[试题剖析]高考数学中的阅读理解问题

2013-09-03  sanmin

阅读是当代社会人们获取信息的最重要的途径之一,所以阅读能力是高考各学科都重点考查的内容。几年来的全国和各地的高考数学试卷中出现了大量的阅读理解问题,现分类加以解析,供师生共同参考。

一、阅读教材内容,归纳总结提炼数学思想方法

学习数学离不开做题,但更离不开阅读教材,要从课本叙述中通晓知识的来龙去脉、从例题中提炼思想方法、从课外练习中学会解题技巧,等等。

例1(2004年上海市高考题)教材中“坐标平面上的直线”与“圆锥曲线”两章内容体现出解析几何的本质是      

解析:如果平时我们只顾埋头解题,只知道用公式、死算,面对这个问题就会一筹莫展。相反,如果我们注重对教材的阅读,并且在阅读中把握课本对知识体系的演绎、思想方法的展开,就知道,解析几何的本质是:“用代数的方法研究几何图形的性质”。

例2(2003年上海春季高考题)设

,利用课本中推导等差数列的前n项和的公式的方法,可求得
的值为:      

解析:本题要求利用课本中等差数列的求和方法,如果平时只记忆公式,而缺乏对课本公式来源过程的阅读,就不知道要用“倒序相加法”。

    ①

    ②

为化简,应将①、②式相加,类似于等差数列的情形,猜想:

。而

       

     所以:

     所以:

由此可见,高三数学的复习最后一定要回归课本,任何好的参考资料都不能代替对课本的阅读、掌握。

二、阅读解题过程,辨别真伪,考查思维的批判性

有时高考试题还通过模拟考生的错误,给出解法,让考生阅读。这一类试题给出的错误正是学生易出错的地方,所以具有很强的迷惑性和欺骗性,题型相当于英语考试中的“改错题”。

例3(2003年上海卷高考题)给出问题:

是双曲线
的焦点,点P在双曲线上。若点P到焦点
的距离等于9,求点P到焦点
的距离。某学生的解答如下:双曲线的实轴长为8,由
,即
,得

该学生的解答是否正确?若正确,请将他的解题依据填在下面空格内,若不正确,将正确的结果填在下面空格内      

解析:试题提供的解答过程是不正确的,产生了多解。由题意知:

,若
,由题设
两边之差大于第三边,与三角形两边之差小于第三边的性质矛盾。

解决此类问题,需要在复习过程中注意对思维的严谨性和推理的逻辑性进行训练,也要注意对课本、参考书和教师同学的解法进行反思和加工,从而形成良好的批判思维能力。

三、阅读给定的材料,用数学的眼光分析和解答相关问题

学习数学,不仅是为了能够解题,更重要的是应用数学,也就是要会用数学的眼光和头脑来观察和分析生活中遇到的问题。

例4(2004年重庆市高考试题)毛泽东在《送瘟神》中写到:“坐地日行八万里”。又知地球的体积大约是火星的8倍,则火星的大圆周长约为_万里。

解析:由生活常识知道,一日地球自转一周,所以读懂“坐地日行八万里”的含义相当重要,这句话指的是地球大圆(或赤道)周长大约为8万里,又由题意可知地球体积是火星体积的8倍,从而地球的周长是火星的周长的2倍,所以火星的周长为4万里。

例5(2004年福建省高考试题)一个总体中有100个个体,随机编号0,1,2,3,…,99。现用系统抽样的方法抽取一个容量为10的样本,规定在第一组抽取的号码为m,那么在第k组中抽取的号码个位数字与m十k的个位数字相同,若m=6,则在第7组中抽取的号码是: 。

解析:读懂试题中给定的“抽样法则”非常重要,因m+k=6十7=13,故在第7组中抽取的号码个位数字是3,从而抽取的号码是63。

这类试题在体现出高考试卷的人文性的同时,还加强了对考生和数学素养的考查,必将成为今后教学和应试的热点,所以要在高三的数学复习中加强对应用意识和实践能力的培养,特别是要学会在生活中领悟数学、用数学。

四、阅读图表等统计资料,提取有关信息并解决相关问题

日常生活、生产实践中经常会出现图表问题,阅读图表,从中提取有关信息已成为生活中必不可少的内容,如每日的股市曲线图、菜场上的价目表和招工市场上的应聘与招聘数据等等,这些都是高考命题的源泉。

例6(2004年江苏省高考试题)某校为了了解学生的课外阅读情况,随机调查了50名学生,得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据,结果用右上方的条形图表示。根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为( )。

