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世界名画中的数学1 — 在人们的印象中，艺术家疯疯癫癫，数学家痴痴呆呆，艺术和数学风马牛不相及，即便有点什么关系也是简单的0.618黄金分割的画面分布，或者数学公式的直接美感。然而数学和艺术都是人类智慧的结晶，在哲学的高度殊途同归。艺术是形象思维的高度抽象，数学是逻辑思维的高度抽象，数学研究数和形，所以也包含形象逻辑，艺术也讲究逻辑，所以也包含逻辑形象。数学的深刻思想有时在似乎无数学训练的艺术家的画面上诠释，艺术的精彩理念也会在远离艺术的数学家的推演中淋漓宣泄。
在这个系列里，我试着抛砖引玉，将部分世界名画中的数学以我的心得和理解和大家一起讨论、学习。 提到艺术和科学，达芬奇首当执牛。达芬奇本身就是历史上最伟大艺术家和科学家。艺术和科学在他的画布完美结合也就是很自然的事了。我们就用他对人体比例的一幅画（Vitruvian Man）作为这个系列的引子。
我们先来欣赏拉斐尔的油画《雅典学院》（1510～1511年作）。这是拉斐尔以古希腊哲学家柏拉图所建的雅典学院为题，以古代七种自由艺术——即语法、修辞、逻辑、数学、几何、音乐、天文为基础，以表彰人类对智慧和真理的追求。这幅画现展于梵蒂冈博物馆的拉斐尔厅。
拉斐尔·圣齐奥（Raffaello Sanzio，1483－1520）意大利画家、建筑师。他与达芬奇和米开朗基罗被称为文艺复兴三杰。在他短短的37年生涯里，给世人留下了300多幅珍贵的艺术作品，这些伟大的作品奠定了他艺术大师的地位。 这幅画的主题是崇拜希腊精神，追求自由意志， 这正是文艺复兴时期人文主义的理想。 全画以纵深展开的高大建筑拱门为背景，大厅上汇集着不同时代、地域和学派的著名学者。他们在自由地讨论， 好像在进行着盛典，通幅洋溢着百家争鸣的气氛，凝聚着人类智慧的精华。这座建筑物是以的圣彼得大教堂为范本的，两侧的壁龛里，左右分别供立着智慧女神雅典娜 和音乐之神阿波罗的塑像。中心透视点的层层拱门，直通遥远的天际。拱门和地下的方块装饰暗示着哥白尼（1530年提出日心说）之前人们对自然天圆地方的认识，从而形成一个极其神圣的氛围。学者们被对称、自然而富有韵律感地配置台阶两侧，中心是两位伟大的哲学家——柏拉图与亚里士多德，他们似乎正在进行着激烈的辩论，并正向观众走来。 亚里士多德右手掌向下，好像说明他所关心的是现实世界；而柏拉图则右手指向上，表示感念神灵启示。这两个对立的手势，表达了他们世界观的分歧。 台阶下面的左侧，以坐在地上专注地书写着的数学家毕达哥拉斯为中心， 台阶下右侧一组，中心人物是弯腰俯背、手执圆规在黑板上演算的是几何学家欧几里德 ，周围是四个学生。 旁边那个手持天文仪的是埃及天文学家尔托勒密。在尔托勒密的最边上那个露出半个脑袋、头戴深色圆帽的青年，就是画家拉斐尔本人。把自己偷偷画进历史题材内，又只占一只小角，反映了画家自负而又谦卑的心态。 画中央的台阶上，躺着一个不修边幅的孤寂的犬儒学派哲学家第欧根尼，有点像我们的济公，看来邋遢智人哪儿都有。 在梵蒂冈欣赏这幅画时，这种人类古智者的济济一堂，让我深深地感动。我当时就想，我们的春秋战国时期，几乎和古希腊同期（公元前后3-4百年），那个时期我们也是群星灿烂，思想辉煌。中西就是以这种形式遥相呼应？但我们怎么就没有一幅画让我们自己那时和后来伟大的先智如孔子、孟子、老子、墨子、祖冲之、李白、杜甫、扁鹊、华佗、李时珍、徐霞客等等也同堂相会？ 公元前3世纪，欧几里得的几何原本在古希腊问世。那时数和形是分开的。对于画家来说研究形的几何对他们的画更有兴趣。然而将抽象的几何赋予生命，在画布上展现内涵的还是从文艺复兴开始，这里先驱是达芬奇。