高三二轮专题复习：圆锥曲线

高三二轮专题复习：圆锥曲线

 

二. 高考要求

（1）掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，理解椭圆的参数方程；

（2）掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质；

（3）掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质；

（4）了解圆锥曲线的初步应用。

 

三. 热点分析

高考圆锥曲线试题一般有3题（1个选择题, 1个填空题, 1个解答题）, 共计22分左右, 考查的知识点约为20个左右. 其命题一般紧扣课本, 突出重点, 全面考查. 选择题和填空题考查以圆锥曲线的基本概念和性质为主, 难度在中等以下，一般较容易得分，解答题常作为数学高考中的压轴题，综合考查学生数形结合、等价转换、分类讨论、逻辑推理等诸方面的能力，重点考查圆锥曲线中的重要知识点, 通过知识的重组与链接, 使知识形成网络, 着重考查直线与圆锥曲线的位置关系, 往往结合平面向量进行求解，在复习中应充分重视。

 

【典型例题】

例1. 设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为－4，求此椭圆的方程、离心率、准线方程及准线间的距离.

【解析】设椭圆的方程为或，

则，解之得：，b=c＝4.

则所求的椭圆的方程为或，

离心率；准线方程，两准线的距离为16.

 

例2. 椭圆的两个焦点F₁、F₂，点P在椭圆C上，且P F₁⊥F₁F_2,,| P F₁|=,_,| P F₂|=.（I）求椭圆C的方程；（II）若直线L过圆x²+y²+4x-2y=0的圆心M交椭圆于A、B两点，且A、B关于点M对称，求直线L的方程。

【解析】解法一：（Ⅰ）因为点P在椭圆C上，所以，a=3.

在Rt△PF₁F₂中，故椭圆的半焦距c=,

从而b²=a²－c²=4， 所以椭圆C的方程为＝1.

（Ⅱ）设A，B的坐标分别为（x₁,y₁）、（x₂,y₂）. 由圆的方程为（x+2）²+（y－1）²=5,所以圆心M的坐标为（－2，1）.   从而可设直线L的方程为   y=k（x+2）+1,

代入椭圆C的方程得  （4+9k²）x²+（36k²+18k）x+36k²+36k－27=0.

因为A，B关于点M对称.   所以   解得，

所以直线L的方程为   即8x-9y+25=0.   （经检验，符合题意）

解法二：（Ⅰ）同解法一.  （Ⅱ）已知圆的方程为（x+2）²+（y－1）²=5,所以圆心M的坐标为（－2，1）.

    设A，B的坐标分别为（x₁,y₁）,（x₂,y₂）.由题意x₁x₂且

                                       ①

                                       ②

由①－②得                  ③

因为A、B关于点M对称，所以x₁+ x₂=－4, y₁+ y₂=2，代入③得＝，即直线L的斜率为，

所以直线L的方程为y－1＝（x+2），即8x－9y+25=0.（经检验，所求直线方程符合题意.）

 

例3. 已知圆C₁的方程为，椭圆C₂的方程为，C₂的离心率为，如果C₁与C₂相交于A、B两点，且线段AB恰为圆C₁的直径，求直线AB的方程和椭圆C₂的方程。

【解析】由

设椭圆方程为

设 

 

又 

两式相减，得

又

所以直线AB的方程为

即

将

由。

得，解得    

故所求椭圆的方程为

 

例4. 过点（1，0）的直线l与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为的椭圆C相交于A、B两点，直线y=x过线段AB的中点，同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称，试求直线l与椭圆C的方程.

【解析】解法一：由e=,得,从而a²=2b²,c=b.

设椭圆方程为x²+2y²=2b²，A（x₁, y₁），B （x₂, y₂）在椭圆上.

则x₁²+2y₁²=2b²,x₂²+2y₂²=2b²,两式相减得，

（x₁²－x₂²）+2（y₁²－y₂²）=0,

设AB中点为（x₀, y₀）,则k_AB =－,

又（x₀, y₀）在直线y=x上，y₀=x₀,

于是－=－1,k_AB=－1,

设l的方程为y=－x+1.

右焦点（b,0）关于l的对称点设为（x′, y′）,

由点（1,1－b）在椭圆上，得1+2（1－b）²=2b²,b²=.

∴所求椭圆C的方程为=1,l的方程为y=－x+1.

解法二：由e=,从而a²=2b²,c=b.

