波函数及其在解高考题中的应用

波函数及其在解高考题中的应用

江苏省特级教师丰县中学　戴儒京

　　一、什么是波函数？

 

　　波函数的定义：

 

　　为了定量地描述介质中波动的情况，必修求得介质中各质元的位移与该质元所处的平衡位置及时间的定量关系，这种定量关系就是波的表达式，也叫做波函数（wave function）。

 

　　二、简谐波函数的推导

 

　　设有一波前为平面的简谐波，在均匀介质中沿轴正方向传播，波速为。由于这是一种平面波，所以在与轴垂直的平面上，各点的振动情况是一样的。所以只要讨论轴上各点的振动，就可以知道空间中各点的情况。

 

　　以O点为波源，设该处质元做简谐振动，其位移与时间的关系为

 

　　

 

　　式中A为振幅，为角频率。考察波线O上的任一点P，它离O点的距离为，当波源O的振动传到P点时，P点的质元将重复O点的质元的振动，角频率也相同，但振动的相位要落后于O点。因为O点的振动传到P点需要时间，所以P处质元在时刻的振动相位和O点质元在时刻的振动相位一样，即其相位为：

 

　　因为平面简谐波传播时各质元的振幅相等，P处质元在时刻的位移为：，这就是平面简谐波的波函数。因为,, 所以波函数也可以写为 

 

　　当取某一确定值时，波函数便是某质点的振动方程，例如，便是振源O的振动方程。据此可以画出该质点的振动图象。

 

　　当取某一确定值时，波函数便是某时刻的波动方程，例如，便是时刻的波动函数方程。据此可以画出该时刻的波的图象。

 

　　三、波函数的应用：解高考“波的传播”题

 

　　波的传播问题，历来是高考的热点。不论原大纲高考，还是新课标高考，波的图象问题，都占有一席之地。2010年高考的波的图象问题，又有新动向。如2010年高考上海物理卷第20题，是一道关于波的图象的难题，难在哪？难在两点间的距离不是的整数倍，还难在波的传播时间不是的整数倍，而以往的高考题往往都是的整数倍。笔者经认真研究，给出本题的不同于一般的解法：用波函数解，当然，也就给出了此类题的此种解法。因为2010年高考其它省市的理综或物理试卷中，关于机械振动和机械波的题目，也有此类情况，这，就是高考题的发展与变化的规律。

 

　　例1（2010年高考上海卷第20题）如图1，一列沿轴正方向传播的简谐横波，振幅为，波速为，在波的传播方向上两质点的平衡位置相距（小于一个波长），当质点在波峰位置时，质点在轴下方与轴相距的位置，则

 

图1

 

　　A．此波的周期可能为

 

　　B．此波的周期可能为

 

　　C．从此时刻起经过，点可能在波谷位置                  

 

　　D．从此时刻起经过，点可能在波峰位置

 

　　解法1．图象法：形象思维解题法

 

　　对AB选项，根据题意，有两种情况：

 

　　第1种情况：

 

　　波的图象如图2，从图象得，，，根据，，所以波长，周期，A正确。

 

图2

 

　　第2种情况：

 

　　波的图象如图3，从图象得，，， ，根据，，所以，波长，周期。

 

图3

 

　　因为只有以上两种情况，所以B错误。

 

　　对CD选项，根据以上两种情况，也有两种有两种对应的情况：

 

　　第1种情况，波长是的波，在波的图象如图4，从图象知，b在波谷，所以C正确。

 

图4

 

　　第2种情况，波长是的波，波的图象如图5，从图象知，的在波峰，所以D正确。

 

图5

 

　　综上各图，所以本题选ACD。

 

　　解法2．波函数解法：抽象思维解题法

 

　　波函数，

 

　　在求出波长和周期后，

 

　　第1种情况，振幅，周期，波长，所以具体波函数是，将和代入波函数得：，是波谷；所以C正确。

 

　　第2种情况，振幅，周期，波长，所以具体波函数是，将和代入波函数得：，是波峰；所以D正确。

 

　　所以本题选ACD。a

 

　　例2（2008年高考上海卷第22题）．

 

　　22．（12分）有两列简谐横波a、b在同一媒质中沿x轴正方向传播，波速均为v＝2．5m/s。在t＝0时，两列波的波峰正好在x＝2．5m处重合，如图所示。

 

