为，且与点距离为的直线共有（      ） A、条             B、条                   C、条            D、条 6、圆在点处的切线方程为（     ） A、               B、  C、               D、   二、填空题 1、若经过点的直线与圆相切，则此直线在轴上的截距是  __________________． 2、由动点向圆引两条切线，切点分别为，则动点的轨迹方程为                   ． 3、圆心在直线上的圆与轴交于两点,则圆的方程为                   4、已知圆和过原点的直线的交点为则的值为________________． 5、已知是直线上的动点，是圆的切线，是切点，是圆心，那么四边形面积的最小值是________________．   三、解答题 1、点在直线上，求的最小值． 2、求以为直径两端点的圆的方程． 3、求过点和且与直线相切的圆的方程． 4、已知圆和轴相切，圆心在直线上，且被直线截得的弦长为，求圆的方程．   【试题答案】 一、选择题   1、A    关于原点对称点为，则得 2、A    设圆心为，则 3、B   圆心为 4、A  直线沿轴向左平移个单位得 圆的圆心为 5、B  两圆相交，外公切线有两条 6、D  在点处的切线方程为   二、填空题 1、  点在圆上，即切线为 2、  3、  圆心既在线段的垂直平分线即，又在     上，即圆心为， 4、  设切线为，则 5、   当垂直于已知直线时，四边形的面积最小   三、解答题 1、解：的最小值为点到直线的距离     而，  2、解：     得 3、解：圆心显然在线段的垂直平分线上，设圆心为，半径为，则 ，得，而   4、解：设圆心为半径为，令 而 ，或