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考点2 动量和能量
二. 命题趋势： 本专题涉及的内容是动力学内容的继续和深化，其中的动量守恒定律、机械能守恒定律、能量守恒定律比牛顿运动定律的适用范围更广泛，是自然界中普遍适用的基本规律，因此是高中物理的重点，也是高考考查的重点之一。高考中年年有，且常常成为高考的压轴题。如2002年、2003年、2005年理综最后一道压轴题均是与能量有关的综合题。但近年采用综合考试后，试卷难度有所下降，因此动量和能量考题的难度也有一定下降。要更加关注有关基本概念的题、定性分析现象的题和联系实际、联系现代科技的题。 试题常常是综合题，动量与能量的综合，或者动量、能量与平抛运动、圆周运动、热学、电磁学、原子物理等知识的综合。试题的情景常常是物理过程较复杂的，或者是作用时间很短的，如变加速运动、碰撞、爆炸、打击、弹簧形变等。
三. 知识概要：
（一）动量定理和动能定理 1. 动量定理：是一个矢量关系式。先选定一个正方向，一般选初速度方向为正方向。在曲线运动中，动量的变化△P也是一个矢量，在匀变速曲线运动中（如平抛运动），动量变化的方向即合外力的方向。 2. 动能定理：是计算力对物体做的总功，可以先分别计算各个力对物体所做的功，再求这些功的代数和，即W总= W1+W2+…+Wn；也可以将物体所受的各力合成求合力，再求合力所做的功。但第二种方法只适合于各力为恒力的情形。 3. 说明：应用这两个定理时，都涉及到初、末状状态的选定，一般应通过运动过程的分析来定初、末状态。初、末状态的动量和动能都涉及到速度，一定要注意我们现阶段是在地面参考系中来应用这两个定理，所以速度都必须是对地面的速度。
（二）动量守恒定律 1. 动量守恒的条件：可以归纳为以下几种情况：① 物体系统不受外力或所受合外力为零；② 物体系统受到的外力远小于内力；③ 系统在某方向上不受外力、合外力为零或外力远小于外力，此时在该方向上动量守恒。 在碰撞和爆炸现象中，由于物体间相互作用持续时间很短，一般都满足内力远大于外力，故可以用动量守恒定律处理。 2. 运用动量守恒定律应注意： ① 矢量性：动量守恒定律的方程是一个矢量关系式。对于作用前后物体的运动方向都在同一直线上的问题，应选取统一的正方向，按正方向确定各矢量的正负。 ② 瞬时性：动量是一个状态量，对应着一个瞬时。动量守恒是指该相互作用过程中的任一瞬时的动量恒定，不同时刻的动量不能相加。 ③ 相对性：动量的具体数值与参考系的选取有关，动量计算时的速度必须是相对同一惯性系的速度，一般以地面为参考系。 3. 反冲运动中移动距离问题的分析： 一个原来静止的系统，由于某一部分的运动而对另一部分有冲量，使另一部分也跟着运动，若现象中满足动量守恒，则有m1υ1-m2υ2 = 0，υ1 =
（三）机械能守恒定律、功能关系 1. 两类力做功的特点： 保守力（如重力）做功只与初、末位置有关，与运动的路径无关；耗散力（如滑动摩擦力）做功与运动的路径有关，且有时力总是与运动方向相反，大小保持不变，此时做功的绝对值等于力的大小与路程的乘积。 2. 摩擦力做功的特点： 在静摩擦力做功的过程中，只有机械能的相互转移，静摩力起着传递机械能的作用，而没有机械能转化为其他形式的能。相互摩擦的系统内，一对静摩擦力所做功的和总是为零。一对滑动摩擦力做功的过程中，能量的转化有两个方面：一是相互摩擦的物体之间机械能的转移，二是机械能转化为内能，转化为内能的量值等于滑动摩擦力与相对位移的乘积。一对滑动摩擦力所做功的和为负值，其绝对值等于系统损失的机械能。 3. 机械能是否守恒的判断： 从做功来判断：分析物体或物体系受力情况（包括内力和外力），明确各力做功的情况，若对物体或系统只有重力或弹力做功，没有其他力做功或其他力做功的代数和为零，则机械能守恒。 从能量转化来判断：若物体或物体系中只有动能和重力势能、弹性势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化，则物体或物体系机械能守恒。