电磁感应规律的综合应用

电磁感应规律的综合应用

与本章知识有关的综合题主要表现在以下几方面：

1. 电磁感应问题与电路问题的综合。电磁感应提供电路中的电源，解决这类电磁感应中的电路问题，一方面要考虑电磁学中的有关规律如右手定则、法拉第电磁感应定律等；另一方面还要考虑电路中的有关规律，如欧姆定律、串并联电路的性质等，有时可能还会用到力学的知识。

2. 电磁感应中切割磁感线的导体要运动，感应电流又要受到安培力的作用，因此，电磁感应问题又往往和力学问题联系在一起，解决电磁感应中的力学问题，一方面要考虑电磁学中的有关规律；另一方面还要考虑力学中的有关规律，要将电磁学和力学的知识综合起来应用。

 

二. 热点透析

1. 关于电磁感应的判断

（发电机——电动机模型、涡流的影响，磁悬浮列车，磁单极，超导体等）

4. 变压器和电能输送问题

 

三. 方法解析

1. 电磁感应中的电路分析。在电磁感应中，切割磁感线的导体或磁通量发生变化的回路将产生感应电动势，则该导体或回路就相当于电源。将它们接上电容器可以使电容器充电；将它们接上电阻或用电器可以对用电器供电。

2. 电磁感应中的动力学分析和能量分析

切割磁感线的导体作为一个电磁学研究对象有感应电动势、感应电流、两端电压、电流做功、电阻发热等问题；作为一个力学对象有受力、加速度、动能、能量及其变化等问题；所以电磁感应和力学知识发生联系是必然的。由于这类问题中物理过程比较复杂，状态变化过程中变量比较多，关键是能抓住状态变化过程中变量“变”的特点和规律，从而确定状态变化过程中的临界点，求解时注意从动量、能量的观点出发，运用相应的规律进行分析和解答。

【典型例题】

1、电磁感应中的电路问题

例1. 如图所示，光滑导轨倾斜放置，其下端连接一个灯泡，匀强磁场垂直于导轨所在平面，当ab棒下滑到稳定状态时，小灯泡获得的功率为P₀，除灯泡外，其他电阻不计，要使稳定状态灯泡的功率变为2P₀，下列措施正确的是

A. 换一个电阻为原来一半的灯泡

B. 把磁感应强度B增为原来的2倍

C. 换一根质量为原来的倍的金属棒

D. 把导轨间的距离增大为原来的倍

解析： 解答这类问题的基本思路是：先求出灯泡功率P与其他量的关系式，然后再讨论各选项是否正确。金属棒在导轨上下滑的过程中，受重力mg、支持力F_N和安培力F＝IlB三个力的作用。其中安培力F是磁场对棒ab切割磁感线所产生的感应电流的作用力，它的大小与棒的速度有关。当导体棒下滑到稳定状态时（匀速运动）所受合外力为零，则有mgsinθ＝IlB。此过程小灯泡获得稳定的功率P＝I²R。由上两式可得P＝m²g²Rsin²θ／B²l²。要使灯泡的功率由P₀变为2P₀，根据上式讨论可得，题目所给的四个选项只有C是正确的。

 

2、电磁感应和电路结合的能量问题

例2. 如图所示，两根相距d＝0.20 m的平行金属长导轨，固定在同一水平面内，并处于竖直方向的匀强磁场中，磁场的磁感应强度B＝0.20 T。导轨上面横放着两根金属细杆，构成矩形回路，每根金属细杆的电阻r＝0.25 Ω，回路中其余部分的电阻可不计。已知两金属细杆在平行于导轨的拉力作用下，沿导轨朝相反方向匀速平移，速度大小都是v＝5.0 m/s。不计导轨上的摩擦。

