1
《律呂新書》中之五音與變徵、變宮律數
TheNumberofFiveTemperamentsandthe
Numberof“BianGong”&“BianZhi”in“The
NewBookofLǜLǚ”
上傳書齋名：瀟湘館112XiāoXiāngGuǎn112
何世強HoSaiKeung
Abstract:TheNewBookofLǜLǚwaswrittenbyCaiYuanding,ascholarof
SungDynasty.Inhispublicationhedroppeddownthecalculationsof
thenumberofFiveTemperamentsandthenumberof“BianGong”and
“BianZhi”.Thisarticleshowsallthecalculations.
提要：《律呂新書》乃宋?蔡元定所著。其中談及五音之律數、變徵及變
宮之律數之計算法。
關鍵詞：五音、五音之律數、變徵、變宮、變徵律數、變宮律數。
第1節十二律數、五音數、變徵與變宮數
《律呂新書》﹝清?羅登選箋義版本﹞中談及變徵與變宮及其律數。若要
明白變徵與變宮數，則須要明白五音數。本文亦涉及五音數及十二律呂數之關
係，故又要明白何謂十二律數。
《律呂新書》論及十二律數。其所記者皆為漢時之“三分益損法”或稱之
為“損益以三”。所謂“損益以三”應分成“損以三”及“益以三”，“損以
三”即乘以1–31=32，又稱為“下生”；“益以三”即乘以1+31=34，又
稱為“上生”。
十二律呂之“下生”與“上生”，以黃鐘數9﹝單位可以為寸﹞為始，其
餘十一律之律數可依下生與上生而得，但須注意有兩次之連續上生。《後漢
書?律準?候氣》有以下十二律呂下生與上生之說，其說可列成如下之數學
式：
1)黃鐘，其數9。
2
2)黃鐘下生林鐘，故林鐘數為：9×(1–31)=9×32=6。
3)林鐘上生太蔟，故太蔟數為：6×(1+31)=6×34=8。
4)太蔟下生南呂，故南呂數為：8×(1–31)=8×32=316=531。
5)南呂上生姑洗，故姑洗數為：531×(1+31)=316×34=964=791。
6)姑洗下生應鐘，故應鐘數為：
791×(1–31)=964×32=27128=42720。
7)應鐘上生蕤賓，故蕤賓數為：
42720×(1+31)=27128×34=81512=68126。
8)蕤賓上生大呂，故大呂數為：
68126×(1+31)=81512×34=2432048=8243104。
9)大呂下生夷則，故夷則數為：
8243104×(1–31)=2432048×32=7294096=5729451。
10)夷則上生夾鐘，故夾鐘數為：
5729451×(1+31)=7294096×34=218716384=721871075。
11)夾鐘下生無射，故無射數為：
721871075×(1–31)=218716384×32=656132768=465616524。
12)無射上生仲呂，故仲呂數為：
465616524×(1+31)=656132768×34=19683131072=61968312974。
以上十二式最大之分母為19683，若要各分數成整數，則各式須乘以
19683。
3
十二律呂之實表
下生/
上生
十二
律呂
律/
呂
管長寸
數
管長寸
數乘以
9之數
左欄之
整數
管長寸數×
19683﹝實﹞
---黃鐘律98181177147
下生林鐘呂65454118098
上生太蔟律87272157464
下生南呂呂5314848104976
上生姑洗律7916464139968
下生應鐘呂4272042324393312
上生蕤賓律68126569857124416
上生大呂呂824310475272376165888
下生夷則律572945150814651110592
上生夾鐘呂7218710756724310368147456
