本讲教育信息】
一. 教学内容:
1. 简谐振动、振动图像
2. 单摆、振动中的能量
【要点扫描】
简谐振动、振动图像
一、机械振动
1、机械振动:物体(或物体的一部分)在某一中心位置两侧做的往复运动。
振动的特点:①存在某一中心位置;②往复运动,这是判断物体运动是否是机械振动的条件。
产生振动的条件:①振动物体受到回复力作用;②阻尼足够小。
2、回复力:振动物体所受到的总是指向平衡位置的合外力。
①回复力时刻指向平衡位置;②回复力是按效果命名的,可由任意性质的力提供。可以是几个力的合力也可以是一个力的分力;③合外力:指振动方向上的合外力,而不一定是物体受到的合外力。④在平衡位置处:回复力为零,而物体所受合外力不一定为零。如单摆运动,当小球在最低点处,回复力为零,而物体所受的合外力不为零。
3、平衡位置:是振动物体受回复力等于零的位置;也是振动停止后,振动物体所在位置;平衡位置通常在振动轨迹的中点。“平衡位置”不等于“平衡状态”。平衡位置是指回复力为零的位置,物体在该位置所受的合外力不一定为零。(如单摆摆到最低点时,沿振动方向的合力为零,但在指向悬点方向上的合力却不等于零,所以并不处于平衡状态)
二、简谐振动及其描述物理量
1、振动描述的物理量
(1)位移:由平衡位置指向振动质点所在位置的有向线段。
①是矢量,其最大值等于振幅;②始点是平衡位置,所以跟回复力方向永远相反;③位移随时间的变化图线就是振动图象。
(2)振幅:离开平衡位置的最大距离。
①是标量;②表示振动的强弱;
(3)周期和频率:完成一次全变化所用的时间为周期T,每秒钟完成全变化的次数为频率f。
①二者都表示振动的快慢;②二者互为倒数;T=1/f;③当T和f由振动系统本身的性质决定时(非受迫振动),则叫固有频率与固有周期是定值,固有周期和固有频率与物体所处的状态无关。
2、简谐振动:物体所受的回复力跟位移大小成正比时,物体的振动是简谐振动。
①受力特征:回复力F=-kx。
②运动特征:加速度a=-kx/m,方向与位移方向相反,总指向平衡位置。简谐振动是一种变加速运动,在平衡位置时,速度最大,加速度为零;在最大位移处,速度为零,加速度最大。
说明:①判断一个振动是否为简谐振动的依据是看该振动中是否满足上述受力特征或运动特征。
②简谐振动中涉及的位移、速率、加速度的参考点,都是平衡位置。
三、弹簧振子:
1、一个可作为质点的小球与一根弹性很好且不计质量的弹簧相连组成一个弹簧振子。一般来讲,弹簧振子的回复力是弹力(水平的弹簧振子)或弹力和重力的合力(竖直的弹簧振子)提供的。弹簧振子与质点一样,是一个理想的物理模型。
2、弹簧振子振动周期:T=2 ,只由振子质量和弹簧的劲度决定,与振幅无关,也与弹簧振动情况(如水平方向振动或竖直方向振动或在光滑的斜面上振动或在地球上或在月球上或在绕地球运转的人造卫星上)无关。
3、可以证明,竖直放置的弹簧振子的振动也是简谐振动,周期公式也是 。这个结论可以直接使用。
4、在水平方向上振动的弹簧振子的回复力是弹簧的弹力;在竖直方向上振动的弹簧振子的回复力是弹簧弹力和重力的合力。
四、振动过程中各物理量的变化情况
振动体位置 位移x 回复力F 加速度a 速度v 势能 动能
方向 大小 方向 大小 方向 大小 方向 大小
平衡位置O
0
0
0
最大 最小 最大
最大位移处A 指向A 最大 指向O 最大 指向O 0→最大
0 最大 最小
平衡位置O→最大位移处A 指向A 0→最大 指向O 0→最大 指向O 最大 O→A 最大→0 最小→最大 最大→最小