这里我引用一段周振肖博友在上篇绪中对达芬奇那副Vitruvian Man画的评论： “这幅画是文艺复兴时期，画家开始使用数学去探索和谐比例的代表。那个时候有很多这样的画，显示不同比例。八头身，九头身等说法，早在古希腊就有了，维特鲁威的建筑十论里就有把建筑和人体对比的说法，认为完美的建筑应当和人体有一样的比例和和谐。这幅画是一个说八头身的插画，但是因为把美感这种感觉和数学知觉联系到一起，就有无穷的隐喻出来。数学神秘主义注视自然，文艺复兴回归人体，这幅画把人体的强健有力和数学联系到一起，有天人合一的隐喻。” “数学和艺术的联系在形式美这一方面。形式美研究比例，和谐，均衡，对称等等美的形式方面，刚好这些视角就是数学最深的主题。对称是最深的主题，而均衡也是博弈论的主题，分形也揭示了自然形状的一些模式。但是艺术还有内容美，这方面的意义更为重大。内容美涉及到文化传统，是习俗逐渐积淀产生的。” 拉菲尔在文艺复兴三杰是较年轻的一位。透视和画面几何分布，达芬奇已有很多研究心得。拉斐尔无疑是个好学生。这幅画的透视技巧真是用到了极致，从后窗望出去，那云空延伸到了无穷。而房间的构图里圆弧拱、柱体，方块等基本几何元素形成了画的基本框架，在这个框架下，和谐优美地闪烁着人类思想的光芒。我们看到拉斐尔将代表数和形毕达哥拉斯和欧几里得分占前排的左右两侧，在整个画面中起到基石的作用，反映了在作者心目中数学的地位。 回到达芬奇。
列奥纳多·达·芬奇（Leonardo DiSer PieroDa Vinci 1452－1519）， 意大利文艺复兴天才画家、科学家、发明家。这位奇才所涉及的领域之广，之深，在人类历史上是罕见的。他最大的成就是绘画，他的杰作《蒙娜丽莎 》和《最后的晚餐》等，体现了他精湛的艺术造诣。他也是探索绘画几何结构和透视空间技法的先驱。 在他那个时代，还没有照相机，尽管他发明了很多机器。在这之前的绘画大都是宗教画，文艺复兴使艺术家把目光转到了人的自身，即便是画神也人性化了。达芬奇们追求绘画有照相的效果。为此达芬奇成了解剖学家，研究了肌肉、骨骼在各种姿势下的形状。同时他努力探索在画布的二维空间体现三维的效果，利用透视、色彩和明暗刻画空间感和立体感，这样又让他成了几何学家。所有这些，都使达芬奇不仅是一位传世的艺术家也是一位当之无愧的科学家。 达芬奇名言： “绘画是一门科学。绘画科学的第一条原理：——绘画科学首先从点开始，其次是线，再次是面，最后是由面规定着的形体。物体的描画，就此为止。事实上绘画不能越出面之外，而正是依靠面以表现可见物体的形状。” 所以在他看来忠实地反映客观实体是绘画的灵魂，为此绘画的抽象就是几何。
他的传世杰作《蒙娜丽莎》和《岩间圣母》都采取了三角结构，是画面稳定、安详。以至于后来的人物画都或多或少地有他的影子，可见其影响之深远。《蒙娜丽莎》神秘的微笑风靡人类几百年，经久不衰。
他另一幅传世杰作《最后的晚餐》利用两边的矩形通过梯度实现透视的效果，使后面的远景延伸到无限，而前排的人物以耶稣为中心，对称排开，却动作表情不一，使得画面既平静又动荡。如果拿这幅画和前面（世界名画中的数学2 — 几何a）拉斐尔的《雅典学院》相比，可以看出拉斐尔的确是个好学生。 在文艺复兴时期，除了三杰（达芬奇、米开朗基罗和拉斐尔），在欧洲北部也有一位杰出的艺术家对几何画法做出了重大贡献，他就是丢勒。
