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期望、方差、协方差及相关系数的基本运算

2013-11-24  dinghj

这篇文章总结了概率统计中期望、方差、协方差和相关系数的定义、性质和基本运算规则。

期望

定义

是一个离散概率分布函数,自变量的取值范围为。其期望被定义为:

是一个连续概率密度函数。其期望为:

性质

1、线性运算规则

期望服从线性性质(可以很容易从期望的定义公式中导出)。因此线性运算的期望等于期望的线性运算:

这个性质可以推广到任意一般情况:

2、函数的期望

为x的函数,则的期望为:

离散:

连续:

一定要注意,函数的期望不等于期望的函数,即!。

3、乘积的期望

一般来说,乘积的期望不等于期望的乘积,除非变量相互独立。因此,如果x和y相互独立,则

期望的运算构成了统计量的运算基础,因为方差、协方差等统计量本质上是一种特殊的期望

方差

定义

方差是一种特殊的期望,被定义为:

性质

1、展开表示

反复利用期望的线性性质,可以算出方差的另一种表示形式:

2、常数的方差

常数的方差为0,由方差的展开表示很容易推得。

3、线性组合的方差

方差不满足线性性质,两个变量的线性组合方差计算方法如下:

其中为x和y的协方差,下一节讨论。

4、独立变量的方差

如果两个变量相互独立,则:

作为推论,如果x和y相互独立:

协方差

定义

两个随机变量的协方差被定义为:

因此方差是一种特殊的协方差。当x=y时,

性质

1、独立变量的协方差

独立变量的协方差为0,可以由协方差公式推导出。

2、线性组合的协方差

协方差最重要的性质如下:

很多协方差的计算都是反复利用这个性质,而且可以导出一些列重要结论。

作为一种特殊情况:

另外当x=y时,可以导出方差的一般线性组合求解公式:

相关系数

定义

相关系数通过方差和协方差定义。两个随机变量的相关系数被定义为:

性质

1、有界性

相关系数的取值范围为-1到1,其可以看成是无量纲的协方差。

2、统计意义

值越接近1,说明两个变量正相关性(线性)越强,越接近-1,说明负相关性越强,当为0时表示两个变量没有相关性。

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