（1）求作用于每根金属细杆的拉力的大小；

（2）求两金属杆在间距增加ΔL＝0.40 m的滑动过程中共产生的热量。

解析：（1）设匀强磁场方向竖直向上。在两金属杆匀速平移的过程中，等效电路如图所示，即两杆可以等效为两个串联的同样的电源（E₀）。根据能量转化和守恒定律，当杆匀速运动时，两拉力（F）的机械总功率等于闭合电路的热功率，即

所以，每根金属杆受到的拉力大小为

（2）在两金属杆增加距离ΔL的过程中，产生的热量就等于两拉力所做的功，即

Ｑ＝2FΔL／2＝FΔL＝1.28×10^－2 J

 

3、电磁感应中的多过程问题

例3. 一个质量m＝0.1kg的正方形金属框总电阻R＝0.5Ω，金属框放在表面是绝缘且光滑的斜面顶端，自静止开始沿斜面下滑，下滑过程中穿过一段边界与斜面底边BB′平行、宽度为d的匀强磁场后滑至斜面底端BB′，设金属框在下滑时即时速度为v，与此对应的位移为S，那么v²－s图象如图乙所示，已知匀强磁场方向垂直斜面向上。试问：

                                   甲                                              乙

（1）分析v²－s图象所提供的信息，计算出斜面倾角 q 和匀强磁场宽度d。

（2）匀强磁场的磁感强度多大？金属框从斜面顶端滑至底端所需的时间为多少？

（3）现用平行斜面沿斜面向上的恒力F作用在金属框上，使金属框从斜面底端BB’静止开始沿斜面向上运动，匀速通过磁场区域后到达斜面顶端。试计算恒力F做功的最小值。

解析：⑴本题的关键信息隐含在图像中，只有读懂两幅图，才能够掌握运动过程。

从s＝0到s＝1.6米的过程中，由公式v²＝2as，得

该段图线斜率a＝5m/s²，

根据牛顿第二定律 mgsinθ＝ma             

从线框下边进磁场到上边出磁场，均做匀速运动（看图得出）

∴

⑵线框通过磁场时，

∴ t ＝t₁＋t₂＋t₃＝0.8＋0.25＋0.2＝1.25秒

⑶在未进入磁场时 F－mgsinθ＝ma₂

进入磁场F＝mgsinθ＋F_安， ∴F_安＝ma₂

∴最小值

焦

 

4、电磁感应中的双电源问题

例4. 如图所示，两根完全相同的“V”字形导轨OPQ与KMN倒放在绝缘水平面上，两导轨都在竖直平面内且正对、平行放置，其间距为L，电阻不计。两条导轨足够长，所形成的两个斜面与水平面的夹角都是α. 两个金属棒ab和a'b'的质量都是m，电阻都是R，与导轨垂直放置且接触良好. 空间有竖直向下的匀强磁场，磁感应强度为B.

（1）如果两条导轨皆光滑，让a'b'固定不动，将ab释放，则ab达到的最大速度是多少?

（2）如果将ab与a'b'同时释放，它们所能达到的最大速度分别是多少?

解析：（1）ab运动后切割磁感线，产生感应电流，而后受到安培力，当受力平衡时，加速度为0，速度达到最大，受力情况如图所示. 则：

  mgsinα=F_安cosα

  又F_安＝BIL

  I＝E_感/2R

  E_感＝BLv_mcosα

  联立上式解得 

 

  （2）若将ab、a'b'同时释放，因两边情况相同，所以达到的最大速度大小相等，这时ab、a'b'都产生感应电动势而且是串联.