阿尔布雷特·丢勒（Albrecht Dürer，21 May 1471 – 6 April 1528），是德国画家、版画家及木版画设计家。北部文艺复兴的代表人物，作品包括木刻版画及其版画、油画以及素描作品。他同时是名数学家。他的一生除了两次短期去意大利和荷兰的旅行，大都在德国的纽伦堡生活。现在在纽伦堡有他一个博物馆叫 Albrecht Dürer's House，在那栋城堡里他度过了他最后的时光。 丢勒将他对人体比例的研究写在了他的书里 Four Books on Human Proportion。在这4本书里用了几百个模型对男人和女人身体各个部分的比例进行了深入研究。下面就是他成果的一些例子：
丢勒在数学上的贡献在他的另外4本书里 Four Books on Measurement。在这4本书里，他分别研究了线性几何、高维几何、各种几何体及其在建筑学、工程学和活版印刷中的应用。在书中用欧几里德和托密勒的方法游刃有余。他对数字理论也有深入探讨。 丢勒有大量的版画作品，其中最有名的代表作的是下面的《梅伦可利亚（Melencolia》，也翻作《忧郁》，也被后人成为其精神的自画像：
古希腊医学之父希波克拉底认为人有“粘液质、多血质、胆汁质、忧郁质”四种气质。“忧郁质”的代表“元素”是土，星宿象征是大地之神的女儿，动物象征是狗。那时人们认为“忧郁质”为艺术家、哲学家、神学家所特有的。 在丢勒这幅画中的梅伦可利亚是个有两只翅膀的支颐而坐的恬静少女，表情沉思又忧愁，象征着大地之神的女儿。边上忧郁到睡眠的狗狗就是Melencolia的动物象征。她周围东西也极富象征意义。左上远处是灯塔和彩虹，照亮画题Melencolia，与其本身忧郁的主题形成对比。多面体球体圆规尺子代表几何学、刀锯刨锤代表工程学、锚指南针代表航海学、天平沙漏钟代表科学。而最有意思的是少女头顶上代表数学的4X4幻方。幻方上的数字横竖加起来都是34，这是著名的Fibonacci序列中的数字。而且对角线上元素的平方和或立方和等于非对角线上的元素平方和或立方和（关于平立方和的结论由聂春笑博友提供）。幻方最下面一行中间的两个数字15，14正是这幅画创作的年代1514年，时年丢勒正好43，是34的镜像。这种直接将数学研究成果放在艺术品里真是神来一笔。在神话传说中，几何、工程和科学都属于大地之神来掌控的，而这个内秀外忧的少女就是思想家、科学家和艺术家的化身。这个化身手中握着的正是象征几何的圆规！可见作者心目中几何的地位。 对绘画细节一丝不苟地精确表现是丢勒作品的风格特点，这幅画被后人誉为最优美的铜版画作，而画中反映出的人文科学精神正是文艺复兴的精髓。 康定斯基就是其中的代表人物。
瓦西里·康定斯基（Wassily Kandinsky，1866 ～1944） 俄裔法国画家，艺术理论家。康定斯基出生于俄罗斯莫斯科。莫斯科大学就读法律和经济学。1896年在慕尼黑学习绘画，俄国革命后返回莫斯科，1921年回到德国，1933年被纳粹关押，后定居法国，1944年逝于巴黎近郊。他在1911年所写的《论艺术的精神》、1912年的《关于形式问题》、1923年的《点、线到面》。1938年的《论具体艺术》等论文，都是抽象艺术的经典著作，被认为是现代抽象艺术的启示录，他本人也因此成为抽象艺术的先驱。 康丁斯基具有联觉（知觉混合）能力，他可以十分清晰地听见色彩，描画音乐。这种特异功能对他的艺术产生主要影响。他甚至把他的绘画命名为“即兴”和“结构”，仿佛它们不是绘画而是音乐作品。 康定斯基的名言：“数是各类艺术最终的抽象表现。” 在他的画中活跃着各种几何元素，他用这些元素来表达音乐和其他抽象概念。在他的画里，绘画、几何和音乐得到了完美地融合。下面他的两副画是他的代表作。分别是1923年作的Composition VIII 和1939年作的Composition X 。有人译成第八乐章和第十乐章。
下面再贴上我上个月在西班牙马德里的提森·波尼米萨博物馆（Museo Thyssen-Bornemisza）所拍到得几幅充满几何元素的现代画与大家共享：