最大位移处A→平衡位置O 指向A 最大→0 指向O 最大→0 指向O 最大→0 A→O 0→最大 最大→最小 最小→最大
说明:简谐振动的位移、回复力、加速度、速度都随时间做周期性变化(正弦或余弦函数),变化周期为T,振子的动能、势能也做周期性变化,周期为 T/2。
①凡离开平衡位置的过程,v、Ek均减小,x、F、a、EP均增大;凡向平衡位置移动时,v、Ek均增大,x、F、a、EP均减小;
②振子运动至平衡位置时,x、F、a为零,EP最小,v、Ek最大;当在最大位移时,x、F、a、EP最大,v、Ek为零;
③在平衡位置两侧的对称点上,x、F、a、v、Ek、EP的大小均相同。
五、简谐振动图象
1、物理意义:表示振动物体(或质点)的位移随时间变化的规律。
2、坐标系:以横轴表示时间,纵轴表示位移,用平滑曲线连接各时刻对应的位移末端即得
3、特点:简谐振动的图象是正弦(或余弦)曲线。
4、应用:①可直观地读取振幅A、周期T以及各时刻的位移x;
②判定各时刻的回复力、速度、加速度方向;
③判定某段时间内位移、回复力、加速度、速度、动能、势能等物理量的变化情况
注意:①振动图象不是质点的运动轨迹。
②计时点一旦确定,形状不变,仅随时间向后延伸。
③简谐振动图像的具体形状跟计时起点及正方向的规定有关。
单摆、振动中的能量
一、单摆
1、单摆:在细线的一端挂上一个小球,另一端固定在悬点上,如果线的伸缩和质量可以忽略,球的直径比线长短得多,这样的装置叫做单摆。
这是一种理想化的模型,一般情况下细线(杆)下接一个小球的装置都可作为单摆。
2、单摆振动可看作简谐振动的条件是:在同一竖直面内摆动,摆角θ<10°。
3、单摆振动的回复力是重力的切向分力,不能说成是重力和拉力的合力。在平衡位置振子所受回复力是零,但合力是向心力,指向悬点,不为零。
4、单摆的周期:当l、g一定,则周期为定值 T=2π ,与小球是否运动无关。与摆球质量m、振幅A都无关。其中摆长l指悬点到小球重心的距离,重力加速度为单摆所在处的测量值。要区分摆长和摆线长。
5、小球在光滑圆弧上的往复滚动,和单摆完全等同。只要摆角足够小,这个振动就是简谐振动。这时周期公式中的l应该是圆弧半径R和小球半径r的差。
6、秒摆:周期为2s的单摆。其摆长约为lm。
二、振动的能量
1、对于给定的振动系统,振动的动能由振动的速度决定,振动的势能由振动的位移决定,振动的能量就是振动系统在某个状态下的动能和势能的总和。
2、振动系统的机械能大小由振幅大小决定,同一系统振幅越大,机械能就越大。若无能量损失,简谐振动过程中机械能守恒,做等幅振动。
3、阻尼振动与无阻尼振动
(1)振幅逐渐减小的振动叫做阻尼振动。
(2)振幅不变的振动为等幅振动,也叫做无阻尼振动。
注意:等幅振动、阻尼振动是从振幅是否变化的角度来区分的,等幅振动不一定不受阻力作用。
4、受迫振动
(1)振动系统在周期性驱动力作用下的振动叫做受迫振动。
(2)受迫振动稳定时,系统振动的频率等于驱动力的频率,跟系统的固有频率无关。
5、共振
(1)当驱动力的频率等于振动系统的固有频率时,物体的振幅最大的现象叫做共振。
(2)条件:驱动力的频率等于振动系统的固有频率。
(3)共振曲线。如图所示。
【规律方法】
简谐振动、振动图像
【典型例题】
【例1】如图所示,轻质弹簧上端固定,下端连结一小球,平衡时小球处于O位置,现将小球由O位置再下拉一小段距离后释放(在弹性限度内),试证明释放后小球的上下振动是简谐振动。
