第一章高中数学解题基本方法
配方法
Ⅰ、再现性题组：
1.在正项等比数列{a}中，a(a+2a(a+a(a=25，则a＋a＝_______。
2.方程x＋y－4kx－2y＋5k＝0表示圆的充要条件是_____。
A.1C.k∈RD.k＝或k＝1
3.已知sinα＋cosα＝1，则sinα＋cosα的值为______。
A.1B.－1C.1或－1D.0
4.函数y＝log(－2x＋5x＋3)的单调递增区间是_____。
A.（－∞,]B.[,+∞)C.(－,]D.[,3)
5.已知方程x+(a-2)x+a-1=0的两根x、x，则点P(x,x)在圆x+y=4上，则实数a＝_____。
Ⅱ、示范性题组：
例1.已知长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为_____。
A.2B.C.5D.6
例2.设方程x＋kx＋2=0的两实根为p、q，若()+()≤7成立，求实数k的取值范围。
例3.设非零复数a、b满足a＋ab＋b=0，求()＋()。
Ⅲ、巩固性题组：
函数y＝(x－a)＋(x－b)（a、b为常数）的最小值为_____。
A.8B.C.D.最小值不存在
α、β是方程x－2ax＋a＋6＝0的两实根，则(α-1)+(β-1)的最小值是_____。
A.－B.8C.18D.不存在
已知x、y∈R，且满足x＋3y－1＝0，则函数t＝2＋8有_____。
A.最大值2B.最大值C.最小值2B.最小值
椭圆x－2ax＋3y＋a－6＝0的一个焦点在直线x＋y＋4＝0上，则a＝_____。
A.2B.－6C.－2或－6D.2或6
5．简：2＋的结果是_____。
A.2sin4B.2sin4－4cos4C.－2sin4D.4cos4－2sin4
6.设F和F为双曲线－y＝1的两个焦点，点P在双曲线上且满足∠FPF＝90°，
则△FPF的面积是_________。
7.若x>－1，则f(x)＝x＋2x＋的最小值为___________。
8.已知〈β<α〈π，cos(α-β)＝，sin(α+β)＝－，求sin2α的值。(92年高考题)
9.设二次函数f(x)＝Ax＋Bx＋C，给定m、n（m
且满足A[(m+n)+mn]＋2A[B(m+n)－Cmn]＋B＋C＝0。
解不等式f(x)>0；
②是否存在一个实数t，使当t∈(m+t,n-t)时，f(x)<0？若不存在，说出理由；
若存在，指出t的取值范围。
10.设s>1，t>1，m∈R，x＝logt＋logs，y＝logt＋logs＋m(logt＋logs),
将y表示为x的函数y＝f(x)，并求出f(x)的定义域；
若关于x的方程f(x)＝0有且仅有一个实根，求m的取值范围。
二、换元法
Ⅰ、再现性题组：
1.y＝sinx·cosx＋sinx+cosx的最大值是_________。
2.设f(x＋1)＝log(4－x)（a>1），则f(x)的值域是_______________。
3.已知数列{a}中，a＝－1，a·a＝a－a，则数列通项a＝___________。
4.设实数x、y满足x＋2xy－1＝0，则x＋y的取值范围是___________。
5.方程＝3的解是_______________。
6.不等式log(2－1)·log(2－2)〈2的解集是_______________。
Ⅱ、示范性题组：
例1.实数x、y满足4x－5xy＋4y＝5（①式），设S＝x＋y，求＋的值。
例2．△ABC的三个内角A、B、C满足：A＋C＝2B，＋＝－，求cos的值。
例3.设a>0，求f(x)＝2a(sinx＋cosx)－sinx·cosx－2a的最大值和最小值。
例4.设对所于有实数x，不等式xlog＋2xlog＋log>0恒成立，
求a的取值范围。
