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1. 周日回了趟民院, 正好碰上正上初二的妹妹在做作业. 她说之前有两道题不是特明白, 让我给看看. 拿来一看, 是两道平面几何...题目本身很容易懂, 我就给复述一下吧~顺便请出很早就采购的 nSpire CAS, 买来后就没用过...真浪费. 这玩意可是真心强大啊~比咱们高中用的TI83强好多...
话说古典几何我一直就学得不怎么好, 一眼瞅过去还真没啥思路. 这俩题乍一看貌似是同一个题, 感觉把一个做出来后顺着思路另一个也就不难了. 当然事实证明这个只是我一个平面几何半吊子一厢情愿的想法. 在干瞪第一题十分钟没思路后, 我不得不去问问她们现在学的到底是啥. 后来被告知最近学的叫做旋转应用, 就是说把图中的一部分绕某个点转到另外一个地方去, 实际是一种做辅助线的思路. 这玩意真是太高级了, 我们当年上学的时候完全木有听说过这种方法. 不过既然有线索了, 那不妨试试. 实际第一题中把△APB绕着A点顺时针转一下让AB和AC重合后, 这题一下就木难度了...随便再比划比划, 5分钟就做出来了...
但是如果是按照这个思路的话, 就发现第二题和第一题完全不是一码事, 因为第二题是个任意三角形, 没办法再这么转了...
2. 后来实在没啥思路, 只好求助 Google 大神. 问回来的结果大吃一惊, 原来这问题还挺有来头的... 话说有一天, Descartes (就是发明直角坐标系的那家伙) 给 Fermat 写了封信, 请他思考一个到四个定点的距离为定值的函数的问题. 后来 Fermat 想, 四个点比较复杂, 不如从三个点开始考虑. 于是他就想到了, 说假使给定一个三角形, 那么可以在三角形内找到一个点, 它到三个顶点的距离之和比其他点都要小. 问题是, 对于任意的三角形, 这个点是不是都存在? 是不是唯一的? 是不是都有相同的特性? 其实到这个时候答案就已经呼之欲出了 -- 这不就是那第二题么~由于 Fermat 最先提出了这个问题, 所以这个点后来就被叫做 Fermat Point, 费马点. 不过 Fermat 和我一样 (嘿嘿...), 函数和数论学得不错, 古典几何则学得不咋样(话说 Descartes 最开始问他的也是函数问题么). 于是他就给 Torricelli (就是那个发明了气压计, 后来研究流体力学的家伙, 其实主流观点他更像个物理学家) 写了封信, 求助这问题.
再多废话两句吧. 其实这题用解析几何来做的话, 是比较无脑的. 假设三角形三个顶点坐标是 (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) 的话, 再假设费马点的坐标为 (x, y), 那么到三个顶点的距离之和就是 只需要令这坨东西对x和y的偏导数均为0, 得出的(x0, y0)就是费马点了. 当然, 到了这一步, 计算能力无限差的我又不会算了...不过木关系, 时间已经推进到21世纪了, 会列式子就行了, 计算这种脏活累活可以交给计算器或者电脑来干...
但是在 Fermat 那个年代, 微积分还差着几十年才能发明出来, 所以 Fermat 虽然函数学得还不错, 但是没办法应用解析几何这个大杀器. 所以古典几何苦手的 Fermat 同学只能发信求助了... 后来 Torricelli 在回信中解答了这个问题. 当然了, 这并不是说 Fermat 当时的水平连初二学生都不如, 主要是 Torricelli 还要负责证明这个点存在, 找到这个点, 证明这个点唯一, 最后才是证明这个点的相关性质. 而初二同学只需要做最简单的最后一步就可以了... 话说回来, 再看这所谓最简单的最后一步, 看上去也很吓人: 他需要在三角形的两个边上各长出两个正三角形, 然后画上错综复杂的辅助线... 现在的初二数学, 已经要学得这么难了么...?! 这...长出两个三角形, 这谁想得到啊~! 当年 Torricelli 其实也不是这么证明的, 据说他是用到了椭圆焦点的性质. 我倒是搜到了一个以BC为焦点作椭圆并以A点为圆心做圆然后二者相切的证明, 要比上面那个简洁很多. 不过初二还木有学到椭圆...况且做椭圆的解法, 恐怕更难想到吧?