证明:设小球的质量为m,弹簧的劲度系数为k,小球处在O位置有:
mg—kΔx=0………①
式中Δx为小球处在O位置时弹簧的伸长量。
再设小球离开O点的位移x(比如在O点的下方),并取x为矢量正方向,此时小球受到的合外力∑Fx为:∑Fx =mg-k(x+Δx)②
由①②两式可得:∑Fx =-kx,所以小球的振动是简谐振动,O点即其振动的平衡位置。
点评:这里的F=-kx,不是弹簧的弹力,而是弹力与重力的合力,即振动物体的回复力。此时弹力为k(x+Δx);所以求回复力时F=kx,x是相对平衡位置的位移,而不是相对弹簧原长的位移。
【例2】(1995年全国)一弹簧振子作简谐振动,周期为T( )
A、若t时刻和(t+Δt)时刻振子运动位移的大小相等、方向相同,则Δt一定等于T的整数倍
B、若t时刻和(t+Δt)时刻振子运动速度的大小相等、方向相反,则Δt一定等于T/2的整数倍
C、若Δt=T,则在 t时刻和(t+Δt)时刻振子运动的加速度一定相等
D、若Δt=T/2,则在t时刻和(t+Δt)时刻弹簧的长度一定相等
解析:做简谐振动时,振子由平衡位置到最大位移,再由最大位移回到平衡位置,两次经过同一点时,它们的位移大小相等、方向相同,其时间间隔并不等于周期的整数倍,选项A错误。同理在振子由指向最大位移,到反向最大位移的过程中,速度大小相等、方向相反的位置之间的时间间隔小于T/2,选项B错误。相差T/2的两个时刻,弹簧的长度可能相等,振子从平衡位置开始振动、再回到平衡位置时,弹簧长度相等、也可能不相等、选项D错误。若Δt=T,则根据周期性,该振子所有的物理量应和t时刻都相同,a就一定相等,所以,选项C正确。
本题也可通过振动图像分析出结果,请你自己尝试一下。
【例3】如图所示,一弹簧振子在振动过程中,经a、b两点的速度相同,若它从a到b历时0.2s,从b再回到a的最短时间为0.4s,则该振子的振动频率为( )
(A)1Hz (B)1.25Hz (C)2Hz (D)2.5Hz
解析:振子经a、b两点速度相同,根据弹簧振子的运动特点,不难判断a、b两点对平衡位置(O点)一定是对称的,振子由b经O到a所用的时间也是0.2s,由于“从b再回到a的最短时间是0.4s,”说明振子运动到b后是第一次回到a点,且Ob不是振子的最大位移。设图中的c、d为最大位移处,则振子从b→c→b历时0.2s,同理,振子从a→d→a,也历时0.2s,故该振子的周期T=0.8s,根据周期和频率互为倒数的关系,不难确定该振子的振动频率为1.25Hz。
综上所述,本题应选择(B)。
【例4】一弹簧振子沿x轴振动,振幅为4 cm,振子的平衡位置位于x轴上的O点,图甲中的a,b,c,d为四个不同的振动状态:黑点表示振子的位置,黑点上箭头表示运动的方向。图乙给出的①②③④四条振动图线,可用于表示振子的振动图象是( AD )
A. 若规定状态a时t=0,则图象为①
B. 若规定状态b时t=0,则图象为②
C. 若规定状态c时t=0,则图象为③
D. 若规定状态d时t=0,则图象为④
解析:若t=0,质点处于a状态,则此时x=+3 cm运动方向为正方向,只有图①对;若t=0时质点处于b状态,此时x=+2 cm,运动方向为负方向,②图不对;若取处于C状态时t=0,此时x=-2 cm,运动方向为负方向,故图③不正确;取状态d为t=0时,图④刚好符合,故A,D正确。
点评:对振动图象的理解和掌握要密切联系实际,既能根据实际振动画出振动图象;又能根据振动图象还原成一个具体的振动,达到此种境界,就可熟练地用图象分析解决振动问题。
