椅子非线性分析
吕俊男
3113045013
航空航天学院
1、关于结构非线性的基本知识
在日常生活中，经常会遇到结构非线性。例如，当用钉书针钉书时，金属钉
书钉将永久地弯曲成一个不同的形状(图1-1a)。如果你在一个木架上放置重物，随着时间的推移木架将越来越下垂(图1-1b)。当在汽车或卡车上装载货物时，它的轮胎和下面路面间接触面将随货物重量而变化(图1-1c)。如果将上述例子的载荷变形曲线画出来，用户将发现它们都显示了非线性结构的基本特征—结构刚度改变。
图1-1结构非线性行为的常见例子
引起结构非线性的原因很多，它可以被分成三种主要类型：状态改变、几何
非线性、材料非线性。
1）状态变化(包括接触)
许多普通结构表现出一种与状态相关的非线性行为。例如，一根只能拉伸的
电缆可能是松的，也可能是绷紧的。轴承套可能是接触的，也可能是不接触的。
冻土可能是冻结的，也可能是融化的。这些系统的刚度由于系统状态的改变而变
化。状态改变也许和载荷直接有关(如在电缆情况中)，也可能由某种外部原因引起(如在冻土中的紊乱热力学条件)。接触是一种很普遍的非线性行为。接触是状态变化非线性中一个特殊而重要的子集。
2）几何非线性
如果结构经受大变形，它几何形状的变化可能会引起结构的非线性响应。一
个例子是图1-2所示的钓鱼杆。随着垂向载荷的增加，杆不断弯曲以致于力臂明显地减少，导致杆端显示出在较高载荷下不断增长的刚性。几何非线性的特点是
大位移、大转动。
图1-2钓鱼杆体现的几何非线性
3）材料非线性
非线性的应力─应变关系是结构非线性行为的常见原因。许多因素可以影响
材料的应力─应变性质，包括加载历史(如在弹─塑性响应情况下)、环境状况(如
温度)、加载的时间总量(如在蠕变响应情况下)。
2、ANSYS非线性分析的基本知识
1）方程求解
ANSYS程序的方程求解器计算一系列的联立线性方程来预测工程系统的响应。然而，非线性结构的行为不能直接用这样一系列的线性方程表示。需要一系列的带校正的线性近似来求解非线性问题。
ANSYS程序通过使用牛顿－拉普森平衡迭代克服累积结果失去平衡这种困难，它迫使在每一个载荷增量的末端解达到平衡收敛（在某个容限范围内）。图1-3描述了在单自由度非线性分析中牛顿－拉普森平衡迭代的使用。在每次求解前，NR方法估算出残差矢量，这个矢量是回复力（对应于单元应力的载荷）和所加载荷的差值，然后使用非平衡载荷进行线性求解，且核查收敛性。如果不满足收敛准则，重新估算非平衡载荷，修改刚度矩阵，获得新解。持续这种迭代过程直到问题收敛。
图1-3牛顿－拉普森平衡迭代
ANSYS程序提供了一系列命令来增强问题的收敛性，如自适应下降、线性搜索、自动载荷步长及二分等，可被激活来加强问题的收敛性，如果不能得到收敛，那么程序或者继续计算下一个载荷步或者终止（依据你的指示）。对某些物理意义上不稳定系统的非线性静态分析，如果你仅仅使用NR方法，正切刚度矩阵可能变为降秩短阵，导致严重的收敛问题。这样的情况包括独立实体从固定表面分离的静态接触分析、结构或者完全崩溃或者“突然通过”至另一个稳定形状的非线性屈曲问题。对这样的情况，可以激活另外一种迭代方法：弧长方法，来帮助稳定求解。弧长方法导致NR平衡迭代沿一段弧收敛，从而即使正切刚度矩阵的斜率为零或负值，也往往阻止发散。这种迭代方法以图形表示在图1-4中。
图1-4传统的NR方法与弧长方法的比较
非线性求解被分成三个操作级别：载荷步、子步、平衡迭代。
·顶层级别由在一定“时间”范围内用户明确定义的载荷步组成，假定载荷在载荷步内线性地变化。见《ANSYSBasicAnalysisGuide》§2。
·在每一个载荷时步内，为了逐步加载，可以控制程序来执行多次求解(子步或时间步)。
·在每一个子步内，程序将进行一系列的平衡迭代以获得收敛的解。
当用户确定收敛准则时，ANSYS程序给出一系列的选择：可以将收敛检查建立在力、力矩、位移、转动或这些项目的任意组合上。另外，每一个项目可以有不同的收敛容限值。对多自由度问题，还有收敛范数的选择。