下生無射律465616524447296924598304
上生仲呂呂61968312974592187203960131072
所謂五音，宮、商、角、徴、羽也。每音均有其律數，以宮之律數81為
始，其餘四音之律數可依“下生”與“上生”之法而得。《史記?書?律書》
記有以下之五音律數及其演算法：
律數：九九八十一以為宮。三分去一，五十四以為徵。三分益一，七十二
以為商。三分去一，四十八以為羽。三分益一，六十四以為角。
4
五音之律數與部分十二律呂之數相同，故五音之律數亦可表相同律數之十
二律﹝見下表﹞。
《律呂新書?律生五聲圖第六》曰：
宮聲八十一、商聲七十二、角聲六十四、徴聲五十四、羽聲四十八。
《箋義》曰：
黃鐘為宮，其數八十一，三分損一下生林鐘為徴，則林鐘當五十四之數。
徴三分益一以上生太蔟為商，則太蔟當七十二之數。商三分損一以下生南
呂為羽，則南呂當四十八之數。羽三分益一以上生姑洗為角，則姑洗當六
十四之數。此聲氣之元，五聲之所取定也。
以黃鐘為宮，林鐘為徴，太蔟為商，南呂為羽及姑洗為角之說法可比較及
參閱〈十二律呂之實表〉第五欄。
以下為五音之律數演算法及排序：
五音律數表
五音律數﹝演算法﹞配十二律呂
宮9×9=81黃鐘
徵81×(1–31)=81×32=54林鐘
商54×(1+31)=54×34=72太蔟
羽72×(1–31)=72×32=48南呂
角48×(1+31)=48×34=64姑洗
變宮64×(1–31)=64×32=4232應鐘
變徴4232×(1+31)=3128×34=5698蕤賓
《律呂新書?律生五聲圖第六》有以下五聲之律數：
五音階及律數表
排序/
簡譜五音合西樂
律數﹝從大
至小排序﹞
配十二律
呂配月份
1宮Do81黃鐘十一
2商Re72太蔟正
5
3角Me64姑洗三
5徵So54林鐘六
6羽La48南呂八
《律呂新書》羅氏箋義亦承襲古人之說法作以下之五音配五事：
五音配五事表
排序五音五位五常五事五行
1宮君信思土
2商臣義言金
3角民仁貌木
5徵事禮視火
6羽物智聽水
以上之五音作五配不作詳細討論。
注意律長則聲濁﹝低音﹞，律短則聲清﹝高音﹞，其次序為81、72、64、
54、48，即宮、商、角、徵、羽。即宮聲最濁，羽聲最清。此五度音色，do、
re、me、so、la較為和諧。
又據《律呂新書》之說法，五音之數剛止於五數之64，如64再下生或上
生他數，則不能再得整數。《律呂新書》曰：
按黃鐘之數九九八十一，是為五聲之本，三分損一以下生徴，徴三分益一
以上生商，商三分損一以下生羽，羽三分益一以上生角，至角聲之數六十
四以三分之不盡一算，數不可行，此聲之數所以止於五也。
蔡元定之五音數說法非常簡單，自81開始下生與上生，只可生四個整數，
連同81本身共五個整數，故“聲之數所以止於五也”之原因。
但有所謂變宮變徴之律數，此二律數出於角數64，64不能整除3，因其商
為2131，“不盡一算”乃指31之分子1，故變宮變徴之律數必非整數，而聲之
數則止於5數，而此5數皆為整數﹝可參閱以上之〈五音階表〉﹞。
《律呂新書》曰：
變宮聲四十二﹝小分六﹞，變徴聲五十六﹝小分八﹞。
《箋義》曰：
6
箋曰若以為宮，則不足八十一之數，是亦宮不成宮矣，故為變宮。若以為
徴，則又多於五十四之數，是亦徴不成徴矣，故為變徴。
根據蔡元定之說法，變宮之數由角之律數下生而得：
64×(1–31)=64×32=3128=4232。此帶分數之分數相當於96，故曰“小
分六”。注其單位為寸，1寸有9分，故32寸即6分。四捨五入得43。羅登選
曰變宮之數4232﹝四捨五入亦只得43﹞與81之數相差極大，故必不能“成
宮”，只可以稱之為“變宮”。
筆者認為五音非循環，故變宮與律數81之宮無涉，而與高音之宮有關。五
音應有三類：低、中與高。81之宮應為中音。
變徴之數由變宮之數上生而得：
4232×(1+31)=3128×34=9512=5698。98之分子為8，此即為“小分