A.0.6小时         B.0.9小时      C.1.0小时     D.1.5小时

解析:由条形图要看出,对应阅读时间量为0、0.5、1、1。5、2小时的人数分别为5、20、10、10、5,故50人阅读的总时数为:

小时,所以平均每人阅读时间为:
小时。

例7(2004年上海卷高考题)某地2004年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下:

若用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况,则根据表中数据,就业形势一定是( )。

A.计算机行业好于化工行业

B.建筑行业好于物流行业

C.机械行业最紧张

D.营销行业比贸易行业紧张

解析:本题选材于社会热点问题,背景鲜活真实,考查学生阅读图表后获取有用数据的能力。根据表中的数据,可推知机械行业的应聘人数少于贸易的65280人,与招聘人数89115之比小于1,也可以这样理解:凡来应聘的都有工作,而物流行业,招聘人数少于化工的70436人,应聘人数74570与招聘人数之比大于1,即来应聘的人肯定有人没有工作,故可断定“建筑行业好于物流行业”,故选B。

在高考中试卷中考查学生阅读图表,甚至作图表的问题正方兴未艾,只要我们给予足够的重视,平时多加训练,解决好这类问题是不难的。

五、阅读相关信息,通过归纳、探索,发现规律,得出结论

高考不仅仅是要把平时储存在学生头脑中的知识提取出来,看其数量大小,而更要考核考生的知识应用能力以及从已有的知识出发,建构新的知识的能力。

例8(2003年全国卷文科试题)在平面几何里,有勾股定理:“设

的两边AB、AC互相垂直,则
。”拓展到空间,类比平面几何的勾股定理,研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系,可以得出的正确结论是:“设三棱锥
的三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂直,则        。”

解析:这是一道典型的探究性试题,仅靠平时对概念、结论的简单记忆和接受是无论如何也解答不出来的。问题的答案是:

。解决这类问题更重要的是从阅读题目中提供的有关信息开始,通过自主探究和动手实践,归纳或猜想出一般的结论,最后再进行证明。

例9(2003年北京市高考试题)某班试用电子投票系统选举班干部候选人。全班k名同学都有选举权和被选举权,他们的编号分别为1,2,…,k,规定:同意按"1”,不同意(含弃权)按"0",令              

其中i=1,2,…,k,且j=1,2,…,k,则同时同意第1,2号同学当选的人数为( )

      

解析:第1,2,…,k名学生是否同意第1号同学当选依次由

确定(
表示同意,
表示不同意或弃权),是否同意第2号同学当选依次由
确定,而是否同时同意1,2号同学当选依次由
确定,故同时同意1,2号同学当选的人数为
,故选C。

这类问题涉及知识面广、开放度高、灵活性强,能够很好地考核考生利用所学知识分析问题和解决问题的能力,需要平时结合所学的知识多联想和多类比,注意知识的活学活用,才能够处理好这类问题。

六、阅读试题提供的新定义、新定理,解决新问题

高考试题有时还会通过提供新材料、创设新情境和提出新问题来考查考生的学习新数学知识的能力和综合利用所学知识解决新问题的能力,这类问题大多没有在以往的复习资料上出现过,背景相对公平,正是高考所追求的理想题型。

例10(2004年北京市高考试题)定义“等和数列”:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和。

已知数列

是等和数列,且
,公和为5,那么
的值为       ,这个数列的前n项和
的计算公式为       

解析:这是一个新定义问题,题材对于每一位同学都是陌生的,重点在于考查学生学习应用新知识的能力和由“等差”到“等和”的类比能力。根据试题提供的材料不难得出:

   

     

例11(2004年广东省高考试题)设函数

,其中常数m为整数。

(1)当m为何值时,

(2)定理:若函数

上连续,且
异号,则至少存在一点
,使

试用上述定理证明:当整数m>1时,方程

内有两个实根。

评析:本题要求学生在研读所给定理后,创造性地加以利用,可以较好地考查考生的创新意识和创新能力。限于篇幅,本文解答从略,读者可自行查阅相关资料。

考生在考试过程中遇到这类试题时,要沉着冷静地仔细研读试题提供的材料,找准突破口,和自己已有的知识建立起实质性的联系,综合地运用所学的数学知识和数学思想方法解决新问题。

阅读能力是学习数学的一个十分重要而又容易被忽略的技能,数学新知识的学习离不开阅读。由此可见,在高三数学复习中通过让学生自己阅读教材、自己阅读例题的解法、加强学生阅读能力的培养是十分迫切,也是十分重要的。

 

来源:《中学数学研究》

(责任编辑:汪春

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