当用户确定收敛准则时，应该总是选择以力(或力矩)为基础的准则，它提供了收敛的绝对量度。如果需要也可以位移为基础(或以转动为基础的)进行收敛检查，但是通常不单独使用它们。
2）子步
当使用多个子步时，用户需要考虑精度和代价之间的平衡；更多的子步(也就是较小的时间步)通常导致较好的精度，但以增加运行时间为代价。ANSYS提供的自动时间步选项可用于这一目的。用户可以激活自动时间步，以便根据需要调整时间步长，获得精度和代价之间的良好平衡。自动时间步激活ANSYS程序的二分功能。二分法提供了一种对收敛失败自动矫正的方法。无论何时只要平衡迭代收敛失败，二分法将把时间步长分成两半，然后从最后收敛的子步自动重启动。如果已二分的时间步再次收敛失败，二分法将再次分割时间步长然后重启动，持续这一过程直到获得收敛或到达最小时间步长(由用户指定)。
3）载荷和位移方向
当结构经历大变形时，应该考虑到载荷将发生了什么变化。在许多情况中，无论结构如何变形，施加在系统中的载荷保持恒定的方向。而在另一些情况中，力将改变方向，随着单元方向的改变而变化。ANSYS程序根据所施加的载荷类型，可以模拟这两种情况。加速度和集中力将不管单元方向的改变，而保持它们最初的方向。表面载荷作用在变形单元表面的法向，且可被用来模拟“跟随”力。图1-5说明了方向不变的力和跟随力。
图1-5变形前后载荷方向
3、椅子的非线性静态分析过程
尽管非线性分析比线性分析变得更加复杂，但处理基本相同。只是在非线形
分析的过程中，添加了需要的非线形特性。
非线性静态分析是静态分析的一种特殊形式。如同任何静态分析，处理流程
主要由以下主要步骤组成：前处理(分析问题类型、选取单元类型、确定边界条件、施加载荷、进行网格剖分）、求解(形成刚度矩阵、处理约束、求解方程组）、后处理（结构的变形分析、结构的应力分析、结构的应变分析）
前处理
①选择分析范畴
在主菜单中单击Preferences菜单，弹出PreferencesforGUIFiltering窗口，选择Structural，然后单击OK按钮。
②选择单元类型
运行Preprocessor>ElementType>Add/Edit/Delete，弹出ElementTypes对话框，选择BEAM188和SHELL63单元
（Beam188单元适合于分析从细长到中等粗短的梁结构，该单元基于铁木辛哥梁结构理论，并考虑了剪切变形的影响，这个单元非常适合线性、大角度转动和/并非线性大应变问题。）
③定义单元实常数
运行Preprocessor＞REALCONSTANT＞Add/Edit/Delete,选择SHELL63单元，定义截面厚度为0.15厘米，本文长度单位一律以厘米计。
④设置材料属性
⑤定义梁单元的截面
根据实物精确测量结果，定义梁单元截面形状及参数为：外径1.3cm,内径1cm
⑥建立模型
采用自底向上的方式建模：首先定义关键点1（0,0,0）、2（53,0,0）、3（53,5,0）、4（53,5,10）、5（50.324,34.306,0）、6（45.6655,51.6926,0）、7（40.836,51.4338,0）、8（40.836,51.4338,10）、9（11.836,56.4338,0）、21（0,0，-5）、22（0,10，-5）、23（0,0，-39）、24（0,10，-39）、31（45.324，34.306,0）、32（45.324，24.306,0）、33（45.324，34.306,-44）、34（45.324，24.306,-44）、35（20.324，34.306,-5）、36（20.324，34.306,-39）、37（20.324,34.306，-10）、38（20.324,44.306，-10）、39（20.304,34.306，-34）、40（20.324,44.306，-34）、51（16.495,39.047,0）、52（5.366,80.582,0），当然并不是先全部定义以上关键点，而是先定义个位号关键点，然后进行连线等操作，然后再定义2开头的关键点，在进行一系列连线等操作，再定义3开头的关键点，依此类推，在进行定义关键点和连线等操作时，椅子的模型就出来了：