设椭圆C的方程为x²+2y²=2b²,l的方程为y=k（x－1）,

将l的方程代入C的方程，得（1+2k²）x²－4k²x+2k²－2b²=0,

则x₁+x₂=,y₁+y₂=k（x₁－1）+k（x₂－1）=k（x₁+x₂）－2k=－.

直线l：y=x过AB的中点（）,则,

解得k=0，或k=－1.

若k=0,则l的方程为y=0,焦点F（c,0）关于直线l的对称点就是F点本身，不能在椭圆C上，所以k=0舍去，从而k=－1，直线l的方程为y=－（x－1）,即y=－x+1,以下同解法一.

解法三：设椭圆方程为

直线不平行于y轴，否则AB中点在x轴上与直线中点矛盾。

故可设直线

，

，，，

，，

，，

，，，

，，

则，

，，

，   

所以所求的椭圆C的方程为：

即：

 

例5. 如图，已知△P₁OP₂的面积为，P为线段P₁P₂的一个三等分点，求以直线OP₁、OP₂为渐近线且过点P的离心率为的双曲线方程.

【解析】以O为原点，∠P₁OP₂的角平分线为x轴建立如图所示的直角坐标系.

设双曲线方程为=1（a＞0,b＞0）

由e²=，得.

∴两渐近线OP₁、OP₂方程分别为y=x和y=－x

设点P₁（x₁, x₁）,P₂（x₂,－x₂）（x₁＞0,x₂＞0）,

则由点P分所成的比λ==2,

得P点坐标为（）,

又点P在双曲线=1上，

所以=1,

即（x₁+2x₂）²－（x₁－2x₂）²=9a², 整理得8x₁x₂=9a²     ①

即x₁x₂=            ②

由①、②得a²=4,b²=9

故双曲线方程为=1.

 

例6. 过椭圆C：上一动点P引圆O：x² +y² =b²的两条切线PA、PB，A、B为切点，直线AB与x轴，y轴分别交于M、N两点。

（1） 已知P点坐标为（x₀，y₀ ）并且x₀y₀≠0，试求直线AB的方程；

（2） 若椭圆的短轴长为8，并且，求椭圆C的方程；

（3） 椭圆C上是否存在点P，由P向圆O所引两条切线互相垂直？若存在，请求出存在的条件；若不存在，请说明理由。

【解析】（1）设A （x₁，y₁），B （x₂， y₂）

切线PA：，PB：

∵P点在切线PA、PB上，∴

∴直线AB的方程为

（2）在直线AB方程中，令y=0，则M（，0）；令x=0，则N（0，）

∴   ①

∵2b=8    ∴b=4  代入①得a² =25, b² =16

∴椭圆C的方程为：  （注：不剔除xy≠0，可不扣分）

（3） 假设存在点P（x₀，y₀）满足PA⊥PB，连接OA、OB由|PA|=|PB|知，

四边形PAOB为正方形，|OP|=|OA|   ∴  ①  

又∵P点在椭圆C上   ∴  ②

由①②知x

∵a>b>0   ∴a² －b²>0

①当a²－2b²>0，即a>b时，椭圆C上存在点P，由P点向圆O所引的两条切线互相垂直；

②当a²－2b²<0，即b<a<b时，椭圆C上不存在满足条件的P点

 

例7. 已知椭圆C的焦点是F₁（－，0）、F₂（，0），点F₁到相应的准线的距离为，过F₂点且倾斜角为锐角的直线l与椭圆C交于A、B两点，使得|F₂B|=3|F₂A|.

    （1）求椭圆C的方程；（2）求直线l的方程.

【解析】（1）依题意，椭圆中心为O（0，0），

点F₁到相应准线的距离为，

a²=b²+c²=1+3=4

∴所求椭圆C的方程为

（2）设椭圆的右准线与l交于点P，作AM⊥，AN⊥，垂足分别为M、N. 由椭圆第二定义，

得

同理|BF₂|=e|BN|

由Rt△PAM∽Rt△PBN，得

的斜率.

∴直线l的方程

 

例8. 已知点B（－1，0），C（1，0），P是平面上一动点，且满足

（1）求点P的轨迹C对应的方程；

（2）已知点A（m,2）在曲线C上，过点A作曲线C的两条弦AD和AE，且AD⊥AE，判断：直线DE是否过定点？试证明你的结论.

（3）已知点A（m,2）在曲线C上，过点A作曲线C的两条弦AD和AE，且AD、AE的斜率k₁、k₂满足k₁·k₂=2.求证：直线DE过定点，并求出这个定点.