例5.已知＝，且＋＝(②式)，求的值。
例6.实数x、y满足＋＝1，若x＋y－k>0恒成立，求k的范围。
Ⅲ、巩固性题组：
知f(x)＝lgx(x>0)，则f(4)的值为_____。
A.2lg2B.lg2C.lg2D.lg4
数y＝(x＋1)＋2的单调增区间是______。
A.[-2,+∞)B.[-1,+∞)D.(-∞,+∞)C.(-∞,-1]
设等差数列{a}的公差d＝，且S＝145，则a＋a＋a＋……＋a的值为_____。
A.85B.72.5C.60D.52.5
已知x＋4y＝4x，则x＋y的范围是_________________。
已知a≥0，b≥0，a＋b＝1，则＋的范围是____________。
不等式>ax＋的解集是(4,b)，则a＝________，b＝_______。
函数y＝2x＋的值域是________________。
在等比数列{a}中，a＋a＋…＋a＝2，a＋a＋…＋a＝12，求a＋a＋…＋a。
9．数m在什么范围内取值，对任意实数x，不等式sinx＋2mcosx＋4m－1<0恒成立。
y
DC
ABO
x
形ABCD，顶点C(4,4)，A点在曲线x＋y＝2(x>0,y>0)上移动，且AB、AD始终平行x轴、y轴，求矩形ABCD的最小面积。
三、待定系数法
Ⅰ、再现性题组：
f(x)＝＋m，f(x)的反函数f(x)＝nx－5，那么m、n的值依次为_____。
A.,－2B.－，2C.,2D.－，－2
次不等式ax＋bx＋2>0的解集是(－,)，则a＋b的值是_____。
A.10B.－10C.14D.－14
在(1－x)（1＋x）的展开式中，x的系数是_____。
A.－297B.－252C.297D.207
函数y＝a－bcos3x(b<0)的最大值为，最小值为－，则y＝－4asin3bx的最小正周期是_____。
与直线L：2x＋3y＋5＝0平行且过点A(1,-4)的直线L’的方程是_______________。
直线L：2x＋3y＋5＝0平行且过点A(1,-4)的直线L’的方程是_______________。
与双曲线x－＝1有共同的渐近线，且过点(2,2)的双曲线的方程是____________。
Ⅱ、示范性题组：
例1．已知函数y＝的最大值为7，最小值为－1，求此函数式。
例2.设椭圆中心在(2,-1)，它的一个焦点与短轴两端连线互相垂直，且此焦点与长轴较近的端点距离是
－，求椭圆的方程。
例3.是否存在常数a、b、c，使得等式1·2＋2·3＋…＋n(n＋1)＝(an＋bn＋c)
对一切自然数n都成立？并证明你的结论。
例4.有矩形的铁皮，其长为30cm，宽为14cm，要从四角上剪掉边长为xcm的四个小正方形，将剩余部分折成一个无盖的矩形盒子，问x为何值时，矩形盒子容积最大，最大容积是多少？
Ⅲ、巩固性题组：
1．数y＝logx的x∈[2,+∞)上恒有|y|>1，则a的取值范围是_____。
A.2>a>且a≠1B.02或0
方程x＋px＋q＝0与x＋qx＋p＝0只有一个公共根，则其余两个不同根之和为_____。
A.1B.－1C.p＋qD.无法确定
果函数y＝sin2x＋a·cos2x的图像关于直线x＝－对称，那么a＝_____。
A.B.－C.1D.－1
满足C＋1·C＋2·C＋…＋n·C<500的最大正整数是_____。
A.4B.5C.6D.7
无穷等比数列{a}的前n项和为S＝a－,则所有项的和等于_____。
A.－B.1C.D.与a有关
(1＋kx)＝b＋bx＋bx＋…＋bx，若b＋b＋b＋…＋b＝－1，则k＝______。
经过两直线11x－3y－9＝0与12x＋y－19＝0的交点，且过点(3,-2)的直线方程为_____________。