⑦分配单元类型及网格划分
运行主菜单Preprocessor>Meshing>MeshAttributes>PickedLines，分别选择梁与板，进行定义，具体的就不赘述了。
网格划分,按照ANSYSMainMenu：Preprocessor→Meshing→MeshTool→位于SizeControls下的Lines：Set→ElementSizeonPicked→Pickall→Apply→NDIV：20→OK→Mesh→Lines→Pickall→OK的方法完成网格的划分。
求解
定义分析类型：static
求解控制：
设置基本选项卡和非线性选项卡
施加约束运行主菜单:Solution>DefineLoads>Apply>Structural>Displacement>OnNodes
④施加载荷：ANSYSMainMenu:Solution→DefineLoads→Apply→Structural→Force/Moment→OnKeypoints，给关键点施加X方向的力。施加均布力时solution>defineloads>apply>structural>pressure>onlines，该方法无法加载成功。解决办法：
a)分量加载，mainmenu>select>entities>lines,bynum/pik,Fromfull>ok
b)弹出selectlines>点击选择所要加载线段>ok;
c)mainmenu>select>entities>nodes,attachto,lines，all,fromall>ok
d)Solution→DefineLoads→Apply→Structural→Force/Moment→Onnodes，输入施加力就行了。
施加面上的均布压力时采用：solution>defineloads>apply>structural>pressure>onareas(下面给出约束和载荷图)
开始计算：首先要选择所有节点：ANSYSUtilityMenu→Select→Everything;然后ANSYSMainMenu：Solution→Solve→CurrentLS→OK
后处理
首先查看椅子的位移云图，我们这里主要看y方向的位移云图：
我们可以看到，y轴正向最大位移为椅子的前脚弧形处，大小为5.454cm，y轴负向的最大位移为椅子的靠背上源处，大小为15.315cm。当然这里由于载荷大于正常人对椅子的载荷水平，所以椅子的变形也较正常情况较大，而很明显结构变形后依然稳定，因此，椅子的结构很稳定，设计合理，安全可靠。
接下来我们看结构的米塞斯应力云图和椅子的底的“压杆屈曲模型”：
这里椅子米塞斯应力为75958N∕cm2，应力过于大了，这个应该是局部的应力集中导致的，因为本模型的建立连接方面处理不够细致。可以看到椅子底没有发生屈曲失稳现象，所以坐上时不用担心结构的问题导致的倾倒。
重新选择分析类型为模态分析，选择扩展模态阶数为30阶,这里我们直接看结果：
所以可以看到，人为导致的结构共振问题最多只会导致椅子出现1厘米左右的y向位移，所以该椅子也不会导致人坐上去会有多大的振幅，具有良好的韧性，符合舒适要求。
4、结课感想
感谢宋老师在过去两个多月的时间里对我的教诲，从宋老师的课上我学会了很多我以前不会的关于非线性问题的解法和新型有限元方法等知识，开拓了我的学习视野，更重要的是我认识到了在研究生学习阶段的不同，让我对学习科学知识充满热情，感谢宋老师对我的文章的审阅！
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