　　（1）求两列波的周期T_a和T_b。

 

　　（2）求t＝0时，两列波的波峰重合处的所有位置。

 

　　（3）辨析题：分析并判断在t＝0时是否存在两列波的波谷重合处。

 

　　某同学分析如下：既然两列波的波峰存在重合处，那么波谷与波谷重合处也一定存在。只要找到这两列波半波长的最小公倍数，……，即可得到波谷与波谷重合处的所有位置。

 

　　你认为该同学的分析正确吗？若正确，求出这些点的位置。若不正确，指出错误处并通过计算说明理由。

 

 

　　分析：本题考查机械波的图象和用数学方法解决物理问题。

 

　　（1）从图象可以直接读出波长，然后根据波速公式求周期。

 

　　（2）根据两列波的波峰重合处的已知的一个位置，求两列波的波长的最小公倍数，可求两列波的波峰重合处的所有位置，因为每经过一个波长就是一个波峰。

 

　　原解答：（1）从图中可以看出两列波的波长分别为λ_a＝2．5m，λ_b＝2．5+1．5=4．0m，因此它们的周期分别为

 

　　s＝1s      s＝1．6s

 

　　（2）两列波的波长的最小公倍数为 S＝20m

 

　　在t＝0时，两列波的波峰重合处的所有位置为

 

　　x＝（2．520k）m，k＝0，1，2，3，……

 

　　（3）该同学的分析不正确。

 

　　要找两列波的波谷与波谷重合处，必须从波峰重合处出发，找到这两列波半波长的奇数倍恰好相等的位置。设距离x＝2．5m为L处两列波的波谷与波谷相遇，并设

 

　　L＝（2m－1）     L＝（2n－1），式中m、n均为正整数

 

　　只要找到相应的m、n即可

 

　　将λ_a＝2．5m，λ_b＝4．0m代入并整理，得

 

　　

 

　　由于上式中m、n在整数范围内无解，所以不存在波谷与波谷重合处。

 

　　本人原创解法：波函数解法

 

　　（1）从图中可以看出两列波的波长分别为λ_a＝2．5m，λ_b＝2．5+1．5=4．0m，因此它们的周期分别为s＝1s        s＝1．6s

 

　　（2）从图中可以求出在t＝0时两列波的波函数分别为：

 

　　，

 

　　

 

　　两列波的波峰所有位置分别为：

 

　　，，，（m=0,1,2,3…）

 

　　，，，（n=0,1,2,3,…）

 

　　两列波的波峰重合处的所有位置为

 

　　，即=，，当（k=0,1,2,3…）时,m为整数，所以当（k=0,1,2,3…）时两列波的波峰重合（包括第1此重合处，即k=0，x=2．5m处）。

 

　　（3） 两列波的波谷所有位置分别为：

 

　　，，，（m=0,1,2,3…）

 

　　，，，（n=0,1,2,3,…）

 

　　两列波的波谷重合处的位置应该为

 

　　，即+1．25=，，

 

　　当n=0,1,2,3,4,5…时，m=,,,,,…

 

　　即m无论取什么值，n都不能为整数，所以两列波的波谷重合处是没有的。

 

　　该同学的做法是：假设存在一个两列波的波谷与波谷重合处，寻找另外的重合处，可用该同学的方法，该同学错误之处在于假设不成立，因为没有一个两列波的波谷与波谷重合处。

 

　　此题在解题方法上给我们深刻的启示：从此题可以看出，解题方法不能生搬硬套。本题中，已知一个两列波的波峰与波峰重合处，求其它重合处，可用求波长的最小公倍数的方法。而该同学生搬硬套，还用求这两列波半波长的最小公倍数的方法，虽然他注意了把波长的最小公倍数改为半波长的最小公倍数，仍然是错误的，因为第1个波谷与波谷重合处的假设不成立。

 

　　例3（2009年高考福建理综物理第17题）图甲为一列简谐横波在t=0．10s时的波形图，P是平衡位置为x=1m处的质点，Q是平衡位置为x=4m处的质点，图乙为质点Q的振动图像，则（    ）

 

　　A．t=0．15s时，质点Q的加速度达到正向最大

 

　　B．t=0．15s时，质点P的运动方向沿y轴负方向

 

　　C．从t=0．10s到t=0．25s，该波沿x轴正方向传播了6m

 