∴mgsinα＝F_安′cosα

F_安′＝BI′L

 

∴

 

5、电磁感应和实际生活的结合问题

例5. 磁悬浮列车的原理如图所示，在水平面上，两根平行直导轨间有竖直方向且等间距的匀强磁场B₁，B₂，导轨上有金属框abcd，金属框的面积与每个独立磁场的面积相等，当匀强磁场B₁，B₂同时以v沿直线导轨向右运动时，金属框也会沿直线导轨运动，设直导轨间距为L＝0.4m，B₁＝B₂＝1T，磁场运动速度为v＝5m/s，金属框的电阻为R＝2欧姆。试求：

（1）若金属框不受阻力时，金属框如何运动？

（2）当金属框始终受到f＝1N的阻力时，金属框最大速度是多少？

（3）当金属框始终受到1N的阻力时，要使金属框维持最大速度，每秒钟需要消耗多少能量？这些能量是提供的？

解：（1）此题的难点在于存在交变磁场。首先分析 ac和bd边产生的感应电动势，由于磁场方向相反，且线圈相对于磁场向左运动，因此，在如图位置的电动势方向相同（逆时针），根据左手定则，ac和bd边受到的安培力都向右。所以金属框做变加速运动，最终做匀速直线运动。

（2）当金属框受到阻力，最终做匀速直线运动时，阻力与线框受到的安培力平衡。设此时金属框相对于磁场的速度为v_相

所以金属框相对于地面的速度为

（3）要使金属框维持最大速度， 必须给系统补充能量：一方面，线框内部要产生焦耳热；另一方面，由于受到阻力，摩擦生热。设每秒钟消耗的能量为E，这些能量都是由磁场提供。

由于摩擦每秒钟产生的热量为Q₁：

每秒钟内产生的焦耳热为Q₂：

所以

这些能量都是由磁场提供。

 

【模拟试题】

1. 如图所示，一根长导线弯曲成“п”，通以直流电I，正中间用绝缘线悬挂一金属环C，环与导线处于同一竖直平面内。在电流I增大的过程中，下列叙述正确的是（）

A. 金属环中无感应电流产生

B. 金属环中有逆时针方向的感应电流

C. 悬挂金属环C的竖直线中拉力变大

D. 金属环C仍能保持静止状态

2. 如图所示，ab、cd为两根水平放置且相互平行的金属轨道，相距L，左右两端各连接一个阻值均为R 的定值电阻，轨道中央有一根质量为m的导体棒 MN垂直放在两轨道上，与两轨道接触良好，棒及轨道的电阻不计。整个装置处于竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为B. 棒MN在外驱动力作用下做简谐运动，其振动周期为T，振幅为A，通过中心位置时的速度为v₀ .则驱动力对棒做功的平均功率为（）

A.   B.   C.  D.

3. 如图所示，在方向竖直向上的磁感应强度为B的匀强磁场中，有两条足够长的平行金属导轨，其电阻不计，间距为L，导轨平面与磁场方向垂直。ab、cd为两根垂直导轨放置的、电阻都为R、质量都为m的金属棒。棒cd用能承受最大拉力为T₀的水平细线拉住，棒cd与导轨间的最大静摩擦力为f 。棒ab与导轨间的摩擦不计，在水平拉力F的作用下以加速度a由静止开始向右做匀加速直线运动，求：

（1）线断以前水平拉力F随时间t的变化规律；

（2）经多长时间细线将被拉断。

4. 如图甲所示，光滑且足够长的平行金属导轨MN、PQ固定在同一水平面上，两导轨间距L=0.2m，电阻R=0.4Ω，导轨上停放一质量m=0.1kg、电阻r=0.1Ω的金属杆，导轨电阻可忽略不计，整个装置处于磁感应强度B=0.5T的匀强磁场中，磁场方向竖直向下。现用一外力F沿水平方向拉杆，使之由静止开始运动，若理想电压表的示数U随时间t变化的关系如图乙所示。

求：⑴金属杆在5s末时的运动速度.  ⑵第4s末时外力F的瞬时功率。

甲                                                           乙

  5. 如图，光滑平行的水平金属导轨MN、PQ相距l，在M点和P点间接一个阻值为R的电阻，在两导轨间OO₁O₁′O′矩形区域内有垂直导轨平面竖直向下、宽为d的匀强磁场，磁感强度为B。一质量为m，电阻为r的导体棒ab，垂直搁在导轨上，与磁场左边界相距d₀。现用一大小为F、水平向右的恒力拉ab棒，使它由静止开始运动，棒ab在离开磁场前已经做匀速直线运动（棒ab与导轨始终保持良好的接触，导轨电阻不计）。求：