如绳子突然绷紧、物体间碰撞粘合等现象时，机械能不守恒。 4. 机械能守恒定律的几种表达式： （1）物体或系统初态总机械能E1等于末态的总机械能E2，此时应选定零势能面。 （2）系统减少的势能△Ep减等于增加的动能△Ek增即△Ep减 = △Ek增（或△Ep增 = △Ek减） （3）系统内只有A、B两物体时，则A减少的机械能△EA减等于B增加的机械能 △EB增 冲量是力对时间的积累，其作用效果是改变物体的动量；功是力对位移的积累，其作用效果是改变物体的能量；冲量和动量的变化、功和能量的变化都是原因和结果的关系，对此，要像熟悉力和运动的关系一样熟悉。在此基础上，还很容易理解守恒定律的条件，要守恒，就应不存在引起改变的原因。能量还是贯穿整个物理学的一条主线，从能量角度分析思考问题是研究物理问题的一个重要而普遍的思路。 应用动量定理和动能定理时，研究对象可以是单个物体，也可以是多个物体组成的系统，而应用动量守恒定律和机械能守恒定律时，研究对象必定是系统；此外，这些规律都是运用于物理过程，而不是对于某一状态（或时刻）。因此，在用它们解题时，首先应选好研究对象和研究过程。对象和过程的选取直接关系到问题能否解决以及解决起来是否简便。选取时应注意以下几点： （1）选取研究对象和研究过程，要建立在分析物理过程的基础上。临界状态往往应作为研究过程的开始或结束状态。 （2）要能视情况对研究过程进行恰当的理想化处理。 （3）可以把一些看似分散的、相互独立的物体圈在一起作为一个系统来研究，有时这样做，可使问题大大简化。 （4）有的问题，可以选这部分物体作研究对象，也可以选取那部分物体作研究对象；可以选这个过程作研究过程，也可以选那个过程作研究过程；这时，首选大对象、长过程。 确定对象和过程后，就应在分析的基础上选用物理规律来解题，规律选用的一般原则是： （1）对单个物体，宜选用动量定理和动能定理，其中涉及时间的问题，应选用动量定理，而涉及位移的应选用动能定理。 （2）若是多个物体组成的系统，优先考虑两个守恒定律。 （3）若涉及系统内物体的相对位移（路程）并涉及摩擦力的，要考虑应用能量守恒定律。
【典型例题】 [例1] 某地强风的风速是20m/s，空气的密度是 点拨解疑：风力发电是将风的动能转化为电能，讨论时间t内的这种转化，这段时间内通过风力发电机的空气是一个以S为底、v0t为高的横放的空气柱，其质量为m=
代入数据解得 P=53kW
[例2]（1998年全国卷）在光滑水平面上，动能为E0、动量的大小为 A. E1<E0 B. p1<p0 C. E2>E0 D. p2>p0 点拨解疑：两钢球在相碰过程中必同时遵守能量守恒和动量守恒。由于外界没有能量输入，而碰撞中可能产生热量，所以碰后的总动能不会超过碰前的总动能，即E1+E2≤E0 ，可见A对C错；另外，A也可写成 点评：判断两物体碰撞后的情况，除考虑能量守恒和动量守恒外，有时还应考虑某种情景在真实环境中是否可能出现，例如一般不可能出现后面的球穿越前面的球而超前运动的情况。
[例3]（2000年全国）在原子核物理中，研究核子与核关联的最有效途径是“双电荷交换反应”。这类反应的前半部分过程和下述力学模型类似。两个小球A和B用轻质弹簧相连，在光滑的水平直轨道上处于静止状态。在它们左边有一垂直于轨道的固定挡板P，右边有一小球C沿轨道以速度 （1）求弹簧长度刚被锁定后A球的速度。 （2）求在A球离开挡板P之后的运动过程中，弹簧的最大弹性势能。
点拨解疑： （1）设C球与B球粘结成D时，D的速度为
当弹簧压至最短时，D与A的速度相等，设此速度为
由①、②两式得A的速度 （2）设弹簧长度被锁定后，贮存在弹簧中的势能为
撞击P后，A与D的动能都为零，解除锁定后，当弹簧刚恢复到自然长度时，势能全部转变成D的动能，设D的速度为 当弹簧伸长时，A球离开挡板P，并获得速度。当A、D的速度相等时，弹簧伸至最长。设此时的速度为 当弹簧伸到最长时，其势能最大，设此势能为