正三棱锥底面边长为2，侧棱和底面所成角为60°，过底面一边作截面，使其与底面成30°角，则截面面积为______________。
9.设y＝f(x)是一次函数，已知f(8)＝15,且f(2)、f(5)、(f14)成等比数列，
求f(1)＋f(2)＋…＋f(m)的值。
10.设抛物线经过两点(-1,6)和(-1,-2)，对称轴与x轴平行，开口向右，直线y＝2x＋7和抛物线截得的
线段长是4,求抛物线的方程。
四、定义法
Ⅰ、再现性题组：
1．已知集合A中有2个元素，集合B中有7个元素，A∪B的元素个数为n，则______。
A.2≤n≤9B.7≤n≤9C.5≤n≤9D.5≤n≤7
MP、OM、AT分别是46°角的正弦线、余弦线和正切线，则_____。
A.MP
数z＝a＋2ｉ，z＝－2＋ｉ，如果|z|<|z|，则实数a的取值范围是_____。
A.－11C.a>0D.a<－1或a>1
椭圆＋＝1上有一点P，它到左准线的距离为，那么P点到右焦点的距离为_____。
A.8C.7.5C.D.3
奇函数f(x)的最小正周期为T，则f(－)的值为_____。
A.TB.0C.D.不能确定
6．正三棱台的侧棱与底面成45°角，则其侧面与底面所成角的正切值为_____。
Ⅱ、示范性题组：
例1.已知z＝1＋ｉ，①设w＝z＋3－4，求w的三角形式；②如果＝1－ｉ，
求实数a、b的值。
例2.已知f(x)＝－x＋cx，f(2)＝－14，f(4)＝－252，求y＝logf(x)的定义域，判定在(,1)
上的单调性。
A’ADC’COHB’B
例3.如图，已知A’B’C’—ABC是正三棱柱，D是AC中点。
证明：AB’∥平面DBC’；
假设AB’⊥BC’，求二面角D—BC’—C的度数。
例4.求过定点M(1,2)，以x轴为准线，离心率为的椭圆的下顶点的轨迹方程。
yMFAx
Ⅲ、巩固性题组：
数y＝f(x)＝a＋k的图像过点(1,7)，它的反函数的图像过点(4,0)，则f(x)的表达式是___。
2．过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于A、B两点，若A、B在抛物线准线上的射影分别为A、B,
则∠AFB等于_____。
A.45°B.60°C.90°D.120°
3.已知A＝{0,1}，B＝{x|xA}，则下列关系正确的是_____。
A.ABB.ABC.A∈BD.AB
4.双曲线3x－y＝3的渐近线方程是_____。
A.y＝±3xB.y＝±xC.y＝±xD.y＝±x
5.已知定义在R上的非零函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，则f(x)是_____。
A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既奇既偶函数
6．C＋C＝________。
7．Z＝4(sin140°－ｉcos140°)，则复数的辐角主值是__________。
8．等式ax＋bx＋c>0的解集是(1,2)，则不等式bx＋cx＋a<0解集是__________。
9．知数列{a}是等差数列，求证数列{b}也是等差数列，其中b＝(a＋a＋…＋a)。
10．F、F是椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点，其中F与抛物线y＝12x的焦点重合，
M是两曲线的一个焦点，且有cos∠MFF·cos∠MFF＝，求椭圆方程。
五、数学归纳法
Ⅰ、再现性题组：
1.用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2·1·2…(2n－1)（n∈N），从“k到k＋1”，左端需乘的代数式为_____。
A.2k＋1B.2(2k＋1)C.D.