八”。又98寸即8分，四捨五入得57。變徴之數5698高於徴之數54，故5698
不能說成徵，“故為變徴”。
現將變徴與變宮之律數加入上表而成七音階：
七音階表
排序/
簡譜七音合西樂律數﹝從大至小排序﹞配十二律呂
1宮Do81黃鐘
2商Re72太蔟
3角Me64姑洗
4變徴Fa5698蕤賓
5徵So54林鐘
6羽La48南呂
7變宮Ti4232應鐘
《後漢書?律曆志》云：“黃鐘為宮……應鐘為變宮”。因應鐘與變宮同
為4232，故《後漢書》有此說法。若應鐘為變宮，則變徴為蕤賓，因兩數同為
5698，可參閱〈十二律呂之實表〉。
7
變徴之律數比徵聲略大，律數越大則音越低，故變徴之音比徴低，故變宮
之音亦比宮音低，但宮音已是最低之音，不能再有他音比宮音更低，故變宮之
音只能比高音宮﹝簡稱為“高宮”﹞之音低。高宮之律數可由變徴之數下生而
得，為：
5698×(1–31)=9512×32=271024=372725﹝取38之數﹞。變宮律數為
43，高宮之律數為38，故高宮之音階比變宮之音階高。故宜加上第8度音階：
8高宮高Do372725---
如此變宮與變徴之數有何特色？《律呂新書》曰：
按五聲宮與商、商與角、徴與羽，相去各一律，至角與徴、羽與宮，相去
乃二律。相去一律則音節和，相去二律則音節遠，故角徴之間近徵收一
聲，比徴少下，故謂之變徴；羽宮之間近宮收一聲少高於宮，故謂之變宮
也。
上述引文較為值得注意者為角與徴、羽與宮皆相隔二律，相隔二律之音色
欠和諧，於是遂有變徵與變宮之律。其實蔡元定之“羽與宮相隔二律”說法欠
清晰﹝角與徴“相隔二律”之說無問題﹞，羽與宮如何“相去二律”？羽與宮
分明相去六律，另一方面，音階逐漸提高，變宮之律數為42寸6分，宮之律數
為81寸，因此變宮之音階比宮之音階高得多﹝律數越小，音階越高﹞，如果說
“將宮音降低半音階而得變宮”則欠清晰，而是“將高宮音降低半音階而得變
宮”方合。因為五音非循環，故此宮音並非律數81之宮音，而是高音之宮音，
其律比變宮更短，而其律數為372725，取整數為38，此概念必須清晰，其情況
如變徵與徵。如此，“羽與高宮相去二律”方為合理。
又據《律呂新書》曰只有二變音，即變徵與變宮，其理由如下：
角聲之實六十有四，以三分之不盡一算，既不可行，當有以通之聲之變者
二，故置一而兩三之得九，以九因角之實六十四，得五百七十六，三分損
益，再生變徵、變宮二聲，以九歸之，以從五聲之數，存其餘數以為強
弱，至變徵之數五百一十二，以三分之又不盡二算，其數又不行，此變聲
所以止於二也。
為何只有變徵與變宮二律？《律呂新書》從角數64能否整除3探討此問
題。64除以3出現31，是為“不盡一算”﹝取其分母1而言﹞。又因古人無擴
大分數﹝分子與分母乘以同一常數﹞、約簡分數﹝分子與分母除以同一常數﹞
與通分母之概念，若果要變徵與變宮有相同之分母，例如9，先算出：
8
9×64=576，三分損一得576×32=384，又以9歸之﹝即除以9﹞以配合
五聲數之形式，得：384÷9=4296，此乃變宮之數。
變宮數三分益一得變徵數，即384×34=512，以9歸之得5698。但512再
不能整除3，故根據《律呂新書》之說法，變律只可有二：變宮與變徵。此乃
“止於二”之原理。注意此兩變律數皆以9為分母。餘數者，分數之分子也，
小於分母之半是為“弱”，大於分母之半是為“強”。
因古人數學水平不高，故有以上“止於二變”之說法。以現代數學眼光而
言，其實變律之數須要多少即可算出多少，問題在於所乘何數。例如本文之乘
以9﹝32﹞則“止於二變”，若乘以27﹝33﹞則“止於三變”，乘以81﹝34﹞
則“止於四變”，…，乘以3n則“止於n變”。甚至乎完全不須要考慮乘以何
數，只要依損一﹝即乘以32﹞或益一﹝即乘以34﹞之相間次序乘以變徵數5698
即可。
《律呂新書》又曰：
變宮變徵，宮不成宮，徵不成徵，古人謂之和繆。又曰：所以濟五聲之不
及也。變聲非正，故不為調也。
因變宮與變徵之數非原有之宮數及徵數，故曰“宮不成宮，徵不成徵”，