和康定斯基同时代同地域的还有一位俄国的艺术家马列维奇，也在几何语言的抽象艺术中攻城掠地，插上了自己的旗帜。然而，他走得更远、更极端，他的命运也更令人唏嘘。
卡西米尔.塞文洛维奇.马列维奇 (Kasimier Severinovich Malevich, 1878——1935)，俄国艺术家，至上主义艺术奠基人。出生于乌克兰基辅的一个制糖小作坊家庭，是家里14个兄弟姐妹的长兄，12岁前不知什么是艺术。马列维奇先当了基辅艺术学校的学生，后转入莫斯科美术学院。他从接受严谨的西方艺术美学的教育开始，后和康定斯基等人一起成为早年几何抽象主义的先锋，最终以朴实而抽象或黑白或亮丽的几何形体，创立这个几乎只有他一个人独舞的至上主义艺术舞台。他的成名作《手足病医生在浴室》、《玩纸牌的人》，具有立体主义和未来主义的特色。他还曾参与起草俄国未来主义艺术家宣言。十月革命后参加左翼美术家联盟。1935 年 在贫病中卒于列宁格勒 （今圣彼得堡 ）。 他的名言：“模仿性的艺术必须被摧毁，就如同消灭帝国主义军队一样。”。 我特地提到他，是因为他的两幅画：“White on White" 和 "Black Square"，译作“白色上的白色”和“黑方块”。
这两幅作品最早分别是马列维奇在1918年和1915年所作。马列维奇在这两个作品中将几何元素和色彩用到了极限。充分地表现了他的艺术理念。 马列维奇曾经说过，“方的平面标志之至上主义的开始，它是一个新色彩的现实主义，一个无物象的创造……所谓至上主义，就是在绘画中的纯粹感情或感觉至高无上的意思。” 他在简化了绘画中的主题、物象、内容到最终的表现，将人的意识在接近于空的内容中，用绘画的黑白的极限色表现出来。“无”成为了至上主义最高的绘画原则。 1918年，马列维奇著名的《白色上的白色》问世。这一标志着至上主义终级性的作品，彻底抛弃了色彩的要素，白色成为光的化身。那个白底上的白方块，微弱到难以分辨，它和底色融合，却从中弥漫浮现上来。在这里，马列维奇突破了用肉眼看见的层次，也穿过以感觉品味的境地，将所有实际的概念，都变成了毫无意义。画家所要表现的，是某种最终解放或近似涅磐之类的状态。那模糊的边缘，就是挣脱留下的唯一具象痕迹。这是至上主义精神的最高表达。他说，“方形（人的意志，或许人）脱去它的物质性而融汇于无限之中。留下来的一切就是它的外表（或他的外表）的朦胧痕迹。” 而他更具代表性的作品是“黑方块”。他的一生画过了几幅黑方块，第一幅是1915年所作，其他都是在不同时期为不同的画展专画的。他自己也留下了至少一幅。现在这些黑方块收藏于莫斯科和圣彼得堡的艺术博物馆里，黑方块就成了马列维奇的特别符号。在黑方块里，他走向了另一个极端，就像数学中两个方向的极限。如果说“白色上的白色”表现了某种跃变，那么在“黑方块”则表现了完全的沦陷和沉默。 比起后来跑到法国的康定斯基，马列维奇的晚年相当悲摧。1926年，他任主任的彼得堡文化艺术学院被迫关闭。这个学院被官方报纸批为“吃官饷的修道院”，进行着“反革命的布道和艺术放荡”。马列维奇的艺术理念与当局提倡的政治性的社会现实主义严重冲突，而后者是马列维奇一生为之反对的。黑方块更是居心叵测和红色社会格格不入。这些当然导致他没什么好果子吃。再后来，对他的批判进一步升级，他的作品被批为资产阶级的艺术。 他被剥夺了办画展写文章的所有权利。后他又被捕流放到西伯利亚，虽然他最后被释放，但他的健康已被摧毁。1935年，他在贫病中离世。时年57岁。在他的病榻上，就放着一幅黑方块。 马列维奇的艺术后来在西方得到了广泛的肯定和欣赏。他的家人后来拿出了他后期的一幅黑方块。可当时市面上也流传着好几幅未经证实的黑方块，毕竟这幅画太容易模仿了。最具讽刺意味的是据说最后确认家人拿出的黑方块的真实性源于画布上的一枚指印，而这枚指印与西伯利亚监禁马列维奇时，他被留下的指印吻合。这幅画1993年Inkombank以25万美元买下。2002年4月拍卖估价100万美元，后一位慈善家买下后捐出，现藏于俄罗斯国家遗产博物馆（State Hermitage Museum）。 世界名画中的数学7 — 映射a