[例4]（2003年理综全国）一传送带装置示意图如图所示，其中传送带经过AB区域时是水平的，经过BC区域时变为圆弧形（圆弧由光滑模板形成，未画出），经过CD区域时是倾斜的，AB和CD都与BC相切。现将大量的质量均为m的小货箱一个一个在A处放到传送带上，放置时初速为零，经传送带运送到D处，D和A的高度差为h。稳定工作时传送带速度不变，CD段上各箱等距排列，相邻两箱的距离为L。每个箱子在A处投放后，在到达B之前已经相对于传送带静止，且以后也不再滑动（忽略经BC段时的微小滑动）。已知在一段相当长的时间T内，共运送小货箱的数目为N。这装置由电动机带动，传送带与轮子间无相对滑动，不计轮轴处的摩擦。求电动机的平均输出功率P。
点拨解疑：以地面为参考系（下同），设传送带的运动速度为v0，在水平段运输的过程中，小货箱先在滑动摩擦力作用下做匀加速运动，设这段路程为s，所用时间为t，加速度为a，则对小箱有 用f表示小箱与传送带之间的滑动摩擦力，则传送带对小箱做功为
传送带克服小箱对它的摩擦力做功 两者之差就是克服摩擦力做功发出的热量 可见，在小箱加速运动过程中，小箱获得的动能与发热量相等。 T时间内，电动机输出的功为 此功用于增加小箱的动能、势能以及克服摩擦力发热，即
已知相邻两小箱的距离为L，所以 联立⑦⑧⑨⑩，得 [例5]（2005年理综天津卷）如图所示，质量 （1）瞬时冲量作用结束时木板的速度 （2）木板的长度L。
点拨解疑： （1）设水平向右为正方向，有 （2）设A对B、B对A、C对A的滑动摩擦力的大小分别为
动量与动能之间的关系为 木板A的长度
[例6] 空间探测器从行星旁边绕过时，由于行星的引力作用，可以使探测器的运动速率增大，这种现象被称之为“弹弓效应”在航天技术中，“弹弓效应”是用来增大人造小天体运动速率的一种有效方法。
（1）如图所示是“弹弓效应”的示意图：质量为m的空间探测器以相对于太阳的速度u0飞向质量为M的行星，此时行星相对于太阳的速度为u0，绕过行星后探测器相对于太阳的速度为υ，此时行星相对于太阳的速度为υ，由于m、M，υ0、υ、u0、u的方向均可视为相互平行。试写出探测器与行星构成的系统在上述过程中“动量守恒”“及始末状态总动能相等”的方程，并在m<<M的条件下，用υ0和u0来表示υ。 （2）若上述行星是质量为M＝5.67×1026kg的土星，其相对太阳的轨道速率u0 = 9.6km/s，而空间探测器的质量m＝150kg，相对于太阳迎向土星的速率υ0＝10.4km/s，则由于“弹弓效应”，该探测器绕过火星后相对于太阳的速率将增为多少？ （3）若探测器飞向行星时其速度υ0与行星的速度u0同方向，则是否仍能产生使探测器速率增大的“弹弓效应”？简要说明理由。 点拨解疑： （1）以探测器初始时速度υ0的反方向为速度的正方向 由动量守恒定律有：－mυ0+Mu0 = mυ+Mu 由动能守恒有： 由上两式解得：υ = 当m<<M时， （2）从所给数据可知m<<M，代入υ0、u0的值可得υ＝29.6km/s （3）当υ0与u0方向同向时，此时υ0、u0都取负值，为使探测器能追上行星，应使｜υ0｜＞|u0|，此时有υ = υ0+2u0即｜υ｜＝｜υ0
[例7] 如图所示，光滑水平面上，质量为2m的小球B连接着轻质弹簧，处于静止；质量为m的小球A以初速度v0向右匀速运动，接着逐渐压缩弹簧并使B运动，过一段时间，A与弹簧分离，设小球A、B与弹簧相互作用过程中无机械能损失，弹簧始终处于弹性限度以内 （1）求当弹簧被压缩到最短时，弹簧的弹性势能E。 （2）若开始时在小球B的右侧某位置固定一块挡板（图中未画出），在小球A与弹簧分离前使小球B与挡板发生正撞，并在碰后立刻将挡板撤走。设小球B与固定挡板的碰撞时间极短，碰后小球B的速度大小不变、但方向相反。设此后弹簧弹性势能的最大值为
点拨解疑：（1）当A球与弹簧接触以后，在弹力作用下减速运动，而B球在弹力作用下加速运动，弹簧势能增加，当A、B速度相同时，弹簧的势能最大。 设A、B的共同速度为v，弹簧的最大势能为E，则A、B系统动量守恒，有 （2）设B球与挡板碰撞前瞬间的速度为vB，此时A的速度为vA 系统动量守恒 B与挡板碰后，以vB向左运动，压缩弹簧，当A、B速度相同（设为v共）时，弹簧势能最大有 所以 当弹簧恢复原长时与小球B挡板相碰，vB有最大值vBm，有