　　D．从t=0．10s到t=0．25s，质点P通过的路程为30cm

 

 

　　答案：AB

 

　　分析：题考查振动图像和波动图像的综合应用。由图乙可知t=0．15s时，质点Q到达波谷，其加速度达到正向最大，A选项正确；图甲表示0．10s时的波形图，t=0．10s时由图乙可知质点Q正经过平衡位置向下振动，结合图甲可知这列波向左传播（因为波向左传播，Q才处在“上坡”的位置，其运动方向才向下）。又由图甲可知波长为8m，由图乙可知周期为0．20s，波速v=λ/T=40m/s,从0．10s到0．15s时间段内，波向左平移s=vt=2m。画出此时的波形如下图（将波向左平移2m）

 

 

　　从图可以发现，此时质点P的运动方向沿y轴负方向，B选项正确；从t=0．10s到t=0．25s，该波沿x轴负方向传播的距离s=vt=6m，C选项方向判断错误；从t=0．10s到t=0．25s，经过的时间为0．15s，等于即0．05s的3倍，质点P做变速运动，通过的路程不能用来计算（从平衡位置或正负最大位移处开始计时，才能这样算），实际路程不等于30cm（此处有的同学禁不住问：不是30cm,是多少呢？且往下看）。答案选择AB。

 

　　【进一步研究】此题可用波函数定量地解。

 

　　什么是波函数？波函数的定义：

 

　　为了定量地描述介质中波动的情况，必须求得介质中各质元的位移与该质元所处的平衡位置及时间的定量关系，这种定量关系就是波的表达式，也叫做波函数（wave function）。

 

　　简谐波函数的推导

 

　　设有一波前为平面的简谐波，在均匀介质中沿轴正方向传播，波速为。由于这是一种平面波，所以在与轴垂直的平面上，各点的振动情况是一样的。所以只要讨论轴上各点的振动，就可以知道空间中各点的情况。

 

　　以O点为波源，设该处质元做简谐振动，其位移与时间的关系为

 

　　

 

　　式中A为振幅，为角频率。考察波线O上的任一点P，它离O点的距离为，当波源O的振动传到P点时，P点的质元将重复O点的质元的振动，角频率也相同，但振动的相位要落后于O点。因为O点的振动传到P点需要时间，所以P处质元在时刻的振动相位和O点质元在时刻的振动相位一样，即其相位为

 

　　

 

　　因为平面简谐波传播时各质元的振幅相等，P处质元在时刻的位移为

 

　　，这就是平面简谐波的波函数。

 

　　因为,,

 

　　所以波函数也可以写为 

 

　　当取某一确定值时，波函数便是某质点的振动方程，例如，便是振源O的振动方程。据此可以画出该质点的振动图象。

 

　　当取某一确定值时，波函数便是某时刻的波动方程，例如，便是时刻的波动函数方程。据此可以画出该时刻的波的图象。

 

　　本题的波函数解法：

 

　　因为时刻波方程是，波函数基本函数式是（因为本题波向左传播，所以式中负号改为正号）

 

　　由图甲可知波长为8m，振幅为A=10cm,由图乙可知周期为T=0．20s，所以本题波函数可以写为=   ①

 

　　A选项：Q点的振动方程是    ②

 

　　对②式求导数得速度函数=  ③

 

　　对③式求导数得加速度函数1000       ④

 

　　将t=0．15s代入④式得1000，是正最大，所以A正确；

 

　　B选项：

 

　　P点的振动方程是    ⑤

 

　　对⑤式求导数得速度函数= ⑥

 

　　将t=0．15s代入⑥式得=，为负，所以B正确；

 

　　C选项：

 

　　t=0．10s时的波函数可以写为=cm== ⑦

 

　　t=0．25s时的波函数可以写为=cm== ⑧

 

　　根据⑦⑧两式，用电子计算机Excel分别画出t=0．10s时和t=0．25s时的图象如下图：

 

 

　　从图可以看出，从t=0．10s到t=0．15s，该波的波形从y₁变成y₂，该波沿x轴负方向传播了6m，例如波峰从10到4， 所以C错误。

 

　　D选项：

 