郑板桥（1693—1765）清代官吏、书画家、文学家。名燮，字克柔，汉族，江苏兴化人。康熙秀才、雍正举人、乾隆元年进士。中进士后曾历官河南范县、山东潍县知县，有惠政。以请臻饥民得罪大吏，乞疾归。后主要客居扬州，以卖画为生。著名的“扬州八怪”之一。其诗、书、画均旷世独立，，世称“三绝”，尤其擅画兰、竹、石、松、菊等植物，其中画竹五十余年，成就最为突出。著有《板桥全集》。 绘画的代表作品有：《修竹新篁图》、《清光留照图》、《兰竹芳馨图》、《甘谷菊泉图》、《拄石干霄图》、《丛兰荆棘图》、《画竹留赠图》等。
郑板桥的艺术理念实际点出了一个重要的数学概念：映射。他给出了三个空间：客观空间、主观空间和模型空间。他指出这三个空间的对象（竹）之不同，通过这些对象在这三个空间中的关系（函数），建立起这些对象的联系（映射）。在西方纠结于文艺复兴工业革命之艺术何去何从时，郑板桥的理念无疑是先进的。他给出了一个完整的建模过程：有定则（基本原理，主要矛盾，对象特征），有化机（形式变换，作者兴趣，可能想象）。而这个过程和我们的科学研究思想高度重合： 眼中之竹 —— 客观实体 心中之竹 —— 抽象概念 手中之竹 —— 自建模型
19世纪，面对工业革命带来的科学技术应用，绘画面临着前所未有的生死考验。再要追求“画”如何“像”实体已经走到了尽头。因为再怎么“像”也像不过咔嚓一下就成像的照相技术。于是有人哀叹：绘画完了。然而正象长江推后浪，在旧理念走向没落的同时，新理念如凤凰涅磐，从中喷薄而出，展现了其蓬勃的生命力。卓越的艺术家在他们在方寸画布上，左突右闪，寻找出路。当时西方流行着各种画派，有的昙花一现，有的传承下来。其中最为后人称道的是印象派。印象派最成功之处是将画家的感觉融进了画布，通过感觉映射，建立了一个和观众交流的情感桥梁。于是将作品从原来被动地反映客观世界提升到主动地宣泄作者的主观世界。也就是如上集提到的，作者在客观实体和主观概念，进而在自建模型之间找到了一个打上作者烙印的映射函数。用数学的话说，就是把古典空间映射推广到广义空间，将现实物体与情绪感觉建立起了联系。如果说郑板桥抽象的是竹的神韵，那么莫奈抽象的是睡莲的光感，他们将这些映射到自己的画作中。而这印象派的先驱和代表人物就是莫奈。
克劳德·莫奈（Claude Monet，1840－1920），法国画家，印象派代表人物和创始人之一。莫奈长期探索光色与空气的感觉效果，特别擅长光与影的表现技法。他对于色彩的运用相当细腻，他用许多相同主题的画作来实验色彩与光完美的表达。常常在不同的时间和光线下。对同一对象作多幅的描绘，从自然的光色变幻中抒发感觉。他最有名的系列作品是睡莲，他将同一池塘里的睡莲在不同时间，不同季节，不同光照，不同条件的不同姿态以作者不同的感觉画出，展现了睡莲的各个层次丰满的外形内涵。他实际通过一系列的映射将睡莲按时间轴的变化表现出来以在二维画布上多加上一离散时间轴。而每一幅画都是这个轴上某时刻的一个截面。 由于莫奈对光和色特别敏感，他能发掘出人们往往忽略的一些瞬息即逝的感觉和情绪。不仅如此，莫奈找到的是睡莲的状态和人的情绪之间的映射，这使得他的睡莲能和其观众产生强烈共鸣。这种映射使得他笔下的色彩并不完全“忠实”地反映客观，而是更加迎合人的情绪。所以他的画惊艳而耐品，往往是各博物馆的的“宠儿”，更使多年来他的粉丝一直汹涌。 下面的睡莲，你能感觉出那是什么季节，什么时候，能与你什么情绪共鸣吗？
