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快乐课堂学数学-多余老师趣讲“十字相乘法”

2013-10-11  多余老师

快乐课堂学数学-多余老师趣讲“十字相乘法

乘法公式有以下三种:

完全平方公式:(A+B)方=A方+2AB+B方;(A-B)方=A方-2AB+B方;

平方差公式:(A+B)(A-B)=A方-B方。

乘法公式的实质是:两个特殊的二项式相乘。

完全平方公式是二项式的平方,即残余分子个相同的二项式相乘;

平方差公式中的两个二项式则是,其中一项相同,而另一项相反。

 

那么,对于所有的二项式相乘,有什么特点呢?

这就是多余老师今天要讲一讲的“十字相乘法”。

这个名称听着新鲜吧?其实,我们在小学做笔算乘法时,就天天用到。

“十字相乘法”其实就是笔算乘法的运算方法而已。

 

一、列竖立计算多项式相乘

教材上多项式相乘的法则:先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项,再把所得的积相加。

再想想笔算乘法的法则,看看实质上是不是一样的?

下面我们对比一下笔算乘法和列竖式计算多项式相乘

13乘12

(X+2)(X-3)

25乘32=800

(2X+5Y)(3X-2Y)

   13

       X  +2

   25

         2X   +5Y

乘 12

乘     X  -3

乘 32

乘       3X   -2Y

   26

     -3X  -6    

   50

       -4XY  -10Y方

  13

X方 +2X 

  75

6X方  +15XY

  156

X方  -X  -6

  800

6X方  +11XY -10Y方

可以看到,二者实质上是一样的,有不同,是由小学的“数”到中学的“式”升级造成的。

表现在以下几点:

1、数相乘要数位对齐,式相乘要同类项对齐;

2、式相乘存在正负号的符号问题;

3、式相乘不存在进位的问题。

 

二、十字相乘法和乘法公式,都是式相乘的口算方法

对于一般的二项式相乘,我们可以写成如下形式:

(AX+C)(BX+D)=ABX方+(AD+BC)X+CD

可用如下口诀:“十位相乘得百位,个位相乘得个位,个位与十位交叉相乘后的和是十位”

所以,十字相乘法中的“十字”就是表示“交叉”。

如:(2X+5)(3X-2)=6X方+(15-4)X-10=6X方+11X-10

 

十字相乘法,也可以用于两位数相乘的口算。

只不过数相乘,存在着进位问题,所以,对于一些特殊的两位数相乘,才显得非常简便:

1、十位相同,个位相加得10。

如:53乘57=2500+500+21=3021,或=(5乘5+5)乘100+3乘7=3021

2、十位相加得十,个位相同。

如:35乘75=2100+500+25=2625,或=(3乘7+5)乘100+5乘5=2625

3、十位和个位都相同,即两位数的平方。(即完全平方公式)

如:23的平方=400+120+9=529

 

当A=B=1时,简化为(X+C)(X+D)=X方+(C+D)X+CD

如:(X+2)(X+3)=X方+(2+3)X+2乘3=X方+5X+6

用这个式子来记我们常用的十几的平方,非常简便准确。

11方=100+20+1=121,12方=100+40+4=144,13方=100+60+9=169

14方=100+80+16=196,15方=100+100+25=225,16方=100+120+36=256

17方=100+140+49=289,18方=100+160+64=324。19方=100+180+81=361

 

当A=B,C=D时,即为完全平方公式。

当A+B,C+D=0时,即为平方差公式。并且,只有在这种情况下,积才是二项。

 

三、十字相乘法用于因式分解

因式分解,不能称为是一种计算,而只是代数式的恒等变形。

即,因式分解中乘法的逆变形,而不是逆运算。

因式分解实质就是小学的分解因数。

 

在小学时学习分解因数,其作用是找公倍数和公约数,然后在分数运算时广泛使用。

与小学有整数,中学有整式一样,小学有分数,中学就会有分式。

在分式的运算中,因式分解将会得到广泛的使用。

 

而且,在前面我们可以观察到:

两个一次二项式的积,一般是二次三项式。(只有平方差形式的结果是二项)

反过来说,说是二次式可能分解成两个一次式相乘。这就是以后要用到的“降次”。

和二元方程组是通过“消元”变形成一元一次方程一样,

以后,会遇到解一元二次方程,则是要通过“降次”变形成一元一次方程。

所以,因式分解除了在分式计算中广泛应用以外,还将在解一元二次方程,解一元二次不等式,解决二次函数等方面有着更广泛的应用。

 

十字相乘法因式分解,即把前面的乘法反过来进行逆变形。

先说说简化形式,即X方+(C+D)X+CD=(X+C)(X+D)

如:X方+5X+6,

由于2乘3=6(常数项),2+3=5(一次项系数),

所以,X方+5X+6=(X+2)(X+3)

此类十字相乘法因式分解,由于分解过程容易,作为中学生是必须掌握的。

 

而十字相乘法因式分解的完整形式:

ABX方+(AD+BC)X+CD=(AX+C)(BX+D)

如:6X方+11X-10

由于6=1乘6=2乘3,10=1乘10=2乘5

经过简单组合,可发现 2   5,交叉相乘后的和=11

                     3  -2

所以,6X方+11X-10=(2X+5)(3X-2)

此类十字相乘法因式分解,由于分解过程相对而言不太容易,作为程度较好的中学生应该掌握。(因为此类二次三项式的问题也可以通过其他方法解决,但十字相乘法是最简便的)

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