单摆、振动中的能量
单摆的等效问题
①等效摆长:如图所示,当小球垂直纸面方向运动时,摆长为CO。
②等效重力加速度:当单摆在某装置内向上运动加速度为a时,T=2π ;当向上减速时T=2π ,影响回复力的等效加速度可以这样求,摆球在平衡位置静止时,摆线的张力T与摆球质量的比值。
【例1】如图所示,在光滑导轨上有一个滚轮A,质量为2m,轴上系一根长为L的线,下端悬挂一个摆球B,质量为m,设B摆小球作小幅度振动,求振动周期。
【分析】将2m的A球和m的B球组成系统为研究对象,系统的重心O点可视为单摆的悬点,利用水平方向动量守恒可求出等效摆长。
【解析】A和B两物体组成的系统由于内力的作用,在水平方向上动量守恒,因此A和B速度之比跟质量成反比,即vA/vB=mB/mA=1/2。因此A和B 运动过程中平均速度 / =1/2,亦即位移 SA/SB=1/2。
因为ΔOAA/∽ΔOBB/,则OB/OA=2/1。
对B球来说,其摆长应为2/3 L,因此B球的周期T=2 。
说明:据动量守恒条件,A球在A位置时,B球在B位置,当A球运动到A'时,B球运动到B'。
【例2】如图所示,三根细线OA,OB,OC结于O点,A,B端固定在同一水平面上且相距为L,使AOB成一直角三角形,∠BAO=30°,已知OC绳长也为L,下端C点系一个可视为质点的小球,下面说法中正确的是
A、当小球在纸面内做小角度振动时,周期为: B、当小球在垂直纸面方向做小角度振动时,周期为 C、当小球在纸面内做小角度振动时,周期为 D、当小球在垂直纸面内做小角度振动时,周期为 解析:当小球在纸面内做简谐振动时,是以O点为圆心,OC长L为半径做变速圆周运动,OA和OB绳没有松弛,其摆长为L,所以周期是 ;当小球在垂直于纸面的方向上做简谐振动时,摆球是以OC的延长线与AB交点为圆心做振动,其等效的摆长为L+Lsin60°/2=L+ L/4 ,其周期为 ,故选A。
拓展:若将上题中的小球改为装满沙子的漏斗,在漏斗摆动的过程中,让沙子匀速的从漏斗底部漏出,则单摆的周期如何变化?(因沙子逐渐漏出,其重心的位置先下移后上升,等效摆长先增加后减小,所以周期先变长后减小)。
【例3】(1998年全国)图中两单摆摆长相同,平衡时两摆球刚好相触。现将摆球A在两摆线所在平面向左拉开一小角度后释放,碰撞后,两球分开各自做简谐振动。以mA、mB分别表示摆球A、B的质量,则( )
A、如果mA>mB,下一次碰撞将发生在平衡位置右侧
B、如果mA<mB,下一次碰撞将发生在平衡位置左侧
C、无论两摆球的质量之比是多少,下一次碰撞都不可能在平衡位置右侧
D、无论两摆球的质量之比是多少,下一次碰撞都不可能在平衡位置左侧
解析:由于两球线长相等,所以两球做单摆运动的周期必然相等.两球相碰后有这几种可能:①碰后两球速度方向相反,这样两球各自到达最高点再返回到平衡位置所用的时间相等,故两球只能在平衡位置相遇;②碰后两球向同一方向运动,则每个球都先到达最大位移处然后返回平衡位置,所用的时间也都是半个周期,两球仍只能在平衡位置相遇;③碰后一球静止,而另一球运动,则该球先到最大位移又返回到平衡位置,所用时间还是半个周期,在平衡位置相遇。
因此,不管mA>mB,还是mA<mB 还是mA=mB,无论摆球质量之比为多少,下一次碰撞都只能发生在平衡位置,也就是说不可能发生在平衡位置的右侧或左侧,所以选项C、D正确。
拓展:两球的碰撞是否是弹性碰撞?