此情況稱為“和繆”。羅氏箋義對“和繆”有深入之解釋：
以角生變宮尚以為正生變，故為比於正音而謂之“和”；以變宮生變徵是
為以變生變，故為不比於正音而謂之“繆”。
簡言之“正生變”謂之“和”；“變生變”謂之“繆”。即“和”為半正
而“繆”為非正。
變宮與變徵之聲可補五聲之不足。又羅氏箋義曰：
五聲非二變不和，故曰濟五聲之不及也。
其實五聲有二變更為不“和”，因變宮與變徵均為“拗音”﹝見下文﹞。
但無二變者，五聲則欠完備，故羅氏曰“濟五聲之不及”，其意指“補五聲之
不足”。
又羅氏箋義曰：
調止於六十，故曰變聲不為調也。
六十調乃指十二宮聲，十二商聲，十二角聲，十二徵聲，十二羽聲，但無
十二變宮聲及十二變徵聲，故曰變聲不為調。可參閱筆者之《律呂新書中之六
十調及六十調圖》一文。
9
羅氏箋義又將五聲二變配合天象、四時及閏月之解說，唯其說意義不大。
羅氏箋義曰：
五聲象天道之播五行於四時，二變以象閏。五聲二變成一均，象天道之以
閏月定四時成歲。天道五歲，再閏，樂亦有二變聲；天道閏而四時不攺，
五聲變而宮徵不易。故記曰：明於天地，然後能興禮樂也。
以下為五音配五行之說：宮屬土、商屬金、角屬木、徵屬火、羽屬水；土
處於中央之位，中央統四時，故宮屬四時；金處西方屬金屬秋，故商屬秋；角
處東方屬木屬春，故角屬春；徵處南方屬火屬夏，故徵屬夏；羽處北方屬水屬
冬，故羽屬冬，此乃五音之配四時者也。四時乃天道，故五聲有天道之象也。
二變乃指變徵與變宮，《易》之筮法以揲蓍布卦，取蓍五十，只用其四十九，
此所謂“虛一”。若不“虛一”則不能成陰、陽、老陰、老陽四種爻﹝可參閱
筆者之《易學與數學》或《易經與傳統數學》二書﹞。“象閏”者，《易?繫
辭上傳》曰：
大衍之數五十，其用四十有九。分而爲二以象兩，掛一以象三，揲之以四
以象四時。歸奇於扐以象閏，五歲再閏，故再扐而後掛。
以上引文提及“象閏”。揲蓍布卦時，四十九蓍分成兩份，其中一份取去
一枝，稱為“掛一”，兩份蓍每份四枝一組而分﹝即除以四﹞，若餘數為0，
則取4為餘數。若將兩份蓍之餘數相加，再加“掛一”之蓍，稱為“歸奇於
扐”，是為“象閏”之說﹝相當於一年之閏月，即一年多出之月份﹞。五聲二
變為七聲，成為“一均”，此相當於含閏月之年份。按《四分曆》19年有7年
含閏月，平均2.7年一閏月，5.4年二閏月，粗略而言，五年有兩閏月，故曰
“五歲再閏”，樂之五音亦有二變，此乃五音之二變配合五年有兩閏月之說。
含閏月之年份依然有四季，此相當於有變徵與變宮之聲無影響原來之五
音。故天之道與五音之道相通者也，若明於此，則禮樂興，禮樂興，則天下大
治矣。
宋時，變宮又稱為閏宮，變徴又稱為閏徴。《宋史?樂志四》曰：
十月，…是月也，凡樂之聲，以應鐘為宮，南呂為商，林鐘為角，仲呂為
閏徵，姑洗為徵，太簇為羽，黃鐘為閏宮。
以上《宋史》所云之五音配十二律與〈七音階表〉不相同，相信此乃十月
之情況。故羅氏以閏月比作變徵與變宮，實有其來源也。
據古籍之記載變徴乃屬悲涼之音，《史記?刺客列傳》曰：
至易水之上，既祖，取道，高漸離筑，荊軻和而歌，為變徵之聲，士皆
垂淚涕泣。
戰國末時，荊軻欲刺秦王，臨行，高漸離為其餞別於易水。祖後﹝祭祀路
神曰“祖”﹞，一擊筑，一和而歌，為變徵之聲，其聲慷慨悲涼，送別者皆涕
10
泣。變徵只有一音，加插於歌曲中很難說是否“悲涼”，故《史記》所說之
“變徵之聲”乃泛指非和諧婉轉之曲，荊軻此去刺秦王，不論成功與否，亦難
逃一死，故其和歌慷慨悲涼，史書記之為“變徵之聲”。
其實變徵與變宮之音在音樂上算作“拗聲”﹝即非和諧悅耳之聲﹞，歌曲
少用此兩音，若曲中有此二音而不損曲之和諧悅耳者，則可算作曲高手。以下
為五度音階之和諧音律例子﹝下有橫線之音為低音﹞：
SoLaDoReMeSoLa
LaSoMeReDoLaSo
不論在任何位置加上一個或多變徵與變宮之音，其和諧之音色頓失。此乃
簡單之音樂例子。筆者亦嘗試以變徵與變宮之音隨機創出一“樂曲”，此“樂