如何在画布上表现抽象的概念？艺术家们找到的诀窍就是映射。他们通过特征的物体表现一些抽象的理念和神秘的潜意识，这使得他们的作品离现实物象越来越远，画面也越来越荒诞。画家自己不负责解释，于是观众欣赏一幅画成为一个再创作的过程，而且见仁见智。所以同一幅画，每个观众根据自己的经历和知识会得到不同的感受，这也就是后超现实主义画派所达到的高度。这里一名杰出人物叫达利。
今年六月份，我去西班牙南部开会，在马德里转机，转机时间有8小时，我就顺便跑进了城里去看几个博物馆。碰巧，索非亚王妃艺术中心正在举办达利画展，那个参观的人可谓人山人海，排队转了两个圈，可与我们的世博会有一拼。我上午10点排到后只能买到下午6点半的参观票，到时飞机怕是赶不上了。后来直接持票去展馆，秀出我的机票，才获特权进去参观，让我有机会全面欣赏达利的作品，从而获得一份额外的惊喜。——只是可惜不让拍照。
萨尔瓦多·达利（Salvador Dali，1904年 -1989年 ）生于西班牙菲格拉斯，西班牙超现实主义画家和版画家，达利是一位具有非凡才能和想像力的艺术家，以探索潜意识的意象著称。1982年西班牙国王胡安·卡洛斯一世封他为普波尔侯爵。 达利的作品猛一看感到难以接受，画面乱七八糟不知是些什么东西。但仔细看可以发现一些线索，顺着这些线索能慢慢地琢磨出作者可能要表达的意思。这里我只能说可能，因为你的理解完全在乎你的背景，例如我看出来的意思是很数学的，也就是说在我眼里，他映射的空间与数学有关，尽管他的数学思想没有记载。下面我们来欣赏他的两幅我认为比较容易懂得画，以我的理解和大家交流。再强调一下，这只是我的理解，每个人都可以有自己的理解。 下面这幅画“记忆的久恒（The Persistence of Memory）”是达利最有名的画之一。画面上最惹人注目的是三个分别挂在树上、披在怪物上和搭在桌上的弯曲的时钟。说到时钟，大家容易联想到时间。是的我们可以默认为这三个时钟映射的就是抽象的也是基本的概念：时间。可是，与我们平时见到的时钟，无论挂在墙上还是放在桌上或者戴在手上，其面都是平整的，那么他的弯曲表示了什么？这让我们联想到达利同时代的一位伟大的物理学家爱因斯坦。他的相对论指出空间是弯曲的，从而让数学史上纯属理论推演的非欧几何落到了实处。那么达利的画是不是表示时间也是弯曲的？我的理解是肯定的。时间本是一个轴线，时间弯曲是什么意思？想想我们有这样的经验，有些时候过得快，有些时候过得慢；有些时候感到回到过去，有些时候过得不同从前。这也就是说看似对人人公平公正一样的时间映射在我们感觉记忆空间里确实是柔软有弹性的，或者说是可拉伸弯曲的。达利应该通过三种方式隐喻时间弯曲的方式：挂——时间可以倒流；披——时间可以伸缩；搭——时间可以折转。而树枝、桌子和怪物分别隐喻使时间弯曲的方式：树枝——时间尽头；怪物——时间状态；桌子——时间障碍。加上他的题目，时间是永恒的但映射在人记忆中有各种方式。桌面上达利还画了一个不知是酒瓶还是化妆盒的东西，这个世俗的坚硬东西好像永久不变，佐证了抽象、柔软和变化的时间，成为时间的参照物。画的背景是在海滩上，向前海面可以伸展到无限，但海滩地面却是有限的，隐喻着依附于时间的记忆之永恒性，但拥有和承载记忆之人生却是有限的。
下面这幅画叫“比基尼的三尊狮身人面像（Three Sphinxes of Bikini）”，这里的映射就比较直接了。将人的头颅和树冠，还有远山可以理解成山石的东西画成相似型对应起来。我理解成高级动物、植物和沙砾在大自然的眼中都是平等的。有意思的是题目，比基尼的三点，他把这三点都叫做狮身人面，亦人亦兽，实际画面是亦人亦草亦石，有什么区别？