【模拟试题】
1. 在长方形桌面上放有:秒表、细绳、铁架台、天平、弹簧秤、钩码,怎样从中选取器材可较为准确地测出桌面面积S?并写出面积表达式。
2. 在图中的几个相同的单摆在不同的条件下,关于它们的周期关系,判断正确的是( )
A、T1>T2>T3>T4 B、T1<T2=T3<T4
C、T1>T2=T3>T4、 D、T1<T2<T3<T4
3. 在光滑的水平面上停放着一辆质量为M的小车,质量为m的物体与劲度系数为k的一轻弹簧固定相连。弹簧的另一端与小车左端固定连接,将弹簧压缩x0后用细绳将m拴住,m静止在小车上的A点,如图所示,m与M 间的动摩擦因数为μ,O 点为弹簧原长位置,将细绳烧断后,m、M开始运动。求:①当m位于O点左侧还是右侧且跟O点多远时,小车的速度最大?并简要说明速度为最大的理由。②判断m与M的最终运动状态是静止、匀速运动还是相对往复的运动?
4. 如图所示,质量为m的物块A放在木板B上,而B固定在竖直的轻弹簧上。若使 A随 B一起沿竖直方向做简谐振动而始终不脱离,则充当 A的回复力的是 。当A的速度达到最大时,A对B的压力大小为 。
【试题答案】
1. 【解析】用细绳量桌面长,并用此绳(包括到钩码重心)、钩码、铁架台做成单摆,由秒表测出其振动周期T1;同理量桌面宽,做单摆,测出周期T2。 答案:S= 2. 【解析】单摆的周期与重力加速度有关。这是因为重力的分力提供回复力。当单摆处于(1)图所示的条件下,当摆球偏离平衡位置后,是重力平行斜面的分量(mgsinθ)沿切向分量提供回复力,回复力相对竖直放置的单摆是减小的,则运动中的加速度减小,回到平衡位置的时间变长,周期T1>T3。对于(2)图所示的条件,带正电的摆球在振动过程中要受到天花板上带正电小球的斥力,但是两球间的斥力与运动的方向总是垂直,不影响回复力,故单摆的周期不变,T2=T3。在(4)图所示的条件下,单摆与升降机一起作加速上升的运动,也就是摆球在该升降机中是超重的,相当于摆球的重力增大,沿摆动的切向分量也增大,也就是回复力在增大,摆球回到相对平衡位置的时间变短,故周期变小,T4<T3。综上所述,只有C选项正确。
3. 【解析】①在细线烧断时,小球受水平向左的弹力F与水平向右的摩擦力f作用,开始时F必大于f。m相对小车右移过程中,弹簧弹力减小,而小车所受摩擦力却不变,故小车做加速度减小的加速运动。当F=f时车速达到最大值,此时m必在O点左侧。设此时物体在O点左侧x处,则kx=μmg。所以,当x=μmg/k时,小车达最大速度。
②小车向左运动达最大速度的时刻,物体向右运动也达最大速度,这时物体还会继续向右运动,但它的运动速度将减小,即小车和物体都在做振动。由于摩擦力的存在,小车和物体的振动幅度必定不断减小,设两物体最终有一共同速度v,因两物体组成的系统动量守恒,且初始状态的总动量为零,故v=0,即m与M的最终运动状态是静止的。
4. 【解析】根据题意,只要在最高点A、B仍能相对静止,则它们就会始终不脱离。而在最高点,外界对A所提供的最大回复力为mg,即最大加速度amax=g,故A、B不脱离的条件是a≤g,可见,在振动过程中,是A的重力和B对A的支持力的合力充当回复力。
因为A在系统的平衡位置时,速度最大,此时A所受重力与B对它的支持力的合力为零,由牛顿第三定律可知,A对B的压力大小等于其重力mg。
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