2.用数学归纳法证明1＋＋＋…＋1)时，由n＝k(k>1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的代数式的个数是_____。
A.2B.2－1C.2D.2＋1
3.某个命题与自然数n有关，若n＝k(k∈N)时该命题成立，那么可推得n＝k＋1时该命题也成立。
现已知当n＝5时该命题不成立，那么可推得______。(94年上海高考)
A.当n＝6时该命题不成立B.当n＝6时该命题成立
C.当n＝4时该命题不成立D.当n＝4时该命题成立
4.数列{a}中，已知a＝1，当n≥2时a＝a＋2n－1，依次计算a、a、a后，
猜想a的表达式是_____。
A.3n－2B.nC.3D.4n－3
5.用数学归纳法证明3＋5(n∈N)能被14整除，当n＝k＋1时对于式子3＋5
应变形为_______________________。
6.设k棱柱有f(k)个对角面，则k＋1棱柱对角面的个数为f(k+1)＝f(k)＋_________。
Ⅱ、示范性题组：
数列，得，…，，…。S为其前n项和，求S、S、S、S，
推测S公式，并用数学归纳法证明。
例2.设a＝＋＋…＋(n∈N),证明：n(n＋1)
例3.设数列{a}的前n项和为S，若对于所有的自然数n，都有S＝，证明{a}是等差数列。
Ⅲ、巩固性题组：
纳法证明：6＋1(n∈N)能被7整除。
2．数学归纳法证明：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1)(n∈N)。
3．∈N，试比较2与(n＋1)的大小，并用证明你的结论。
数学归纳法证明等式：cos·cos·cos·…·cos＝(81年全国高考)
5．数学归纳法证明：|sinnx|≤n|sinx|（n∈N）。（85年广东高考）
6.数列{a}的通项公式a＝(n∈N)，设f(n)＝(1－a)(1－a)…(1－a)，
试求f(1)、f(2)、f(3)的值，推测出f(n)的值，并用数学归纳法加以证明。
知数列{a}满足a＝1，a＝acosx＋cos[(n－1)x]，(x≠kπ，n≥2且n∈N)。
①．求a和a；②.猜测a，并用数学归纳法证明你的猜测。
8.设f(logx)＝,①.求f(x)的定义域；②.在y＝f(x)的图像上是否存在两个不同点，使经过这两点的直线与x轴平行？证明你的结论。③.求证：f(n)>n(n>1且n∈N)
六、参数法
Ⅰ、再现性题组：
1.设2＝3＝5>1，则2x、3y、5z从小到大排列是________________。
2.（理）直线上与点A(-2,3)的距离等于的点的坐标是________。
（文）若k<－1，则圆锥曲线x－ky＝1的离心率是_________。
3.点Z的虚轴上移动，则复数C＝z＋1＋2ｉ在复平面上对应的轨迹图像为____________________。
4.三棱锥的三个侧面互相垂直，它们的面积分别是6、4、3，则其体积为______。
5.设函数f(x)对任意的x、y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时，f(x)<0，则f(x)的R上是______函数。(填“增”或“减”)
6.椭圆＋＝1上的点到直线x＋2y－＝0的最大距离是_____。
A.3B.C.D.2
Ⅱ、示范性题组：
实数a、b、c满足a＋b＋c＝1，求a＋b＋c的最小值。
椭圆＋＝1上有两点P、Q，O为原点。连OP、OQ，若k·k＝－，
①．求证：|OP|＋|OQ|等于定值；②.求线段PQ中点M的轨迹方程。
例3.已知正四棱锥S—ABCD的侧面与底面的夹角为β，相邻两侧面的夹角为α,求证：cosα=-cosβ。
SEDCOFAB
Ⅲ、巩固性题组：
1．复数z满足|z|≤1，则复数z＋2ｉ在复平面上表示的点的轨迹是________________。
2．y＝x＋2＋的值域是________________。
3．物线y＝x－10xcosθ＋25＋3sinθ－25sinθ与x轴两个交点距离的最大值为_____
A.5B.10C.2D.3
4．点M(0,1)作直线L，使它与两已知直线L：x－3y＋10＝0及L：2x＋y－8＝0所截得的线段被点P平分，求直线L方程。
5．半径为R的球的内接圆锥的最大体积。
6．(x)＝(1－cosx)sinx，x∈[0,2π)，求使f(x)≤1的实数a的取值范围。
7.若关于x的方程2x＋xlg＋lg()＋lg＝0有模为1的虚根，
求实数a的值及方程的根。
8.给定的抛物线y＝2px(p>0)，证明：在x轴的正向上一定存在一点M，使得对于抛物线的任意一条过点M的弦PQ，有＋为定值。
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