因此，达利的画看似荒诞，但映射出的内容不可谓不丰富，不可谓不深刻。 世界名画中的数学10 — 动态a 17世纪开始，微积分由牛顿和莱布尼兹发起而诞生，历史上为争论无穷小量的意义而大打出手，那时无穷小量被保守派称为“幽灵”，呼之即来，挥之即去。直到19世纪，在众多数学家的努力下，微积分的理论才趋于完善，人们才有了刻画动态的利器。 这段时间，为绘画艺术寻找出路的艺术家们也开始在静态的画面上尝试描述动态，静悄悄地开展了一场动态革命。尽管人们尝试刻画动态由来已久，在古埃及的壁画上就可以看出端倪。例如在弘扬法老拉姆西斯II的壁画上，英雄的战马刻成了六条腿，以此表示战马奔腾的状态。然而绝大多数描述动态场合的古典画，无论多壮观，都是凝固了激烈场面的一瞬间，那些人物的姿态和表情都是清晰真切细腻的。
我们来看文艺复兴时期巴洛克美术的代表人物德国画家彼得.保罗.鲁本斯（Peter Paul Rubens，1577—1640）的代表作"强劫留西帕斯的女儿（Rape of the Daughters of Leukippos）"。画的高超技巧和华丽色彩和动作强烈的风格令人印象深刻。希腊神话英雄宙斯的孪生子狄俄斯库里把留西帕斯的两个女儿从梦中劫走，强行上马的情景。两匹马和两对男女的交错动势占据了整个画面，色彩对比鲜明，头、手、脚四射，马仰人翻，很暴力，很热辣，极富运动感。人马的肌肉骨骼所传达的呼声，男人和女人眼睛流露的狂野和恐惧，让人感到惊心动魄，充分表达了文艺复兴时期人体健美、表情传神、动作精准的特点。这种人马姿势在现实中是决不能持续的，所以画家是通过不能静止的动作来暗示动态，然而那个瞬间人马的姿态表情却都非常清晰具体，连头发都不含糊。其实从微积分的思想，如果把运动物体的时间切割的很细，在 然而到了19世纪，艺术家们不满足只刻画
用数学的话说，他们放大了无穷小时间到一个差分的微小时间，用
“舞台上的舞女”画了一个跳芭蕾的少女在单腿旋转的一刹那。虽然画家描述的仍然是难以持续较长的动作，但人物的表情却不再清晰。那模糊的舞台背景，飘逸的舞裙，飞扬的发辫，迷幻的色彩给人以眩晕的感觉，巧妙地画出了旋转的印象，在静态画布体现了比古典画更生动的动感。
保罗·塞尚（PaulCézanne，1839—1906）法国著名画家，后印象派的主将，作为现代艺术的先驱，从19世纪末便被推崇为“新艺术之父”，也被称为“现代艺术之父”或“现代绘画之父”。他对空间感的追求和表现，为“立体派”开启了新河。 他大大改变了静物画画法，将不稳定引进了静物画，从而开创了一代画风，对后来影响巨大。 在这集里我主要谈谈塞尚的静物画。 所谓静物画，即以相对静止的物体为主要描绘题材的绘画。这种物体（如花卉、蔬果、器皿、书册、食品和餐具等等）是根据作者创作构思的需要，经过认真选择，精心摆布，通过形象和色调的关系创造的艺术品。静物画不需要模特儿，所以创作的条件相应简单，但其表现力仍然强大。为了欣赏塞尚的静物画，我们先看两幅塞尚之前的两幅典型的静物画。第一副是宋朝李嵩（1163-1243）的花篮图，第二副是华盛顿国家美术馆收藏的 Balthasar van der Ast (1593-1657) 1622年画的果篮。