3. 不过这个问题最有意思的一点是, 它是可以通过物理来证明的~ 道理非常的简单: 假设我把三角形放在桌子上, 在三个顶点钻上三个洞; 然后拿来三条绳子穿过这三个洞, 三根绳在桌面上面的一头系在一起, 而在桌子下面的一头则分别挂上重量相同的砝码. 表述得很麻烦, 但是看图就一目了然: 最后绳子显然会自动找到一个静止的状态. 停住以后, 我们再来看看: 物理学告诉我们, 在静止后, 整个系统的能量会保持在可能的最小状态. 静止后系统所拥有的能量, 其实就是三个砝码的势能. 势能最小, 就说明在桌子下面的绳子长度达到最长, 于是桌子上面的绳子的长度之和就是最短 -- 于是绳结的位置, 不就是费马点了么~ 那么再来看看绳结的具体情况, 实际上是三根绳子的合力为0. 三个等大小的力平衡的状态, 那显然就是三根绳的夹角都是120°么. 嗯~就是这么简单~~
4. 这个证明可以说得上是相当精彩, 而且更重要的是, 它把费马点的概念引申了: 假使我挂的三个砝码的重量不一样呢? 这个引申的概念就是所谓的加权费马点. 在引申了这个概念之后, 费马点的概念一下就变得更加有意义了.
我们设想一下. 假设淘宝发现每天接到投诉的内容最多的就是快递问题, 终于有一天马云决定不忍了, 下决心自己做物流. (插一句, 马云现在好像真的在考虑这个事...) 淘宝相对于其他物流的优势在哪里呢? 那就是他拥有非常多的历史数据, 而且对于全国的物流网络非常了解: 货品从各地发出的数量, 价值, 收货地址的分布等等...这些有价值的数据是其他物流肯定拿不到的. 而物流在规划时, 肯定是在每个城市建一个集散点, 所有发往这个城市的快递, 都先发到这个集散点, 然后再向下一级各个网点分发, 最后由派件人员把快递送出去. 于是他们就要考虑这样的问题: 对于每个城市, 这个集散点应该建在哪里? 就拿北京来说吧, 比如每天快递到达最多的地区是中关村, 北苑, 西单, CBD...等等一些地方, 而对这些地方投入的运力预计会是 A, B, C, D...于是在考虑运力和距离的情况下, 一定有一个地方, 如果把集散点建在这里, 物流投入的总运力是最低的. -- 这不就是加权费马点么...
当然了, 实际情况会复杂很多, 还要考虑地价啊周边运营成本啊等等...不过把这些问题综合考虑进去后挑选到的地点, 是确确实实可以降低运营成本的.
5. 反过来想一想, 既然初二数学已经学到这里了, 不知道老师在讲课的时候会不会引申一下呢...我记得当年我们在上课的时候, 王玉生还是很喜欢引申的, 只是不知道大家有木有好好听. 可能很多同学觉得和考试木有关系, 下课就忘了, 真的挺可惜的... 但是~! 别忘了, 我有很多当年上数学课的全本录音哦~~! 现在补课仍然来得及~~
话又说回来, 不知道又有多少老师会这样讲呢...反正我是觉得, 在国内, 反而是基础教育的水平比较高, 等到了大学, 那帮小年轻博士后给你讲课的时候只知道背书. 我有时候隐约都会觉得, 你不就是多看了俩月书么, 我要好好看两个月, 讲得绝对比你强100倍... 话又说回来, 现在的初中, 真的要学得这么难了么...? 不过和主流观点相背的一点是, 我倒是觉得, 在基础教育阶段多学一些数学是非常有意义的. 数学有助于你理清思维的逻辑性. 当逻辑很清楚的时候, 就会很习惯于在生活中也多想一些, 更容易发现很多事情背后的本质. 现在看看这些90后, 00后的孩子们, 他们所拥有的教育资源真的比我们那时候丰富太多了. 等到他们真正成长起来的时候, 又会是神马样子呢... 隐隐约约地, 我心里还真是有一点期待的... |
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