（1）棒ab在离开磁场右边界时的速度；

（2）棒ab通过磁场区域的过程中整个回路所消耗的电能；

（3）试分析讨论ab棒在磁场中可能的运动情况。

6. 一电阻为R的金属圆环，放在匀强磁场中，磁场与圆环所在平面垂直，如图（a）所示. 已知通过圆环的磁通量随时间t的变化关系如图（b）所示，图中的最大磁通量φ₀和变化周期T都是已知量，求

  （1）在t= 0到的时间内，通过金属圆环某横截面的电荷量q.

  （2）在t= 0到t=2T的时间内，金属环所产生的电热Q.

7. 如图（甲）所示，一正方形金属线框放置在绝缘的光滑水平面上，并位于一竖直向下的有界匀强磁场区域内，线框的右边紧贴着磁场的边界，从t＝0时开始，对线框施加一水平向右的外力F，使线框从静止开始做匀加速直线运动，在时刻穿出磁场. 已知外力F随时间变化的图像如图（乙）所示，且线框的质量m、电阻R、图（乙）中的、均为已知量. 试求出两个与上述过程有关的电磁学物理量（即由上述已知量表达的关系式）.

8. 如图（1）所示，一个足够长的“U”形金属导轨NMPQ固定在水平面内，MN、PQ两导轨间的宽为L=0.50m. 一根质量为m=0.50kg的均匀金属导体棒ab静止在导轨上且接触良好，abMP恰好围成一个正方形. 该轨道平面处在磁感应强度大小可以调节的竖直向上的匀强磁场中. ab棒的电阻为R=0.10，其他各部分电阻均不计. 开始时，磁感应强度B₀=0.50T

（1）若保持磁感应强度B₀的大小不变，从t=0时刻开始，给ab棒施加一个水平向右的拉力，使它做匀加速直线运动. 此拉力T的大小随时间t变化关系如图（2）所示. 求匀加速运动的加速度及ab棒与导轨间的滑动摩擦力.

（2）若从某时刻t=0开始，调动磁感应强度的大小使其以=0. 20 T/s的变化率均匀增加. 求经过多长时间ab棒开始滑动?此时通过ab棒的电流大小和方向如何?（ab棒与导轨间的最大静摩擦力和滑动摩擦力相等）。

9. 如图所示，一半径为r的圆形导线框内有一匀强磁场，磁场方向垂直于导线框所在平面，导线框的左端通过导线接一对水平放置的平行金属板，两板间的距离为d，板长为l，t=0时，磁场的磁感应强度B从B₀开始均匀增大，同时，在板2的左端且非常靠近板2的位置有一质量为m、带电量为-q的液滴以初速度v₀水平向右射入两板间，该液滴可视为质点。

⑴要使该液滴能从两板间射出，磁感应强度随时间的变化率K应满足什么条件？

⑵要使该液滴能从两板间右端的中点射出，磁感应强度B与时间t应满足什么关系？

 

 

 

【试题答案】

1、BCD    2、B  

3、（1）在时刻t，棒的速度          v＝a t

棒中感应电动势为        E＝B L v＝B L a t                       

棒中的感应电流为            I＝                                  

由牛顿第二定律             F－BIL＝ma                        

得                        F=                           

（2）细线拉断时满足

BIL=f  +T₀                                                            

+T₀                         

t=                                           

4、电压表的示数为   U₅=0.2V  …………………①

由闭合电路欧姆定律得

    ……………………………②

          …………………………③

联立以上三式得：       v₅=2.5m/s         …………………④

⑵由乙图可知，R两端电压随时间均匀变化，所以电路中的电流也随时间均匀变化，由闭合电路欧姆定律知，棒上产生的电动势也是随时间均匀变化的。因此由E=BLv可知，金属杆所做的运动为匀变速直线运动      ……………………………⑤