曲”只有兩音，其效果相當於以鋸鋸金屬所發出之噪音無異。
第2節五音二變之低、中、高音律數表
筆者在上文曾提及變律多“變”多次，若果五音二變屬中音﹝正音﹞，則
高七音為高宮、高徵、高商、高羽、高角、高變宮、高變徵；而低七音為低
宮、低徵、低商、低羽、低角、低變宮、低變徵。至於高與低音之律數算法依
五音二變中音之律長推算。
下表為七音階律數之算法﹝宮律數可由低變徴律數12121算出，見下
文﹞：
七音律數表﹝正律﹞
宮﹝12121×(1–31)=2243×32=81﹞9×9=81黃鐘
徵81×(1–31)=81×32=54林鐘
商54×(1+31)=54×34=72太蔟
羽72×(1–31)=72×32=48南呂
11
角48×(1+31)=48×34=64姑洗
變宮64×(1–31)=64×32=3128=4232應鐘
變徴4232×(1+31)=3128×34=9512=5698蕤賓
高宮律數由變徴律數下生而得。從高宮律數開始，其餘律數為下生與上生
相間﹝注變徴下生高宮，高宮下生高徵，此乃連續下生之例﹞如下表所示：
高七音律數表
高宮5698×(1–31)=9512×32=271024=37272538
高徵372725×(1–31)=271024×32=812048=25812325
高商258123×(1+31)=812048×34=2438192=3324317334
高羽33243173×(1–31)=2438192×32=72916384=2272934622
高角22729346×(1+31)=72916384×34=218765536=292187211330
高變宮2921872113×(1–31)=218765536×32=6561131072=196561641320
高變徴1965616413×(1+31)=6561131072×34=19683524288=26196831253027
至於低音之律數亦可以以逆算法而得。其逆算法如下表所示。逆算從宮數
81開始，設低變徴律數為x，x下生可得宮律數，故可列出以下之方程式：
x(1–31)=81，移項並化簡得
x=81×23=2243=12121，因此低變徴之數為12121。其餘算法可以類推。
第三欄為四捨五入之整數。
今設“低低變徴數”為25920481009，此數下生低宮數。
12
低七音律數表
低
七
音
律數算法﹝先作逆算﹞整數
低
宮
因為17210241019÷(1–31)=1024177147×23=2048531441=25920481009，
故25920481009×(1–31)=2048531441×32=1024177147=17210241019。
173
低
徵
因為115512169÷(1–31)=51259049×23=1024177147=17210241019，
故17210241019×(1–31)=1024177147×32=51259049=115512169。
115
低
商
因為15312899÷(1+31)=12819683×43=51259049=115512169，
故115512169×(1+31)=51259049×34=12819683=15312899。
154
低
羽
因為1026433÷(1–31)=646561×23=12819683=15312899，
故15312899×(1–31)=12819683×32=646561=1026433。
103
低
角
因為1361611÷(1+31)=322187×43=646561=1026433，
故1026433×(1+31)=646561×34=162187=1361611。
137
低
變
宮
因為9181÷(1–31)=8729×23=162187=1361611，
故1361611×(1–31)=162187×32=8729=9181。
91
低
變
徴
因為12121÷(1+31)=2243×43=8729=9181，