【解析】（1）设

例9. 已知双曲线，直线l过A（a，0）、

B（0，－b）两点，原点O到l的距离是

（Ⅰ）求双曲线的方程；

（Ⅱ）过点B作直线m交双曲线于M、N两点，若，求直线m的方程.

【解析】（Ⅰ）依题意，由原点O到l的距离

为，得     又  

故所求双曲线的方程为

    （Ⅱ）显然直线m不与x轴垂直，设m的方程为y=kx－1，则点M、N坐标（）、

（）是方程组       的解

消去y，得   ①

依设，由根与系数关系，知

==

=

   ∴=－23，k=±

当k=±时，方程①有两个不等的实数根

故直线m的方程为

 

例10. 已知动点与双曲线的两个焦点、的距离之和为定值，且的最小值为.

（1）求动点的轨迹方程；

（2）若已知，、在动点的轨迹上且，求实数的取值范围.

【解析】（1）由已知可得：  ， 

∴

∴  所求的动点P的轨迹方程为  .

（2） 由题知点d、m、n共线，设为直线m，当直线m的斜率存在时，设为k，则直线m的方程为  y = k x +3  代入前面的椭圆方程得

    （4+9k ²） x ² +54 k +45 = 0           ①

由判别式 ，得.

再设m （x ₁ , y ₁ ）, n （ x ₂ , y ₂），则一方面有

，得

 

另一方面有 ，     ② 

将代入②式并消去 x ₂可得，由前面知，

∴ ，解得   . 

又当直线m的斜率不存在时，不难验证：,所以 为所求。

 

【模拟试题】

1. 若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为

A.                B.      C.             D.

2. 椭圆的中心为点，它的一个焦点为，相应于焦点的准线方程为，则这个椭圆的方程是（  ）

A.                   B.

C.                     D.

3. 设直线关于原点对称的直线为，若与椭圆的交点为A、B，点为椭圆上的动点，则使的面积为0.5的点的个数为（     ）

A. 1                   B. 2            C. 3        D. 4

4. 点P（-3,1）在椭圆的左准线上.过点P且方向为a=（2,-5）的光线,经直线=-2反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为（     ）

    A.              B.           C.        D.

5. 斜率为1的直线l与椭圆+y²=1相交于A、B两点，则|AB|的最大值为（    ）

A. 2               B.                       C.                             D.  

6. 已知，B是圆F：（F为圆心）上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为________________

7. 已知两点M（1，）、N（－4，－），给出下列曲线方程：①4x+2y－1=0,

②x²+y²=3,③+y²=1,④－y²=1,在曲线上存在点P满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是_________.

8. 正方形ABCD的边AB在直线y=x+4上，C、D两点在抛物线y²=x上，则正方形ABCD的面积为_________.

9. 已知三点P（5，2）、（－6，0）、（6，0）.

    （Ⅰ）求以、为焦点且过点P的椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设点P、、关于直线y＝x的对称点分别为、、，求以、为焦点且过点的双曲线的标准方程。

10. 在平面直角坐标系中，有一个以和为焦点、离心率为的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与轴的交点分别为A、B，且向量。求：

（Ⅰ）点M的轨迹方程；    （Ⅱ）的最小值。

11. 在平面直角坐标系O中，直线与抛物线＝2相交于A、B两点.

（1）求证：“如果直线过点T（3，0），那么＝3”是真命题；

（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由. 

12. 已知抛物线x²＝4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且＝λ（λ＞0）. 过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为Ｍ.

（Ⅰ）证明·为定值；

（Ⅱ）设△ABM的面积为S，写出S＝f（λ）的表达式，并求S的最小值.

13. 已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为4。

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）直线过点P（0,2）且与椭圆相交于A、B两点，当ΔAOB面积取得最大值时，求直线l的方程.

 

 

【试题答案】

1. 解：椭圆的右焦点为（2,0），所以抛物线的焦点为（2,0），则，故选D。

2. 解析：椭圆的中心为点它的一个焦点为∴  半焦距，相应于焦点F的准线方程为∴ ，，则这个椭圆的方程是，选D.

3. B                   4. A

5. 解析：弦长|AB|=≤，答案：C

6. 。

7. 解析：点P在线段MN的垂直平分线上，判断MN的垂直平分线与所给曲线是否存在交点.

答案：②③④

8. 解析：设C、D所在直线方程为y=x+b,代入y²=x,利用弦长公式可求出|CD|的长，利用|CD|的长等于两平行直线y=x+4与y=x+b间的距离，求出b的值，再代入求出|CD|的长。   答案：18或50

9. 解：（I）由题意可设所求椭圆的标准方程为（a>b>0）,其半焦距c=6

∴,b²=a²-c²=9.

