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在十九世纪的一次国际数学会议期间，有一天，正当来自世界各国的许多著名数学家晨宴快要结束的时候，法国数学家柳卡向在场的数学家提出困扰他很久、自认“最困难”的题目：“某轮船公司每天中午都有一艘轮船从哈佛开往纽约，并且每天的同一时刻也有一艘轮船从纽约开往哈佛。轮船在途中所花的时间来去都是七昼夜，而且都是匀速航行在同一条航线上。问今天中午从哈佛开出的轮船，在开往纽约的航行过程中，将会遇到几艘同一公司的轮船从对面开来?” 问题提出后，果然一时难住了与会的数学家们。这道题就是数学史是著名的“柳卡趣题”。其实，“柳卡问题”的解决并不困难，运用小学的数学知识就可以解决它，而且解法还十分新奇有趣。 显然“柳卡问题”也是一类相遇问题，利用我们相遇问题的基本公式（相遇时间=总路程÷速度和）就可以"干掉"它。如果设每艘轮船的速度是x海里/昼夜，一艘轮船刚与迎面驶来的轮船相遇时，同下一艘即将相遇的轮船间刚好相差一昼夜的航程(想一想，为什么)，即为x海里。因此，同下一轮船相遇的时间应是x÷(x+x)=0．5(昼夜)，也就是说一艘轮船可以在一昼夜遇到两艘从迎面驶来的轮船。那么，七昼夜一共可以遇到7×2=14(艘)从对面开来的轮船，加上出港时遇到的一艘，一共15艘轮船。(如果不仔细考虑，可能认为仅遇到7艘轮船.这个错误，主要是只考虑了已经开出的轮船而忽略了已在海上的轮船。) 下面介绍法国数学家柳卡本人给出的一个非常直观的巧妙解法。 他先画了如下一幅图： 这是一张运行图.在平面上画两条平行线，以一条直线表示哈佛，另一条直线表示纽约.那么，从哈佛或纽约开出的轮船，就可以用图中的两组平行线簇来表示.图中的每条线段分别表示每条船的运行情况.粗线表示从哈佛驶出的轮船在海上的航行，它与其他线段的交点即为与对方开来轮船相遇的情况. 从图中可以看出，某天中午从哈佛开出的一条轮船（图中实线表示）会与从纽约开出的15艘轮船相遇（图中用虚线表示）.而且在这相遇的15艘船中，有1艘是在出发时遇到（从纽约刚到达哈佛），1艘是到达纽约时遇到（刚好从纽约开出），剩下13艘则在海上相遇；另外，还可以图中看到，轮船相遇的时间是每天中午和子夜. 柳卡画的这张图就是传说中的柳卡图，也称为折线图，可以很好的解决复杂的行程问题。快速的解法是直接画时间-距离图，再画上密密麻麻的交叉线，按要求数交点个数即可完成。折线示意图往往能够清晰的体现运动过程中“相遇的次数”，“相遇的地点”。使用折线示意图法一般需要我们知道每个物体走完一个全程时所用的时间是多少。如果不画图，单凭想象似乎对于像我这样的一般人儿来说不容易。 其中相遇”两字广义上讲，只要两人在同一地点就算相遇，因此分为两种情况，一种叫做迎面相遇（即我们平时说的相遇问题），一种叫做追及相遇（即我们平时说的追及问题），一般题目说的相遇，我们默认指的是迎面相遇，若题目说只要两人在同一地点算做一次相遇，那么这时两种情况都要算。 下面我们来看用柳卡图来解决的两道问题。 【例1】 甲、乙两人在一条90米的直路上来回跑步，甲的速度3米/秒，乙的速度2米/秒。如果他们同时分别从直路的两端A、B两点出发，当他们跑12分钟，共相遇了多少次？（从出发后两人同时到达某一点算作一次相遇）。  【分析】 多次相遇，如图所示，甲用实线表示，乙用虚线表示 在180秒内，甲、乙共相遇5次，最后又回到出发的状态。  所以甲、乙共相遇了[12÷（180÷60)×5=20（次） 【例2】甲、乙两人在一条长为30米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒1米，乙的速度是每秒0.6米．如果他们同时分别从直路的两端出发，当他们跑了10分钟后，共相遇几次？ 首先，甲跑一个全程需要30÷1=30（秒），乙跑一个全程需要30÷0.6=50（秒）．与上题类似，画运行图如下（实线表甲，虚线表示乙，那么实虚两线交点就是甲乙相遇的地点）： 从图中可以看出，当甲跑5个全程时，乙刚好跑3个全程，各自到了不同两端又重新开始，这正好是一周期150秒．在这一周期内两人相遇了5次，所以两人跑10分钟，正好是四个周期，也就相遇5×4=20（次） 备注：一个周期内共有5次相遇，其中第1，2，4，5次是迎面相遇，而第3次是追及相遇 |
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