故9181×(1+31)=8729×34=2243=12121。
122
宮﹝12121×(1–31)=2243×32=81﹞9×9=81。81
注意上表之連續下生部分。現將三表合併可得﹝除低宮律數外，其餘取消
逆算法﹞：
13
二十一音律數表﹝依下生與上生排序﹞
低宮
17210241019÷(1–31)=1024177147×23=2048531441=25920481009
25920481009×(1–31)=2048531441×32=1024177147=17210241019
173
低徵17210241019×(1–31)=1024177147×32=51259049=115512169115
低商115512169×(1+31)=51259049×34=12819683=15312899154
低羽15312899×(1–31)=12819683×32=646561=1026433103
低角1026433×(1+31)=646561×34=162187=1361611137
低變
宮1361611×(1–31)=162187×32=8729=918191
低變
徴9181×(1+31)=8729×34=2243=12121122
宮﹝12121×(1–31)=2243×32=81﹞9×9=8181
徵81×(1–31)=81×32=5454
商54×(1+31)=54×34=7272
羽72×(1–31)=72×32=4848
角48×(1+31)=48×34=6464
變宮64×(1–31)=64×32=3128=423243
變徴4232×(1+31)=3128×34=9512=569857
高宮5698×(1–31)=9512×32=271024=37272538
高徵372725×(1–31)=271024×32=812048=25812325
14
高商258123×(1+31)=812048×34=2438192=3324317334
高羽33243173×(1–31)=2438192×32=72916384=2272934622
高角22729346×(1+31)=72916384×34=218765536=292187211330
高變
宮2921872113×(1–31)=218765536×32=6561131072=196561641320
高變
徴1965616413×(1+31)=6561131072×34=19683524288=26196831253027
今依上表第三欄之整數律數從大至小排列如下表所示：
二十一音律數表﹝依律數從大至小排序﹞
低
Do
低
宮25920481009×(1–31)=2048531441×32=1024177147=17210241019173
低
Re
低
商115512169×(1+31)=51259049×34=12819683=15312899154
低
Me
低
角1026433×(1+31)=646561×34=162187=1361611137
低
Fa
低
變
徴
9181×(1+31)=8729×34=2243=12121122
低
So
低
徵17210241019×(1–31)=1024177147×32=51259049=115512169115
低
La
低
羽15312899×(1–31)=12819683×32=646561=1026433103
低
Ti
低
變
宮
1361611×(1–31)=162187×32=8729=918191
Do宮﹝12121×(1–31)=2243×32=81﹞9×9=8181
Re商54×(1+31)=54×34=7272
Me角48×(1+31)=48×34=6464
15
Fa變徴4232×(1+31)=3128×34=9512=569857
So徵81×(1–31)=81×32=5454
La羽72×(1–31)=72×32=4848