　　从上图可以看出，t=0．10s时刻，质点P（x=1）的位移为7cm，t=0．15s时刻，质点P（x=1）的位移为-7cm，因为t=0．10s时刻和t=0．25s时刻质点P的运动方向都是向上，所以t=0．10s到t=0．25s，质点P通过的路程为3+10+10+3cm=26cm，所以D错误。

 

　　注意：此处算出了从t=0．10s到t=0．25s，质点P通过的路程，回答了同学的疑问。

 

　　例4（2009年高考江苏省物理卷第12B（2）题）在时刻，质点A开始做简谐运动，其振动图象如图乙所示。质点A振动的周期是         s；时，质点A的运动沿轴的          方向（填“正”或“负”）；质点B在波动的传播方向上与A相距16m，已知波的传播速度为2m/s，在时，质点B偏离平衡位置的位移是      cm。

 

 

　　答案：（2）4  正  10

 

　　解法1：图象法

 

　　从振动图象可直接读出周期为4s，把图象延长，可以看出，时，质点A的运动方向沿轴的正方向。先求波长，所以B与A相距16m，为2个波长，波从A传播到B的时间为2个周期，即8，在时，质点B振动了个周期，所以偏离平衡位置的位移大小等于振幅A，是10cm。

 

　　解法2：波函数法

 

　　本题的波函数为，其中，4s, ，所以波函数为，

 

　　对于A，，当时，，当时，，所以当时，质点A的运动方向沿轴的正方向。

 

　　对于B，，当时，。

 

　　点评：本题考查了振动图象，振动方向，以及波的传播。重要的是波传播过程中时间与空间的对应关系，即每经过一个周期的时间，波传播一个波长。本题是逆向应用，即波传播2个波长，对应的时间是2个周期。

 

　　例5（2009高考山东卷37）

 

　　（1）图1为一简谐波在t=0时刻的波形图，介质中的质点P做简谐运动的表达式为y=Asin5t，求该波的速度，并画出t=0．3s时的波形图（至少画出一个波长）。

 

 

　　解析1：分析法

 

　　（1）由简谐运动的表达式可知，所以，周期由波形图读出波长，代入波速公式得。t=0时刻质点P向上运动，故波沿x轴正方向传播。t=0．3s时波向右传播了，即，波峰由传播到，所以t=0．3s时的波形图如图2所示。

 

 

　　解析2：波函数法

 

　　因为在t=0时刻，振源0点运动方向向下，所以波函数，已知p点，即当时，y=Asin5t，所以,。并且，所以，所以波速_。

 

当t=0．3s时，，所以t=0．3s时的波形图如图2所示。

 

　　例6（2009高考浙江卷第21题）一列波长大于1m的横波沿着轴正方向传播，处在和的两质点、的振动图像如图所示。由此可知（    ）

 

　　A．波长为m

 

　　B．波速为

 

　　C．末、两质点的位移相同

 

　　D．末点的振动速度大于点的振动速度

 

 

　　答案：A

 

　　【解析1】分析法

 

　　，由于波沿x正方向传播，所以A先振动，又由于波长大于1m，所以，所以，，A对，波速，B错；由振动图像知，在3s末，、两质点的位移不相同，C错；1s末A点速度为零，B点速度最大，D错。

 

　　【解析2】波函数法

 

　　从图象知，A的振动方程为，B的振动方程为，因为A在前B在后，所以二者的相差是（不是）。根据波函数，对A，，对B，，所以有，解得，A正确。波速，所以B错误。CD判断方法同上。

 

　　例7（2010年高考全国1卷第21题）一简谐振子沿轴振动，平衡位置在坐标原点。＝0时刻振子的位移＝-0．1m；＝时刻＝0．1m；＝4时刻＝0．1m。该振子的振幅和周期可能为

 

　　（A．0．1m，   B．0．1m，8   C．0．2m，   D．0．2m，8此为ACD）

 

　　【解析】

 

　　解法1：图象法。

 

　　对A，如图1，知A正确。

 

图1

 

　　对B，如图2，知B错误，因，。

 

图2

 

　　对C，有两种可能情况：

 

　　情况1，质点在时刻运动方向向上，如图3，正确。

 

图3

 

　　情况2，质点在时刻运动方向向下，如图4，正确。

 

图4

 

　　所以C正确。

 

　　对D，

 

　　情况1，质点在时刻运动方向向上，如图5，正确。

 

图5

 