这两副画基本忠实原型，只是画家通过物品的安排使画面的分布错落有致，主次分明，色彩对比协调，物体仿真可触。第二幅画更通过光线的明暗增加了画面的深度。这些静物画都给观众一种永恒的安静感觉。 到了塞尚，这种安静被打破了。塞尚以他不断探索的开拓精神，对静物画进行了一场革命。他深愔动和静的辩证关系，力求在静物画中画出动来。塞尚和德加不同，德加是将“动”的物体画出“动”来，而塞尚则是将“静”的物体画出“动”来。显然塞尚更胜一筹。在数学的观点看来， 静状态并不是永恒的，它只是被看成在各种条件下的平衡态，而平衡态被分为稳态平衡和不稳态平衡。这种稳态和不稳态也是相对的，在一定条件下可以互相转换。塞尚就在他的作品中表现了这种不稳定的平衡态。在塞尚的时代，微分方程和动力系统得到了长足的进步，人们对这些稳定和不稳定的平衡态有了不断深刻的认识。同在法国的数学伟人庞加莱等人为此做出了重大贡献。这种思想形成的氛围其影响是相互的。在今天，平衡态被用到了各个领域，并在优化、管理和预测等发面发挥着巨大作用，如天才数学家纳什将其应用到经济领域，并称其为均衡，并以此获得1994年诺贝尔经济学奖。 塞尚画了许多静物画，下面我们来欣赏他其中的一副。
咋看到这幅画时，并没有不稳定的感觉，但仔细观看，发现了太多不稳定的因素：倾斜的桌面，易滚动的苹果，滑落的台布，扭歪的托盘。但好像这些不稳定元素互相牵制都为平衡做出了贡献——台布虽乱增加了摩擦延缓了苹果的滚动，而其中的一个苹果又像是压住了台布的滑势；水果刀好像是抵死支撑住了桌子的倾斜；那托盘借住苹果和葡萄这大珠小珠的力量，为了拉住滚动使劲用力都扭曲地变了型；甚至桌后墙面的壁画中的枝叶都挣扎着强伸头出来试图拉一把；那个若隐若现的透明酒杯上半截在壁画里，下半截在桌面上，像是起到了一个虚拟钉子的作用；而所有的苹果如果不滚动都隐含布排成了稳定的三角形。这些不同的势力互相牵制的结果，使得画面达到了一种微妙但脆弱的平衡，但只要有一个因素变化，这种平衡就会被打破，所以塞尚天才地画出了一个不稳定的平衡态，一个不静的静物画。 世界名画中的数学12 — 动态c
文森特.威廉.梵高（Vincent Willem van Gogh，1853－1890），荷兰印象派代表性画家。 做过职员、经纪人、传教士。
这集里，我们主要谈谈他的另一副名作“星空（Starry Night）”。
这幅画是他在他生命的最后一年在精神病院里完成的，据说是他画的是他病房窗外的景色。在梵高的笔下，宁静广籁无垠而又神秘的夜空被画成了激荡流动徊旋而又梦幻的天幕。梵高的“动”已不再是一瞬间，而是扩展到了整个流程，甚至延伸到宇宙的起点。那现实中的一棵树给画成了黑色的火焰，直指夜空，和右上角那夜间似乎不可能如此明亮的大星形成对比，而其他的小树都成了流线的一部分，让人感到世俗和宇寰是这样剧烈地融合。 学过动力系统的朋友会感到，这个图几乎包括了动力系统的各种收敛或发散的极限状态。在似乎安宁的夜空中，空气是在流动的，敏感的梵高感受到了这一切。我们知道在当时数学界对流体力学的研究已经取得了令人瞩目的成就，从牛顿第二定律出发的被称为流体力学经典的由纳维（Claude-Louis Navier，1785-1836）和斯托克斯（George Gabriel Stokes，1819-1903）导出的纳维-斯托克斯方程（Navier-Stokes equations）已经建立：
其中，v 是流体速度，▽是拉普拉斯算子；ρ是流体密度；p 是压力，T=μ▽v 是应力张量，μ是粘性系数，f 是体力。当时除了对水流有了一系列的研究成果外，虽空气动力学的研究也取得了很大成就，为人们的飞行打下了理论基础。梵高逝世后的13年，赖特兄弟将人类第一架飞机开上了蓝天。下面的图显示了飞机飞行时机翼所卷起的湍流，与梵高在思想遨游夜空时所体验的景象何其相似！
在梵高的星空中心，我们还看到了一个太极雏形，和我们古老的中国哲学不谋而合。我们的老祖宗对宇宙之初的解释是：“是故易有太极，是生两仪；两仪生四象； 四象生八卦。”这是不是梵高从深邃无垠的夜空中所领悟到的宇宙元态？
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