Ti變宮64×(1–31)=64×32=3128=423243
高
Do
高
宮5698×(1–31)=9512×32=271024=37272538
高
Re
高
商258123×(1+31)=812048×34=2438192=3324317334
高
Me
高
角22729346×(1+31)=72916384×34=218765536=292187211330
高
Fa
高
變
徴
1965616413×(1+31)=6561131072×34=19683524288=26196831253027
高
So
高
徵372725×(1–31)=271024×32=812048=25812325
高
La
高
羽33243173×(1–31)=2438192×32=72916384=2272934622
高
Ti
高
變
宮
2921872113×(1–31)=218765536×32=6561131072=196561641320
注意高宮律數372725乃大呂律數752723之半，商律數33243173乃夾鐘律數
67243103之半，高角律數2921872113乃仲呂律數5921872039之半。
綜觀以上21音階，粗略而言，以下12音通常用於樂曲中，其餘罕用或不
用：
低
角
低
徵
低
羽
低
變
宮
宮商角變徴徴羽變宮高宮
低
Me
低
So
低
La
低
TiDoReMeFaSoLaTi
高
宮
低3低5低6低71234567高1
16
此外羅登選有以下之“化簡為繁”之五音律數及其計算法：
《箋義》曰：
假令應鐘九萬三千三百一十二以八十一乘之，得七百五十五萬八千二百之
七十二為宮1，以九萬三千三百一十二約之得八十一。三分宮損一，得五百
三萬八千八百四十八為徴，以九萬三千三百一十二約之得五十四。三分徴
益一，得六百七十一萬八千四百六十四為商，以九萬三千三百一十二約之
得七十二。三分商損一，得四百四十七萬八千九百七十六為羽，以九萬三
千三百一十二約之得四十八。三分羽益一，得五百九十七萬一千九百六十
八為角，以九萬三千三百一十二約之得六十四。
其意指十二律呂之實數﹝可參閱第三頁〈十二律呂之實表〉﹞乘以宮數81
後，所得之積除以該律呂之數，仍得81。該積經下生或上生後，再除以原定律
呂之數，即得該五音之律數。此乃必然之結果，了無新意。
例如以應鐘之律數93312﹝見〈十二律呂之實表〉﹞乘以五音數，再經下
生或上生後，再除以93312，亦可得五音數。其結果可列成下式：
93312×81=7558272，7558272÷93312=81﹝宮律數﹞；
宮下生徴：7558272×32=5038848，5038848÷93312=54﹝徴律數﹞；
徴上生商：5038848×34=6718464，6718464÷93312=72﹝商律數﹞；
商下生羽：6718464×32=4478976，4478976÷93312=48﹝羽律數﹞；
羽上生角：4478976×34=5971968，5971968÷93312=64﹝角律數﹞。
以上之算法目的是使分數﹝如出現分數﹞之分母為93312。因古人無擴分
數、約簡分數、帶分數及通分母之說法，以上之步驟可使分數之分母為指定數
目，其實即擴分數，而新之分母必須為原有分母之倍數。
若十二律呂其中一律數為x﹝其實任何數均可﹞，其一般情況可列式如
下：
x×81=81x，81x÷x=81﹝宮律數﹞；
宮下生徴：81x×32=54x，54x÷x=54﹝徴律數﹞；
徴上生商：54x×34=72x，72x÷x=72﹝商律數﹞；
商下生羽：72x×32=48x，48x÷x=48﹝羽律數﹞；
17
羽上生角：48x×34=64x，64x÷x=64﹝角律數﹞。
若x為93312，則成以上之算法。
無論如何，在數學未發達之清代而言，羅登選之說法仍有一定之創意。
1原文作“得七百五十五萬八千二百之十二為宮”，漏去“七”字。原文之“之”字疑作七
字。
|
|