　　情况2，如图6，质点在时刻运动方向向下，因为，。所以不正确。

 

图6

 

　　综合以上两图，D也选，因为选可能的。

 

　　所以本题选ACD。

 

　　解法2：公式法即波函数法

 

　　波函数在x一定的情况下变为质点的振动方程。

 

　　对A，=,根据＝0时刻振子的位移＝-0．1m，

 

　　振动方程为： ， 当＝时刻＝0．1m；当＝4时刻＝0．1m，A正确；

 

　　对B，=,根据＝0时刻振子的位移＝-0．1m，

 

　　振动方程为： ， 当＝时刻=0．05m；B错误；

 

　　对C，=, 根据A=0．2m及  ＝0时刻振子的位移＝-0．1m，

 

　　振动方程为（对应图3）： ， 当＝时刻＝0．1m；＝4时刻＝0．1m，正确；

 

　　或者方程为（对应图4）m，当＝时刻＝0．1m；＝4时刻＝0．1m，也正确；所以C正确。

 

　　对D，=，根据A=0．2m及 ＝0时刻振子的位移＝-0．1m，

 

　　振动方程为： ， 当＝时刻=0．1m，成立；当＝时刻=0．1m，成立；

 

　　或者振动方程为：，当＝时刻==-0．2m，题干要求=0．1m，不成立；当＝时刻=0．1m，成立；

 

　　因为题目要求选可能的，所以D也可选；

 

　　所以本题选ACD。

 

　　解法3：用Excel作图法。

 

　　对C，对应图3为图7，方程是： ，

 

图7

 

　　从图7可以看出，当＝时刻＝0．1m；＝4时刻＝0．1m；

 

　　对应图4为图8，方程是： ，

 

图8

 

　　从图8可以看出，当＝时刻＝0．1m；＝4时刻＝0．1m；

 

　　两图综合说明，C正确。

 

　　对D，对应图5为图9，方程是： ，

 

图9

 

　　从图9可以看出，当＝时刻＝0．1m；＝4时刻＝0．1m；

 

　　对应图6为图10，方程是： ，

 

图10

 

　　从图10可以看出，当＝时刻＝-0．2m；＝4时刻＝0．1m；

 

　　因为凡可能者皆选，所以D也选。

 

　　综合以上，本题选ACD。

 

　　解法4：物理情境分析法

 

　　对CD两项，设一弹簧振子，振幅A=0．2m，初始位置即时刻，在的A处，如图11所示。初速度指向O，则从A到平衡位置的O处，用时间为，从O到位移为的B处，用时间为，从B到位移为即振幅的C处，用时间为，从C到位移为的B处，用时间为，

 

图11

 

　　如图12所示。初速度指向D，则从A到位移为的D处，用时间为，从D回到A，用时间为，然后从A到平衡位置O处，用时间为，

 

 

　　对于C，因为周期为，所以当＝时刻，即的时间内，弹簧振子从A经O、B、C又回到B，所以＝0．1m成立；当＝4时刻，即的时间即一个T又内，弹簧振子又回到B，所以＝0．1m成立；

 

　　另一种情况，时刻，弹簧振子的初速度不是从A向O，而是从A向D，则当＝时刻，即的时间内，弹簧振子从A到D后，又经A．O到B，所以＝0．1m成立；所以C正确。

 

　　对于D，因为周期为，所以当＝时刻，即的时间内，弹簧振子从A经O到B．所以＝0．1m成立；当＝4时刻，即的时间内，弹簧振子又经C回到B，所以＝0．1m也成立；

 

　　另一种情况，时刻，弹簧振子的初速度不是从A向O，而是从A向D，则当＝时刻，即的时间内，弹簧振子只能从A到D，＝-0．2m，所以＝0．1m不成立；但当＝4时刻，即的时间内，弹簧振子从A到D后又经A．O到B，所以＝0．1m成立；

 

　　虽然D项的两种情况中只有一种情况成立，但因为题干中是“该振子的振幅和周期可能为”所以D也可选正确。

 

　　因此，本题答案为ACD。

 

　　本题考查波的图象，出现非的整数倍的情况，难度：大。

 

　　大家知道，小学算术应用题难，学会代数就不难；初中平面几何难，学会解析几何就不难；同样，高中物理振动与波题难，学会波函数就不难了。

2011-05-19  人教网