所以所求椭圆的标准方程为

（II）点P（5,2）、F₁（-6,0）、F₂（6,0）关于直线y=x的对称点分别为点P′（2，5）、F₁′（0，-6）、F₂′（0，6）.

设所求双曲线的标准方程为由题意知，半焦距c₁=6

,b₁²=c₁²-a₁²=36-20=16. 所以所求双曲线的标准方程为

10. 解: （I）椭圆方程可写为: + =1   式中a>b>0 , 且  得a²=4,b²=1,所以曲线C的方程为: x²+ =1 （x>0,y>0）. y=2（0<x<1），y '=－

设P（x₀,y₀）,因P在C上,有0<x₀<1, y₀=2, y '|= － ,得切线AB的方程为:

y=－ （x－x₀）+y₀ . 设A（x,0）和B（0,y）,由切线方程得 x= , y= .

由得M的坐标为（x, y）, 由x₀,y₀满足C的方程,得点M的轨迹方程为:

+ =1 （x>1,y>2）  

（Ⅱ）| ²= x²+y²,  y²= =4+ ,

∴²= x²－1++5≥4+5=9.且当x²－1= ,即x=>1时,上式取等号.

故的最小值为3.

11. 解：（1）设过点T（3,0）的直线交抛物线y²=2x于点A（x₁,y₁）、B（x₂,y₂）.

当直线的斜率不存在时,直线的方程为x=3,此时,直线与抛物线相交于点A（3,）、B（3,－）.     ∴=3；

当直线的斜率存在时,设直线的方程为，其中，

由得

又 ∵ ，

    ∴，

    综上所述，命题“如果直线过点T（3,0），那么=3”是真命题；

（2）逆命题是：设直线交抛物线y²=2x于A、B两点,如果=3,那么该直线过点T（3,0）.该命题是假命题.

    例如：取抛物线上的点A（2,2），B（,1），此时=3,直线AB的方程为：，而T（3,0）不在直线AB上；

说明：由抛物线y²=2x上的点A （x₁,y₁）、B （x₂,y₂） 满足=3，可得y₁y₂=－6，

或y₁y₂=2，如果y₁y₂=－6，可证得直线AB过点（3,0）；如果y₁y₂=2，可证得直线AB过点（－1,0）,而不过点（3,0）.

12. 解：（Ⅰ）由已知条件，得F（0，1），λ＞0. 设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）. 由＝λ，

即得  （－x₁，1－y）＝λ（x₂，y₂－1），

将①式两边平方并把y₁＝x₁²，y₂＝x₂²代入得  y₁＝λ²y₂   ③

解②、③式得y₁＝λ，y₂＝，且有x₁x₂＝－λx₂²＝－4λy₂＝－4，

抛物线方程为y＝x²，求导得y′＝x.

所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是

y＝x₁（x－x₁）＋y₁，y＝x₂（x－x₂）＋y₂，即y＝x₁x－x₁²，y＝x₂x－x₂².

解出两条切线的交点M的坐标为（，）＝（，－1）.

所以·＝（，-2）·（x₂－x₁，y₂－y₁）＝（x₂²－x₁²）－2（x₂²－x₁²）=0

所以·为定值，其值为0.  

（Ⅱ）由（Ⅰ）知在△ABM中，FM⊥AB，因而S＝|AB||FM|.

|FM|＝

 

＝＝＋.

因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y＝－1的距离，所以

|AB|＝|AF|＋|BF|＝y₁＋y₂＋2＝λ＋＋2＝（＋）².

于是  S＝|AB||FM|＝（＋）³，

由＋≥2知S≥4，且当λ＝1时，S取得最小值4.

13、解：设椭圆方程为

（Ⅰ）由已知得∴所求椭圆方程为 .

（Ⅱ）解法一：由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为

由，消去y得关于x的方程：

由直线与椭圆相交于A、B两点，∴△>0解得

又由韦达定理得

原点到直线的距离

∵.

解法1：对两边平方整理得：（*）

       ∵，

                     整理得：

       又，             从而的最大值为，

此时代入方程（*）得 

所以，所求直线l的方程为：.

解法2：令，         则

       当且仅当即时，         此时.         

所以，所求直线方程为

解法二：由题意知直线l的斜率存在且不为零.设直线l的方程为，则直线l与x轴的交点，

       由解法一知且，

       解法1：  =

       .

       下同解法一.

       解法2：=

       下同解法一.