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快乐课堂学数学-多余老师趣讲“十字相乘法” 乘法公式有以下三种： 完全平方公式：（A+B）方=A方+2AB+B方；（A-B）方=A方-2AB+B方； 平方差公式：（A+B）（A-B）=A方-B方。 乘法公式的实质是：两个特殊的二项式相乘。 完全平方公式是二项式的平方，即残余分子个相同的二项式相乘； 平方差公式中的两个二项式则是，其中一项相同，而另一项相反。 那么，对于所有的二项式相乘，有什么特点呢？ 这就是多余老师今天要讲一讲的“十字相乘法”。 这个名称听着新鲜吧？其实，我们在小学做笔算乘法时，就天天用到。 “十字相乘法”其实就是笔算乘法的运算方法而已。 一、列竖立计算多项式相乘 教材上多项式相乘的法则：先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 再想想笔算乘法的法则，看看实质上是不是一样的？ 下面我们对比一下笔算乘法和列竖式计算多项式相乘
可以看到，二者实质上是一样的，有不同，是由小学的“数”到中学的“式”升级造成的。 表现在以下几点： 1、数相乘要数位对齐，式相乘要同类项对齐； 2、式相乘存在正负号的符号问题； 3、式相乘不存在进位的问题。 二、十字相乘法和乘法公式，都是式相乘的口算方法 对于一般的二项式相乘，我们可以写成如下形式： （AX+C）（BX+D）=ABX方+（AD+BC）X+CD 可用如下口诀：“十位相乘得百位，个位相乘得个位，个位与十位交叉相乘后的和是十位” 所以，十字相乘法中的“十字”就是表示“交叉”。 如：（2X+5）（3X-2）=6X方+（15-4）X-10=6X方+11X-10 十字相乘法，也可以用于两位数相乘的口算。 只不过数相乘，存在着进位问题，所以，对于一些特殊的两位数相乘，才显得非常简便： 1、十位相同，个位相加得10。 如：53乘57=2500+500+21=3021，或=（5乘5+5）乘100+3乘7=3021 2、十位相加得十，个位相同。 如：35乘75=2100+500+25=2625，或=（3乘7+5）乘100+5乘5=2625 3、十位和个位都相同，即两位数的平方。（即完全平方公式） 如：23的平方=400+120+9=529 当A=B=1时，简化为（X+C）（X+D）=X方+（C+D）X+CD 如：（X+2）（X+3）=X方+（2+3）X+2乘3=X方+5X+6 用这个式子来记我们常用的十几的平方，非常简便准确。 11方=100+20+1=121，12方=100+40+4=144，13方=100+60+9=169 14方=100+80+16=196，15方=100+100+25=225，16方=100+120+36=256 17方=100+140+49=289，18方=100+160+64=324。19方=100+180+81=361 当A=B，C=D时，即为完全平方公式。 当A+B，C+D=0时，即为平方差公式。并且，只有在这种情况下，积才是二项。 三、十字相乘法用于因式分解 因式分解，不能称为是一种计算，而只是代数式的恒等变形。 即，因式分解中乘法的逆变形，而不是逆运算。 因式分解实质就是小学的分解因数。 在小学时学习分解因数，其作用是找公倍数和公约数，然后在分数运算时广泛使用。 与小学有整数，中学有整式一样，小学有分数，中学就会有分式。 在分式的运算中，因式分解将会得到广泛的使用。 而且，在前面我们可以观察到： 两个一次二项式的积，一般是二次三项式。（只有平方差形式的结果是二项） 反过来说，说是二次式可能分解成两个一次式相乘。这就是以后要用到的“降次”。 和二元方程组是通过“消元”变形成一元一次方程一样， 以后，会遇到解一元二次方程，则是要通过“降次”变形成一元一次方程。 所以，因式分解除了在分式计算中广泛应用以外，还将在解一元二次方程，解一元二次不等式，解决二次函数等方面有着更广泛的应用。 十字相乘法因式分解，即把前面的乘法反过来进行逆变形。 先说说简化形式，即X方+（C+D）X+CD=（X+C）（X+D） 如：X方+5X+6， 由于2乘3=6（常数项），2+3=5（一次项系数）， 所以，X方+5X+6=（X+2）（X+3） 此类十字相乘法因式分解，由于分解过程容易，作为中学生是必须掌握的。 而十字相乘法因式分解的完整形式： ABX方+（AD+BC）X+CD=（AX+C）（BX+D） 如：6X方+11X-10 由于6=1乘6=2乘3，10=1乘10=2乘5 经过简单组合，可发现 2 5，交叉相乘后的和=11 3 -2 所以，6X方+11X-10=（2X+5）（3X-2） 此类十字相乘法因式分解，由于分解过程相对而言不太容易，作为程度较好的中学生应该掌握。（因为此类二次三项式的问题也可以通过其他方法解决，但十字相乘法是最简便的） |
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