即vB的取值范围为 当vB＝ 当vB＝
【模拟试题】 1.（2001年高考理综卷）下列一些说法： ① 一质点受两个力作用且处于平衡状态（静止或匀速），这两个力在同一段时间内的冲量一定相同 ② 一质点受两个力作用且处于平衡状态（静止或匀速），这两个力在同一段时间内做的功或者都为零，或者大小相等符号相反 ③ 在同样时间内，作用力和反作用力的功大小不一定相等，但正负号一定相反 ④ 在同样时间内，作用力和反作用力的功大小不一定相等，正负号也不一定相反 以上说法正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②④ 2. A、B两球在光滑水平面上沿同一直线、同一方向运动，A球的动量是5kgm/s，B球的动量是7kgm/s，当A追上B球时发生碰撞，则碰撞后A、B两球的动量的可能值是（ ） A. －4 kg·m/s、14 kg·m/s B. 3kg·m/s、9 kg·m/s C. －5 kg·m/s 、17kg·m/ D. 6 kg·m/s、6 kg·m/s 3.（1998年高考上海卷）在光滑水平面上有质量均为2kg的a、b两质点，a质点在水平恒力Fa=4N作用下由静止出发运动4s。b质点在水平恒力Fb=4N作用下由静止出发移动 4m。比较这两个质点所经历的过程，可以得到的正确结论是（ ） A. a质点的位移比b质点的位移大 B. a质点的末速度比b质点的末速度小 C. 力Fa做的功比力Fb做的功多 D. 力Fa的冲量比力Fb的冲量小 4. 矩形滑块由不同材料的上下两层粘结在一起组成，将其放在光滑的水平面上，如图所示。质量为m的子弹以速度v水平射向滑块，若射击上层，则子弹恰好不射出；若射击下层，则子弹整个儿恰好嵌入，则上述两种情况相比较（ ） A. 两次子弹对滑块做的功一样多 B. 两次滑块所受冲量一样大 C. 子弹嵌入下层过程中，系统产生的热量较多 D. 子弹击中上层过程中，系统产生的热量较多 5. 如图所示，长2m，质量为1kg的木板静止在光滑水平面上，一木块质量也为1kg（可视为质点），与木板之间的动摩擦因数为0.2。要使木块在木板上从左端滑向右端而不至滑落，则木块初速度的最大值为（ ） A. 1m/s B. 2 m/s C. 3 m/s D. 4 m/s
6. 如图所示，质量分别为m和2m的A、B两个木块间用轻弹簧相连，放在光滑水平面上，A靠紧竖直墙。用水平力F将B向左压，使弹簧被压缩一定长度，静止后弹簧储存的弹性势能为E。这时突然撤去F，关于A、B和弹簧组成的系统，下列说法中正确的是（ ） A. 撤去F后，系统动量守恒，机械能守恒 B. 撤去F后，A离开竖直墙前，系统动量不守恒，机械能守恒 C. 撤去F后，A离开竖直墙后，弹簧的弹性势能最大值为E D. 撤去F后，A离开竖直墙后，弹簧的弹性势能最大值为E/3
7. 如图所示，质量为M的小车A右端固定一根轻弹簧，车静止在光滑水平面上，一质量为m的小物块B从左端以速度v0冲上小车并压缩弹簧，然后又被弹回，回到车左端时刚好与车保持相对静止。求整个过程中弹簧的最大弹性势能EP和B相对于车向右运动过程中系统摩擦生热Q各是多少？
8.（2006年天津卷）如图所示，坡道顶端距水平面高度为 （1）物块A在与挡板B碰撞前瞬间速度 （2）弹簧最大压缩量为
【试题答案】 1. D 2. B 3. AC 4. AB 5. D 6. 解析：A离开墙前墙对A有弹力，这个弹力虽然不做功，但对A有冲量，因此系统机械能守恒而动量不守恒；A离开墙后则系统动量守恒、机械能守恒。A刚离开墙时刻，B的动能为E，动量为p= 7. 8.（1）由机械能守恒定律，有 （2）A、B在碰撞过程中内力远大于外力，由动量守恒，有 A、B克服摩擦力所做的功
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