由⑴问中的④式有   

所以                    ……………………………⑥

所以4s末时的速度        ……………………………⑦

所以4s末时电路中的电流为        ……………………⑧

因                     

       ……………………⑨

5、（1）ab棒离开磁场右边界前做匀速运动，速度为，则有：   

                             ①

                              ②

对ab棒     F－BIl＝0                             ③

解得                                 ④

（2）由能量守恒可得：                   ⑤

解得：                  ⑥

（3）设棒刚进入磁场时速度为v

由：                                 ⑦

可得：                                   ⑧

棒在进入磁场前做匀加速直线运动，在磁场中运动可分三种情况讨论：

①若（或），则棒做匀速直线运动；

②若（或F＞），则棒先加速后匀速；

③若（或F＜，则棒先减速后匀速。

6、（1）由磁通量随时间变化的图线可知在t=0到时间内，环中的感应电动势

E₁=                  ①

在以上时段内，环中的电流为      I ₁=            ②  

则在这段时间内通过金属环某横截面的电量  q= I ₁ t   ③

联立求解得                                 ④

    （2）在到和在到t =T时间内，环中的感应电动势

E ₁= 0                      ⑤

在和在时间内，环中的感应电动势    E ₃=                   ⑥

    由欧姆定律可知在以上时段内，环中的电流为    I ₃ =                    ⑦

    在t=0到t=2T时间内金属环所产生的电热

Q=2（I ₁² R t ₃+ I ₃² R t ₃）                      ⑧

联立求解得                                Q=                      ⑨

7、据题意知，线框运动的加速度                             ①

线框离开磁场时的速度                                 ②

线框的边长                                    ③

线框离开磁场时所受到的磁场力                           ④

离开磁场时线框中的感应电动势                            ⑤

离开磁场时线框中的感应电流                               ⑥

由牛顿定律知                               ⑦

联立求解可得                                 ⑧

离开磁场时线框中的感应电动势                        ⑨

离开磁场时线框中的感应电流                           ⑩

在拉出过程中通过线框某截面的电量                 ⑾

8、（1）由图像可得到拉力t的大小随时间变化的函数表达式为

当ab棒匀加速运动时，根据牛顿第二定律有：T-f-B₀Il=ma

因为I＝B₀lv/R  v=at   联立可解得

将数据代入，可解得a=4m/s²        f=1N

（2）以ab棒为研究对象，当磁感应强度均匀增大时，闭合电路中有恒定的感应电流I，以ab

棒为研究对象，它受到的安培力逐渐增大，静摩擦力也随之增大，当磁感应强度增大到ab所受安培力F与最大静摩擦力f_m相等时开始滑动.

由以上各式求出，经时间t=17.5s后ab棒开始滑动，此时通过ab棒的电流大小为I=0.5A  根据楞次定律可判断出，电流的方向为从b到a.

9、参考答案：（1）由题意可知：板1为正极，板2为负极    ①

两板间的电压U＝                   ②

而：S＝πr²                            ③

带电液滴受的电场力：F＝qE=           ④

故：F－mg＝－mg＝ma

a=－g                                     ⑤

讨论：

一. 若 a>0

液滴向上偏转，做类似平抛运动

y＝              ⑥

当液滴刚好能射出时：

有 l＝v₀t   t＝  y＝d

故 d==                  ⑦

由②③⑦得  K₁＝             ⑧

 要使液滴能射出，必须满足 y<d    故 K＜K₁

二. 若 a＝0

液滴不发生偏转，做匀速直线运动，此时 a=－g＝0  ⑨

由②③⑨得 K₂＝                ⑩

液滴能射出，必须满足K＝K₂

三. 若 a<0， 液滴将被吸附在板2上。

综上所述：液滴能射出，

K应满足      （11）

（2）B＝B₀＋Kt

当液滴从两板中点射出时，满足条件一的情况，则

用替代⑧式中的d

                     （12）

即                 （13）